2022-2023学年广东省茂名市信宜市高一下学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年广东省茂名市信宜市高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知集合，集合，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】解两个集合中的不等式，然后两个解集取交集.【详解】不等式解得，∴，不等式解得，∴，可得.故选：D2．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数的奇偶性、单调性确定正确答案.【详解】函数和函数是奇函数，不符合题意，CD选项错误.函数是偶函数，且在上递减，不符合题意，A选项错误.函数是偶函数，且在上单调递增，符合题意，B选项正确.故选：B3．已知复数z满足，则（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【分析】根据复数的四则运算求复数z，进而可求模长.【详解】∵，则，∴.故选：D.4．数据1，3，5，7，9，11，13，15的80%分位数是（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【分析】利用百分位数的计算方法，即可得出答案.【详解】由于，故改组数据的80%分位数为.故选：C.5．在中，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】已知三角形中两角和其中一角的对边，可以用正弦定理求另一角的对边.【详解】在中，由正弦定理得，，即，解得：.故选：A.6．函数（，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先根据图象得，进而得，再把代入函数解析式得，再结合得，故.【详解】解：因为，所以，解得，所以.将点的坐标代入可得，所以，即.因为，所以，从而.故选：A.7．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由圆锥的特征及扇形的弧长公式计算即可.【详解】由圆锥的特征可知圆锥的侧面展开图形成的扇形弧长为底面圆的周长，则该弧长为，又，由扇形的弧长公式可知：圆锥的母线长为.故选：B8．如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，为的中点，则异面直线与所成的角的正弦值为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先取正方形的中心，连接，由知为异面直线与所成的角，再在中求的正弦即可.【详解】连，相交于点，连、，

因为为的中点，为的中点，有，可得或其补角为异面直线与所成的角，不妨设正方形中，，则，由平面，可得，则，，因为，为的中点，所以，．故选：C.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.二、多选题9．PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为：PM2.5日均值在以下，空气质量为一级：PM2.5日均值在，空气质量为二级：PM2.5日均值超过为超标.如图是某地12月1日至10日PM2.5的日均值（单位：）变化的折线图，关于PM2.5日均值说法正确的是（

）A．这10天的日均值的80%分位数为60B．前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差C．这10天的日均值的中位数为41D．前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差【答案】BD【分析】根据百分位数、极差、中位数、方差等知识确定正确答案.【详解】个数据为：，，故80%分位数为，A选项错误.5天的日均值的极差为，后5天的日均值的极差为，B选项正确.中位数是，C选项错误.根据折线图可知，前天数据波动性小于后天数据波动性，所以D选项正确.故选：BD10．已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，，则外接圆半径为10C．若，则为等腰三角形D．若，，，则三角形面积【答案】ACD【分析】利用三角形性质和正弦定理可知A正确，利用正弦定理可知B,C的正误，利用余弦定理及三角形面积公式可知D正确.【详解】因为，所以，由正弦定理，可得，即，A正确；由正弦定理可知，所以外接圆半径为5，B不正确；因为，所以，即，整理可得，即，因为为三角形的内角，所以，即为等腰三角形，C正确；因为，，，由余弦定理得，解得，所以，D正确.故选：ACD.11．若向量，满足，，则（

）A． B．与的夹角为C． D．在上的投影向量为【答案】BCD【分析】由模与数量积的关系求得，再根据数量积的性质确定与的夹角，判断向量垂直，求解投影向量即可得结论.【详解】对A，因为，所以，则，故A错误；对B，又，因为，所以，即与的夹角为，故B正确；又，所以，故C正确；又在上的投影向量为，故D正确.故选：BCD.12．如图，正方体的棱长为，点是侧面上的一个动点（含边界），下列结论正确的有（

）

A．若四点共面，则点的运动轨迹长度为B．若，则点的运动轨迹长度为C．若，则点的运动轨迹长度为D．若直线与所成的角为，则点的运动轨迹长度为【答案】ABD【分析】根据各项分别确定点的轨迹即可求解.【详解】对于A，因为，所以确定一个平面，而不共线的三点在这个平面内，所以确定的平面即为平面，故点在上，即点的轨迹为，，故A正确；

对于B，连接，因为在正方体中，所以平面，而平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，同理可证，又平面，所以平面，故当时，点在上，即点的轨迹为，，故B正确；对于C，因为在正方体中，所以平面，而平面，所以，所以，所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，则轨迹长度为，故C错误；对于D，因为，直线与所成的角为，所以与所成的角为，即，所以在直角中，，所以点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，则轨迹长度为，故D正确；故选：ABD.三、填空题13．已知i为虚数单位，复数，则．【答案】5【分析】利用共轭复数概念与复数的乘法运算即可得解.【详解】因为，所以，故.故答案为：.14．某校高三年级有女生520名，男生480名，若用分层随机抽样的方法从高三年级学生中抽取一个容量为200的样本，则男生应抽取名.【答案】96【分析】根据分层抽样的定义，计算男女生比例，即可计算求解.【详解】由已知得女生与男生的比例为：，根据分层抽样的定义，男生应该抽取的人数为：（人）故答案为：96.15．在平行四边形中，点E，F分别在边上，且，线段与对角线交于点K，，则实数．【答案】/【分析】分别根据向量共线的推论、向量加法法则用表示，根据平面向量的基本定理列方程求参数即可.【详解】由题设共线，且，则，

