第一章 水静力学

第一章水静力学第1页，课件共82页，创作于2023年2月2

1－1静水压强及其特性

一、静水压力与静水压强

如图所示：第2页，课件共82页，创作于2023年2月3

静水压力：静止（或处于相对平衡状态）液体作用在与之接触的表面上的水压力称为静水压力，常以字母Fp表示。静水压强：

取微小面积，令作用于的静水压力为，则面上单位面积所受的平均静水压力为静水压强

静水压力Fp的单位：牛顿（N）；静水压强p的单位：牛顿／米2（N／m2），又称为“帕斯卡”（Pa）。

第3页，课件共82页，创作于2023年2月4

二、静水压强的特性

静水压强的两个重要特性：

1．静水压强的方向与受压面垂直并指向受压面。第4页，课件共82页，创作于2023年2月5

2．任一点静水压强的大小和受压面方向无关，或者说作用于同一点上各方向的静水压强大小相等。(a)(b)第5页，课件共82页，创作于2023年2月6

理论证明静水压力具有各项同性

为作用在O`DB面上的静水压力；为作用在O`DC面上的静水压力；为作用在O`BC面上的静水压力；为作用在DBC面上的静水压力；第6页，课件共82页，创作于2023年2月7

四面体体积：总质量力在三个坐标方向的投影为：按照平衡条件，所有作用于微小四面体上的外力在各坐标轴上投影的代数和应分别为零。理论证明静水压力具有各项同性第7页，课件共82页，创作于2023年2月8

而四面体四个表面：则有所以

静水压强第二特性：静水压强具有各项同性第8页，课件共82页，创作于2023年2月9

1－2液体的平衡微分方程式及其积分

液体平衡微分方程式:是表征液体处于平衡状态下，作用于液体上各种力之间的关系式。取平行六面体如图：

第9页，课件共82页，创作于2023年2月10

一、微分方程1．表面力X方向：静水压力各为及。2．质量力X方向：。则X方向：－＋＝0

以除上式各项并化简后为：第10页，课件共82页，创作于2023年2月11

同理，对于Y、Z方向可推出类似结果，从而得到欧拉平衡微分方程组：

Ⅰ

该式的物理意义为：平衡液体中，静水压强沿某一方向的变化率与该方向单位体积上的质量力相等。第11页，课件共82页，创作于2023年2月12

将欧拉平衡微分方程式各式分别乘以dx，dy，dz然后相加得。

上式是不可压缩均质液体平衡微分方程式的另一种表达形式。将欧拉方程前两式分别对y和x取偏导数

第12页，课件共82页，创作于2023年2月13

同理可得满足上式必然

存在力势函数

有力势函数的全微分应等于单位质量力在空间移动距离所作的功：

上式表明：作用在液体上的质量力必是有势力液体才能保持平衡

故有

第13页，课件共82页，创作于2023年2月14

二、积分方程

对进行积分可得

如果已知平衡液体边界上（或液体内）某点的压强为、力势函数为U0，则积分常数C＝得

结论：平衡液体中，边界上的压强将等值地传递到液体内的一切点上；即当增大或减小时，液体内任意点的压强也相应地增大或减小同样数值。这就是物理学中著名的巴斯加原理。

第14页，课件共82页，创作于2023年2月15

1－3等压面

等压面：静水压强值相等的点连接成的面（可能是平面也可能是曲面）。

等压面性质：

1．在平衡液体中等压面即是等势面。

2．等压面与质量力正交。第15页，课件共82页，创作于2023年2月16

1－3等压面

等压面性质：

1．在平衡液体中等压面即是等势面。等压面上P=Const，故dp=0，亦即ρdU=0。对不可压缩均质液体，ρ为常数，由此dU=0，即U=Const

第16页，课件共82页，创作于2023年2月17

1－3等压面

等压面性质：2．等压面与质量力正交。

证明：在平衡液体中任取一等压面，质点M质量为dm，在质量力F作用下沿等压面移动。

第17页，课件共82页，创作于2023年2月18

等压面性质2：等压面与质量力正交。

力F沿ds移动所做的功可写作矢量F与ds的数性积：因等压面上dU=0，所以W=F*ds=0。也即质量力必须与等压面正交。注意:(1)

