第一章一阶微分方程的应用

第一章一阶微分方程的应用第1页，课件共43页，创作于2023年2月1：应用大意适应范围与变化率有关的各种实际问题应用三步曲(1)建立模型Modelling(2)模型求解Solving(3)模型应用Application建议:模型要详略得当第2页，课件共43页，创作于2023年2月应用一：曲线族的等角轨线设给定一个平面上以C为参数的曲线族（*）我们设法求出另一个以k为参数的曲线族（**）使得曲线族（**）中的任一条曲线与曲线族样的曲线族（**）是已知曲线族（*）的（*）中的每一条曲线相交时成定角则称这等角轨线族。第3页，课件共43页，创作于2023年2月当时，称曲线族（**）是（*）的正交轨线族。例如：曲线族是曲线族的正交轨线族。第4页，课件共43页，创作于2023年2月第5页，课件共43页，创作于2023年2月设y=y(x)为(C’)中任一条曲线，于是存在相应的C，使得

因为要求x,y,y’的关系，将上式对x求导数，得

(1.84)

这样，将上两式联立，即由

上述关系式成为曲线族满足的微分方程第6页，课件共43页，创作于2023年2月例1

求抛物线族的正交轨线族。解：对方程两边关于x求导得由解出C代入上式得曲线族在点处切线斜率为第7页，课件共43页，创作于2023年2月由于所求曲线族的曲线与中的曲线在正交，故满足方程这是一个变量可分离方程求解得的正交曲线族为这是一个椭圆，如右图放大此图

图2.16第8页，课件共43页，创作于2023年2月第9页，课件共43页，创作于2023年2月应用二：雨滴的下落

考虑雨滴在高空形成后下落的过程中速度的变化三种不同的假设

(1)自由落体运动

(2)小阻力的情况

(3)大阻力的情况第10页，课件共43页，创作于2023年2月(1)自由落体运动

下落过程中没有任何阻力

第11页，课件共43页，创作于2023年2月小阻力的情况下落过程中阻力与速度和半径的乘积成比例第12页，课件共43页，创作于2023年2月(3)大阻力的情况下落过程中阻力与速度和半径的乘积平方成比例

第13页，课件共43页，创作于2023年2月三、药物设计医生给病人开处方是必须注意两点：

服药的剂量和服药的时间间隔。

超剂量的药物会对患者产生严重不良后果，甚至死亡；剂量不足，则不能达到治疗的效果。

第14页，课件共43页，创作于2023年2月一次给药的药时曲线血药浓度mg/l时间残留期持续期药峰时间潜伏期药峰浓度最低中毒浓度最低有效浓度安全范围转化排泄过程第15页，课件共43页，创作于2023年2月多次给药的药时曲线011223456血药浓度时间CmaxCmin治疗窗口第16页，课件共43页，创作于2023年2月药物消除类型1一级动力学消除（恒比消除）：

单位时间内按血药浓度的恒比进行消除。消除速度与血药浓度成正比。若以血药浓度（C）的对数与时间（t）作图，为一直线。第17页，课件共43页，创作于2023年2月零级动力学消除（恒量消除）：

单位时间内始终以一个恒定的数量进行消除。消除速度与血药浓度无关。第18页，课件共43页，创作于2023年2月是指包括零级和一级动力学消除在内的混合型消除方式。如当药物剂量急剧增加或患者有某些疾病，血浓达饱和时，消除方式则可从一级动力学消除转变为零级动力学消除。如乙醇血浓<0.05mg/ml时，按一级动力学消除；但当>0.05mg/ml时，则可转成按零级动力学消除。