又，则，可得.故答案为：16．《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”现有如图所示的“堑堵”，其中，当“阳马”即四棱锥体积为时，则“堑堵”即三棱柱的外接球的体积为．【答案】【分析】利用棱锥的体积公式结合已知可以求出的值，这样可以求出三棱柱的外接球的直径，最后利用球表面积公式求解即可.【详解】由已知得将三棱柱置于长方体中，如下图所示，此时“塹堵”即三棱柱的外接球的直径为，三棱柱的外接球的体积为.故答案为：．【点睛】关键点睛：本题考查了多面体外接球问题，考查了球的表面积公式，对于解决多面体的外接球和内切球的问题，关键在于求得球心的位置和球半径．.四、解答题17．设向量（1）若向量与向量平行，求的值；

（2）若向量与向量互相垂直，求的值.【答案】（1）；（2）1或.【分析】(1)根据平面向量的坐标运算，结合平行向量的判定定理求解即可；(2)根据平面向量的坐标运算，结合向量垂直的判定定理求解即可.【详解】（1），

向量与向量平行，（2）因为，，

因为与互相垂直，所以，即，，解得或.18．已知，，．(1)求的最小正周期及单调递减区间；(2)求函数在区间上的最大值和最小值，并求出的值．【答案】(1)，单调递减区间为，(2)，最小值为，，最大值为.【分析】（1）根据数量积的坐标表示、二倍角公式及辅助角公式化简函数，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）由的取值范围，求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得.【详解】（1），，由，的最小正周期，由，解得，的单调递减区间为，（2）由可得，当，即时，函数取得最小值，即，当，即时，函数取得最大值，即，所以函数在区间上的最大值为，最小值为，相对应的的值为，．19．已知四棱锥，其中面，面，为的中点.(1)求证：面；(2)求证：面面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）取中点，连接，根据中位线定理，易得四边形为平行四边形，进而得到，再由线面平行的判定定理，即可证明面；（2）根据为等边三角形，为的中点得，再由面得，进而由线面垂直的判定定理得到面，则面，再由面面垂直的判定定理，可得面面．【详解】（1）取中点，连接，如图，∵分别是的中点，∴，且，又∵面，面，∴，故，又∵∴，故四边形为平行四边形，∴，又面，面，∴面..（2）∵，∴为等边三角形，又∵为的中点，∴，又∵面，面，∴，又∵面，∴面，∵，∴面，又∵面，∴面面.20．2022年，某市教育体育局为了解九年级语文学科教育教学质量，随机抽取100名学生参加某项测试，得到如图所示的测试得分（单位：分）频率分布直方图.(1)根据测试得分频率分布直方图，求的值；(2)根据测试得分频率分布直方图估计九年级语文平均分；(3)猜测平均数和中位数（不必计算）的大小存在什么关系？简要说明理由.【答案】(1)(2)79.2(3)中位数大于平均数，理由见解析【分析】（1）由频率之和等于1，得出的值；（2）由频率分布直方图求平均数的方法求解；（3）观察频率分布直方图数据的分布，得出平均数和中位数的大小关系.【详解】（1）解：解得（2）语文平均分的近似值为，所以，语文平均分的近似值为79.2.（3）中位数大于平均数.因为和中位数相比，平均数总在“长尾巴”那边.21．在中，内角A，B，C对应的边分别为，，，已知．(1)求角B的大小；(2)若，的面积为，求的周长．【答案】(1)；(2)3.【分析】(1)根据正弦定理可得，结合同角的三角函数关系和角B的范围即可求解；(2)根据三角形的面积公式可得，利用余弦定理求得，即可得解.【详解】（1）在中，由正弦定理得，∵，代入化简得，∵，∴，∴，又显然，即，∴，又∵，∴.（2）∵，由，得．在△ABC中，由余弦定理，得∴，∴，∴△ABC的周长为3．22．已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面．(1)求证：平面；(2)已知，（ⅰ）当时，求直线与所成角的余弦值；（ⅱ）当直线与平面所成的角为时，求四棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)（ⅰ）；（ⅱ）【分析】（1）由四边形是菱形，得，再由平面，得，然后利用直线与平面垂直的判定可得平面；（2）（ⅰ）依题意可得，，利用勾股定理求出，，根据，所以即为直线与所成