静止液体质量力仅为重力时，等压面必定是水平面，也即等压面应是处处和地心引力成正交的曲面;(2)平衡液体与大气相接触的自由表面为等压面；(3)不同流体的交界面也是等压面。

第18页，课件共82页，创作于2023年2月19

1－4重力作用下静水压强的基本公式实际工程中，作用于平衡液体上的质量力常常只有重力，即所谓静止液体。第19页，课件共82页，创作于2023年2月20

重力作用下X＝0，Y＝0，Z＝－g，代入平衡微分方程式积分得而自由面上得出静止液体中任意点的静水压强计算公式：

式中：表示该点在自由面以下的淹没深度。：自由面上的气体压强。

第20页，课件共82页，创作于2023年2月21

(a)(b)(c)静止液体内任意点的静水压强有两部分组成：一部分是自由面上的气体压强P0，另一部分相当于单位面积上高度为h的水柱重量。淹没深度相同的各点静水压强相等，只适用于质量力只有重力的同一种连续介质。对不连续液体或一个水平面穿过了两种不同介质，位于同一水平面上的各点压强并不相等。第21页，课件共82页，创作于2023年2月22

1－5几种质量力同时作用下的液体平衡

如果液体相对于地球运动，但相对于容器仍保持静止的状态为相对平衡。以绕中心轴作等角速度旋转的圆柱形容器中的液体为例进行分析。第22页，课件共82页，创作于2023年2月23

达伦贝尔原理表明对具有加速度的运动物体进行受力分析时，若加上一个与加速度相反的惯性力，则作用于物体上的所有外力（包括惯性力）应保持平衡。。对旋转容器中的液体，所受质量力应包括重力与离心惯性力。第23页，课件共82页，创作于2023年2月24

等压面上dp=0，

得：

积分可得

上式表明绕中心轴作等角速度旋转的平衡液体等压面为抛物面。作用于圆筒内任一质点m（x，y，z）单位质量上的惯性力为，将F投影在x，y轴上得。第24页，课件共82页，创作于2023年2月25

因为代入自由面上边界条件得常数C1值：故自由面最低点x=0，y=0，z=zs=z0，则积分常数C=-gz0，由此可得自由面方程为第25页，课件共82页，创作于2023年2月26

代入自由面方程整理后变为：

若令，为液体内部任意质点（x、y、z）在自由液面下的淹没深度，则

上式表明：相对平衡液体中任意点的静水压强仍然与该点淹没深度成比例，等水深面仍是等压面。第26页，课件共82页，创作于2023年2月27

质量力只有重力作用的静止液体中对任意点有在有几种质量力同时作用的相对平衡液体中这种关系一般不存在。由可得到即在绕中心轴作等角速旋转的液体中有：只有r值相同的那些点，即位于同心圆柱面上的各点才保持不变。

第27页，课件共82页，创作于2023年2月28

1－6绝对压强与相对压强

一、

绝对压强

设想没有大气存在的绝对真空状态作为零点计量的压强，称为绝对压强。总是正的。

二、相对压强

把当地大气压作为零点计量的压强，称为相对压强。可正可负。以表示绝对压强，p表示相对压强，则表示当地的大气压强。则有

第28页，课件共82页，创作于2023年2月29

地球表面大气所产生的压强为大气压强。海拔高程不同，大气压强也有差异。我国法定计量单位中，把98223.4Pa称为一个标准大气压。水利工程中，自由面上的气体压强等于当地大气压强，故静止液体内任意点的相对压强为第29页，课件共82页，创作于2023年2月30

