8.4.1+平面课件-2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章立体几何初步8.4.1

平面教学目标

借助实物了解平面的概念，理解平面的特点和基本性质（重点）01

了解3个基本事实和3个推论;（重点）02能

运会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系;（重点）03

能运用平面基本性质证明与判断共线、共面、共点问题.（重点、难点）04学科素养

了解平面的概念，理解平面的特点和基本性质数学抽象

了解3个基本事实和3个推论直观想象

能运用平面基本性质证明与判断共线、共面、共点问题

逻辑推理数学运算

数据分析

数学建模01知识回顾RetrospectiveKnowledge

前面我们学习了基本几何体，学习了它们的结构特征、平面表示、面积和体积的计算．在学习棱柱、棱锥、棱台等多面体的过程中，我们知道顶点、棱、平面多边形等是构成这些多面体的基本元素，这些元素之间的相互关系，反映了这些多面体的结构特征．实际上，立体图形都是由点、直线、平面等基本元素组成的，要研究立体图形的结构特征，就要研究这些基本元素之间的位置关系，我们先从认识点、直线、平面这些基本元素开始．02知识精讲

ExquisiteKnowledge

在初中，我们已经对点和直线有了一定的认识，知道它们都是由现实事物抽象得到的.生活中也有一些物体给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等.几何里所说的“平面(plane)”就是从这样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸，平面是向四周无限延展的.无限延展不计大小绝对的平平面的特征不计厚薄黑板面课桌面平静的水面平面的描述与特征

与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面．我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面．当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向．ABCD我们常用希腊文字α、β、γ等表示平面．如平面α，平面β等并将它们写在代表平面的平行四边形的一个内角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母表示如图1也可以表示为平面ABCD，平面AC或平面BD平面的表示【练习】判断下列各题的说法正确与否1.一个平面长4米，宽2米；

()2.平面上一条直线可以把这个平面分成两部分；()3.10个平面叠在一起要比一个平面厚；

()4.菱形的面积可以等于4cm2；

()5.一个平面可以把空间分成两部分.()√××√√文字语言符号语言图形语言

点、直线、平面之间的位置关系

直线上有无数个点，平面内有无数个点，直线、平面都可以看出是点的集合．接下来我们通过元素与集合、集合与集合之间的关系，分别用文字语言、符号语音、图形语言来描述，点A，直线l，m、平面α的位置关系．文字语言符号语言图形语言

点、直线、平面之间的位置关系

平面的的基本性质

我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面？

在生活中，我们常常可以看到这样的现象：自行车用一个脚架和两个车轮着地就可以"站稳"，三脚架的三脚着地就可以支撑照相机.由这些事实和类似经验，可以得到下面的基本事实：基本事实1

过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．“不共线三点确定一个平面”不在一条直线上的三个点A、B、C所确定的平面，可以记成“平面ABC”．ABCα

如果直线l与平面α有一个公共点P，直线l是否在平面α内？如果直线l与平面α有两个公共点呢？

如果一根直尺边缘上的任意两点在桌面上，那么直尺的整个边缘就落在了桌面上.上述经验和类似的事实可以归纳为以下基本事实：ABα基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个

平面内．基本事实2也可以用符号表示为

A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒

l⊂α．平面的的基本性质

如图，由基本事实1，给定不共线三点A，B，C，它们可以确定一个平面ABC；连接AB，BC，CA，由基本事实2，这三条直线都在平面ABC内，进而连接这三条直线上任意两点所得直线也都在平面ABC内，所有这些直线可以编织成一个“直线网”，这个“直线网”可以铺满平面ABC．组成这个“直线网”的直线的“直”和向各个方向无限延伸，说明了平面的“平”和“无限延展”．平面的的基本性质

把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？

B

想象三角尺所在的无限延展的平面，用它去穿越课桌面．可以想象，两个平面相交于一条直线．教室里相邻的墙面处有一个公共点，这两个墙面相交于过这个点的一条直线，由此我们得到又一个基本事实：平面的的基本性质基本事实3

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．lP基本事实3说明：如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交于过这个公共点的一条直线．两个平面相交成一条直线的事实，可以让我们进一步认识了平面的“平”和“无限延展”．基本事实3也可以用符号表示为

P∈α，且P∈β⇒α∩β=l，且P∈l．平面的的基本性质两相交平面的画法

在画两个平面相交时，一定要画出交线，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画，这样可使画出的图形立体感更强一些，如图.平面的的基本性质利用基本事实1和2再结合“两点确定一条直线”，可得到下面三个推论：推论一

经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．a【证明】如图，设点A是直线a外一点，在直线a上任取两点B、C，则由基本事实1，经过A、B、C三点确定一个平面α．再由基本事实2，直线a也在平面α内，因此平面α经过直线a和点A．即一条直线和这条直线外一点确定一个平．利用基本事实1和2再结合“两点确定一条直线”，可得到下面三个推论：推论二

经过两条相交直线，有且只有一个平面．【证明】如图，设点A、B分别是直线a、b上异于P的点，则由基本事实1，经过A、B、P三点确定一个平面α．再由基本事实2，直线a和直线b也在平面α内，因此平面α经过直线a和直线b．即两条相交直线确定一个平面．利用基本事实1和2再结合“两点确定一条直线”，可得到下面三个推论：推论三

经过两条平行直线，有且只有一个平面．【证明】因为当两条直线在同一个平面内，且不相交时叫做平行线，所以两条平行直线a和b必在某个平面α内，就是说过两条平行直线有一个平面.如果过a和b还有一个平面β，那么在a上的任意一点A一定在β内这样过点A和直线b有两个平面α和β，这和推论1矛盾，所以过平行直线a和b的平面只有一个．即两平行线确定一个平面．下列命题正确的是（）Ａ.经过三点确定一个平面；Ｂ.经过一条直线和一个点确定一个平面；Ｃ.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面；Ｄ.四边形确定一个平面．【解析】A，当三点共线时不能确定一个平面，故A错误；B，点在直线上时不能确定一个平面，故B错误；C，由右图可知，C正确：（详解见下页）D，空间四边形不能确定一个平面，故D错误；

综上知选C【练习】证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．

已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.

求证：直线l1、l2、l3在同一平面内．证明：因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α.因为l2∩l3＝B，所以B∈l2.又因为l2⊂α，所以B∈α.同理可证C∈α.又因为B∈l3，C∈l3，所以l3⊂α.所以直线l1、l2、l3在同一平面内．（推论1）（点在线上，线在面内，则点在面内）（基本事实1）03拓展提升ExpansionAndPromotion04归纳总结SumUp基本事实1和2的三个推论：推论一

经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．推论二

经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论三

经过两条平行直线，有且只有一个平面．基本事实3

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的

公共直线．基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．基本事实1

过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．基本事实３用符号表示为

P∈α，且P∈β⇒α∩β=l，且P∈l．基本