3．米氏消除动力学（混合型消除）：第19页，课件共43页，创作于2023年2月模型及其数值实现第20页，课件共43页，创作于2023年2月阅读材料:服药问题

医生给病人开处方时必须注明两点:服药的剂量和服药的时间间隔.超剂量的药品会对身体产生严重不良后果,甚至死亡,而剂量不足,则不能达到治病的目的.已知患者服药后,随时间推移,药品在体内逐渐被吸收,发生生化反应,也就是体内药品的浓度逐渐降低.药品浓度降低的速率与体内当时药品的浓度成正比.当服药量为A、服药间隔为T,试分析体内药的浓度随时间的变化规律.第21页，课件共43页，创作于2023年2月第22页，课件共43页，创作于2023年2月第23页，课件共43页，创作于2023年2月体内药的浓度随时间的变化规律第24页，课件共43页，创作于2023年2月Model3:PopulationdynamicsInthissectionweexamineequationsoftheformy'=f(y),calledautonomousequations,wheretheindependentvariabletdoesnotappearexplicitly.Themainpurposeofthissectionistolearnhowgeometricmethodscanbeusedtoobtainqualitativeinformationdirectlyfromdifferentialequationwithoutsolvingit.Simplestmodel:populationgrowthrateisproportionaltocurrentsizeofthepopulation:Solution:exponentialgrowth):第25页，课件共43页，创作于2023年2月Model3:PopulationdynamicsLogisticGrowthAnexponentialmodely'=ry,withsolutiony=e^{rt},predictsunlimitedgrowth,withrater>0independentofpopulation.Assuminginsteadthatgrowthratedependsonpopulationsize,replacerbyafunctionh(y)toobtainy'=h(y)y.Wewanttochoosegrowthrateh(y)sothath(y)≅rwhenyissmall,h(y)decreasesasygrowslarger,andh(y)<0whenyissufficientlylarge.Thesimplestsuchfunctionish(y)=r–ay,wherea>0.OurdifferentialequationthenbecomesThisequationisknownastheVerhulst,orlogistic,equation.第26页，课件共43页，创作于2023年2月ThelogisticequationfromthepreviousslideisThisequationisoftenrewrittenintheequivalentformwhereK=r/a.Theconstantriscalledtheintrinsicgrowthrate,andaswewillsee,Krepresentsthecarryingcapacityofthepopulation.Adirectionfieldforthelogisticequationwithr=1andK=10isgivenhere.第27页，课件共43页，创作于2023年2月EquilibriumsolutionsofthelogisticequationOurlogisticequationisTwoequilibriumsolutionsareclearlypresent:Indirectionfieldbelow,withr=1,K=10,notebehaviorofsolutionsnearequilibriumsolutions:y=0isunstable,y=K=10isasymptoticallystable.第28页，课件共43页，创作于2023年2月QualitativeanalysisofthelogisticequationTobetterunderstandthenatureofsolutionstoautonomousequationsy’=f(y),westartbygraphingf(y)vs.y.Inthecaseoflogisticgrowth,thatmeansgraphingthefollowingfunctionandanalyzingitsgraphusingcalculus.第29页，课件共43页，创作于2023年2月Qualitativeanalysis,criticalpointsTheinterceptsoffoccuraty=0andy=K,correspondingtothecriticalpointsoflogisticequation.Thevertexoftheparabolais(K/2,rK/4),asshownbelow.第30页，课件共43页，创作于2023年2月Qualitativeanalysis,increasing/decreasingNotedy/dt>0for0<y<K,soyisanincreasingfunctionoftthere(indicatewithrightarrowsalongy-axison0<y<K).Similarly,yisadecreasingfunctionoftfory>K(indicatewithleftarrowsalongy-axisony>K).Inthiscontextthey-axisisoftencalledthephaseline.第31页，课件共43页，创作于2023年2月Qualitativeanalysis,concavityNext,toexamineconcavityofy(t),wefindy'':Thusthegraphofyisconcaveupwhenfandf'havesamesign,whichoccurswhen0<y<K/2andy>K.Thegraphofyisconcavedownwhenfandf'haveoppositesigns,whichoccurswhenK/2<y<K.Inflectionpointoccursatintersectionofyandliney=K/2.第32页，课件共43页，创作于2023年2月Qualitativeanalysis,curvesketchingCombiningtheinformationonthepreviousslides,wehave:Graphofyincreasingwhen0<y<K.Graphofydecreasingwheny>K.Slopeofyapproximatelyzerowheny≅0ory≅K.Graphofyconcaveupwhen0<y<K/2andy>K.GraphofyconcavedownwhenK/2<y<K.Inflectionpointwheny=K/2.Usingthisinformation,wecansketchsolutioncurvesyfordifferentinitialconditions.第33页，课件共43页，创作于2023年2月Qualitativeanalysis,curvesketchingUsingonlytheinformationpresentinthedifferentialequationandwithoutsolvingit,weobtainedqualitativeinformationaboutthesolutiony.Forexample,weknowwherethegraphofyisthesteepest,andhencewhereychangesmostrapidly.Also,ytendsasymptoticallytotheliney=K,forlarget.ThevalueofKisknownasthecarryingcapacity,orsaturationlevel,forthespecies.Notehowsolutionbehaviordiffersfromthatofexponentialequation,andthusthedecisiveeffectofnonlinearterminlogisticequation.第34页，课件共43页，创作于2023年2月Model3:PopulationdynamicsExactsolution:separatingvariablesProvidedy≠0andy≠K,wecanrewritethelogisticODE:Expandingtheleftsideusingpartialfractions,ThusthelogisticequationcanberewrittenasIntegratingtheaboveresult,weobtain第35页，课件共43页，创作于2023年2月Exactsolution:resolvingforexplicitsolutionWehave:If0<y0<K,then0<y<KandhenceRewriting,usingpropertiesoflogs:第36页，课件共43页，创作于2023年2月Exactsolution:resolvingforexplicitsolutionWehave:for0<y0<K.Itcanbes