三、真空及真空度绝对压强总是正值，相对压强可能为正也可能为负。

相对压强为负值时，则称该点存在真空。

真空度是指该点绝对压强小于当地大气压强的数值。

第30页，课件共82页，创作于2023年2月31

例1-2：一封闭水箱（见图），自由面上气体压强为85kN/m2，求液面下淹没深度h为1m处点C的绝对静水压强、相对静水压强和真空度。解：C点绝对静水压强为

C点的相对静水压强为相对压强为负值，说明C点存在真空。真空度为第31页，课件共82页，创作于2023年2月32

例1-3：情况同上例，试问当C点相对压强p为9.8kN/m2时，C点在自由面下的淹没深度h为多少？解：相对静水压强：

代入已知值后可算得第32页，课件共82页，创作于2023年2月33

例1-4：如图，一封闭水箱，其自由面上气体压强为25kN/m2，试问水箱中A、B两点的静水压强何处为大？已知h1为5m，h2为2m。解：A、B两点的绝对静水压强分别为

故A点静水压强比B点大。实际上本题不必计算也可得出此结论（因淹没深度大的点，其压强必大）。第33页，课件共82页，创作于2023年2月34

例1-5:如图，有一底部水平侧壁倾斜之油槽，侧壁倾角为300，被油淹没部分壁长L为6m，自由面上的压强，油的密度为0.816kg/m3，问槽底板上压强为多少？

解：槽底板为水平面为等压面，底板上各处压强相等。底板在液面下的淹没深度h=Lsin30°=6×1/2=3m。底板绝对压强：底板相对压强：因为底板外侧也同样受到大气压强的作用，故底板上的实际荷载只有相对压强部份。第34页，课件共82页，创作于2023年2月35

例1-6：如图，一开口水箱，自由表面上的当地大气压强为98kN/m2，在水箱右下侧连接一根封闭的测压管，今用抽气机将管中气体抽净（即为绝对真空），求测压管水面比水箱水面高出的h值为多少？

解：因水箱和测压管内是互相连通的同种液体，故和水箱自由表面同高程的测压管内N点，应与自由表面位于同一等压面上，其压强应等于自由表面上的大气压强，即。从测压管来考虑因（）故

第35页，课件共82页，创作于2023年2月36

1－7压强的测量一、测压管若欲测容器中A点的液体压强，可在容器上设置一开口细管。则A、B点位于同一等压面，两点压强相等。

式中h称为测压管高度或压强高度。

测量液体（或气体）压强的仪器很多，这里只是介绍一些利用静水力学原理设计的液体测压计。

第36页，课件共82页，创作于2023年2月37

当A点压强较小时：1.增大测压管标尺读数，提高测量精度。2.在测压管中放入轻质液体（如油）。3.把测压管倾斜放置（见图）。 A点的相对压强为

当被测点压强很大时：所需测压管很长，这时可以改用U形水银测压计。第37页，课件共82页，创作于2023年2月38

(a)(b)第38页，课件共82页，创作于2023年2月39

二、U形水银测压计在U形管内，水银面N-N为等压面，因而1点和2点压强相等。对测压计右支对测压计左支A点的绝对压强A点的相对压强

式中，与分别为水和水银的密度。

第39页，课件共82页，创作于2023年2月40

三、差压计

差压计是直接测量两点压强差的装置。若左、右两容器内各盛一种介质，其密度分别为和。因c-c面是等压面，于是第40页，课件共82页，创作于2023年2月41

若被测点A，B之压差甚小，为了提高测量精度，可将U形测压计倒装，并在U形管中注入不与容器中介质相混合的轻质液体。则A、B两点间压差计算公式。当时

当时，

第41页，课件共82页，创作于2023年2月42

第42页，课件共82页，创作于2023年2月43

1-8压强的液柱表示法，水头与单位势能

一、压强的液柱表示法

压强大小的表示：

1.以单位面积上的压力数值即千帕（KPa）来表示。

2.用液柱高表示。98kPa

=1个工程大气压＝10m水柱＝736mm水银柱第43页，课件共82页，创作于2023年2月44

二、水头和单位势能

在静水压强的基本方程式中：z：位置水头，静止液体内任意点在参考坐标平面以上的几何高度。：压强水头，是该点的压强高度。

：测压管水头。静止液体中的能量守恒定律：代表了单位重量液体所具有的位能。代表了单位重量液体所具有的压能。第44页，课件共82页，创作于2023年2月45

例1-8若已知抽水机吸水管中某点绝对压强为80kN/m2，试将该点绝对压强、相对压强和真空度用水柱及水银柱表示出来（已知当地大气压强为）。解：绝对压强或为水柱或为水银柱相对压强

或为水柱，或为水银柱

真空度

或为1.84mm水柱，或为135mm水银柱第45页，课件共82页，创作于2023年2月46

1-9作用于平面上的静水总压力

水工建筑物常常都与水体直接接触，计算某一受压面上的静水压力是经常遇到的实际问题。

一、作用在矩形平面上的静水总压力压力图法：

1．静水压强分布图的绘制：(1)按一定比例，用线段长度代表该点静水压强的大小。(2)用箭头表示静水压强的方向，并与作用面垂直。

第46页，课件共82页，创作于2023年2月47

(a)(b)(c)第47页，课件共82页，创作于2023年2月48

2．静水总压力的计算：

平面上静水总压力的大小应等于分布在平面上各点静水压强的总和：压强分布图为梯形

则静水总压力作用点：Fp作用点位于纵向对称轴O-O上，同时还应通过压强分布图的形心点Q。第48页，课件共82页，创作于2023年2月49

作用点：1、当压强为三角形分布时，压力中心D离底部距离为；

第49页，课件共82页，创作于2023年2月50

2、当压强为梯形分布时，压力中心离底的距离。第50页，课件共82页，创作于2023年2月51

二、作用于任意平面上的静水总压力

受压面为任意形状，静水总压力的计算较为复杂。取一任意形状平面EF，倾斜置放于水中，与水平面的夹角a，平面面积为A，平面形心点在C。第51页，课件共82页，创作于2023年2月52

1．总压力的大小

作用在围绕点M的微分面积dA的静水压力整个平面EF上的静水总压力为：而

为平面F形心点C在液面下的淹没深度，为形心点C的静水压强。第52页，课件共82页，创作于2023年2月53

2．总压力的作用点设总压力作用点的位置在D，它在坐标系中的坐标值为（）。

令则有于是有

第53页，课件共82页，创作于2023年2月54

由此看出，即总压力作用点D在平面形心C之下。

再将静水压力对OL轴取矩：令可得

只要求出LD及bD，则压力中心D的位置即可确定。第54页，课件共82页，创作于2023年2月55

*当闸门为铅垂置放时，，此时L1为h1，为**对等腰三角形平面，相当于等腰梯形平面中令b＝0的情况。第55页，课件共82页，创作于2023年2月56

例1-9某泄洪隧洞，在进口倾斜设置一矩形平板闸门（见图），倾角为600，门宽b为4m，门长L为6m，门顶在水面下淹没深度h1为10m，若不计闸门自重时，问沿斜面拖动闸门所需的拉力T为多少（已知闸门与门槽之间摩擦系数f为0.25）？门上静水总压力的作用点在哪里？第56页，课件共82页，创作于2023年2月57

解：当不计门重时，拖动门的拉力至少需克服闸门与门槽间的摩擦力，故FT＝。为此须首先求出作用于门上静水总压力FP。（1）用压力图法求FP及作用点位置首先画出闸门AB上静水压强分布图。门顶处静水压强为门底处静水压强为

压强分布图为梯形，其面积

静水总压力第57页，课件共82页，创作于2023年2月58

静水总压力作用点距闸门底部的斜距

总压力P距水面的斜距

（2）用解析法计算FP及以便比较

第58页，课件共82页，创作于2023年2月59

求P的作用点距水面的斜距

对矩形平面，绕形心轴的面积惯矩为

可见，采用上述两种方法计算其结果完全相同。

（3）沿斜面拖动闸门的拉力

第59页，课件共82页，创作于2023年2月60

例1-10一垂直放置的圆形平板闸门（见图），已知闸门半径R为1m，形心在水下的淹没深度hC为8m，求作用于闸门上静水总压力的大小及作用点位置。

第60页，课件共82页，创作于2023年2月61

解：计算总压力

作用点D应位于纵向对称轴上，故仅需求出D点在纵向对称轴上的位置。在本题情况下，，。故

圆形平面绕圆心轴线的面积惯矩。则

第61页，课件共82页，创作于2023年2月62

1-10作用于曲面上的静水总压力

在水利工程上常遇到受压面为曲面的情况，如拱坝坝面、弧形闸墩或边墩、弧形闸门等等。

第62页，课件共82页，创作于2023年2月63

作用于曲面上任意点的相对的静水压强，其大小仍等于该点的淹没深度乘以液体的单位体积的重量，起方向也是垂直指向作用面的．这里着重分析二向曲面的静水总压力计算如图：

第63页，课件共82页，创作于2023年2月64

一、静水总压力的水平分力取微元面积dA，作用于面上的静水压力为dFp，dFp在水平方向上的分力为则有

上式表明作用在曲面上静水总压力FP的水平分分力，等于曲面在平面上的投影面上的静水总压力。很明显，水平分力的作用线应通过平面的压力中心。

第64页，课件共82页，创作于2023年2月65

二、静水总压力的垂直分力

静水压力dP沿铅垂方向的分力为则合力

而所以

V：称为压力体。作用于曲面上静水总压力的垂直分力，等于压力体内的水体重。垂直分力的作用线，应通过压力体的体积形心。第65页，课件共82页，创作于2023年2月66

V：称为压力体。作用于曲面上静水总压力的垂直分力，等于压力体内的水体重。垂直分力的作用线，应通过压力体的体积形心。第66页，课件共82页，创作于2023年2月67

压力体应由下列周界面所围成：1．受压曲面本身；2．液面或液面的延长面；3．通过曲面的四个边缘向液面或液面的延长面所作的铅垂平面。的方向：当液体和压力体位于曲面的同侧时，向下；当液体及压力体各在曲面之一侧时，向上。当曲面为凹凸相间的复杂柱面时，可在曲面与铅垂面相切处将曲面分开，分别绘出各部分的压力体。第67页，课件共82页，创作于2023年2月68

第68页，课件共82页，创作于2023年2月69

三、静水总压力

由二力合成定理，曲面所受静水总压力的大小为

总压力Fp的作用线应通过Fpx与Fpz的交点K，过K点沿Fp的方向延长交曲面于D，D点即为总压力Fp在AB上的作用点。

第69页，课件共82页，创作于2023年2月70

例1-11韶山灌区引水枢纽泄洪闸共装5孔弧形闸门，每孔门宽b为10m，弧门半径R为12m，其余尺寸见图。试求当上游为正常引水位66.50m、闸门关闭情况下，作用于一孔弧形门上静水总力大小及方向。

第70页，课件共82页，创作于2023年2月71

解：（1）首先求水平分力

（2）求垂直分力

如图所示，压力体的底面积为

弓形面积EGF＋三角形面积EFL第71页，课件共82页，创作于2023年2月72

其中，弓形面积EGF＝

弦长

故弓形面积EGF＝

＝6.24m2第72页，课件共82页，创作于2023年2月73

三角形面积EFL＝

故三角面积则

因压力体与液体分别位于曲面之一侧，故的方向向上。总压力

总压力与水平方向的夹角为，，则。因各点压强均垂直于柱面并通过圆心，故总压力也必通过圆心O点。第73页，课件共82页，创作于2023年2月74

例1-12有一薄壁金属压力管，管中受均匀水压力作用，其压强为P，管内径为D，当管壁允许拉应力为[]时，求管壁厚为多少?(不考虑由于管道自重和水重而产生的应力)。

第74页，课件共82页，创作于2023年