统计学课件-参数估计

参数估计统计学主要内容一、参数估计的一般问题二、总体均值的估计总体比例的估计三、必要样本容量的确定参数估计在统计方法中的地位参数估计假设检验统计方法描述统计推断统计7.1参数估计的一般问题一.估计量与估计值

二.评价估计量的标准三.点估计与区间估计参数估计是用实际调查的样本指标来估计相应的总体指标的数值，由于总体指标是反映总体数量特征的参数，例如总体平均数、标准差、比例等，所以叫参数估计。指标名称总体参数样本统计 量均值比例方差7.1.1估计量与估计值估计量：用于估计总体参数的样本指标如样本均值，样本比例、样本方差等总体参数用

表示，估计量用

表示估计值：统计量的具体值如果样本均值x

=80，则80就是的估计值7.1.2评价估计量的标准1.无偏性无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被 估计的总体参数。样本的

、p是总体均值和比例的无偏估计量。P(

)BA无偏有偏2.有效性对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小标准差的估计量更有效AB的抽样分布的抽样分布P(

)3.一致性随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数AB较小的样本容量较大的样本容量P(

)7.1.3参数估计的方法估

计

方

法点

估

计区间估计1）点估计点估计就用样本的估计量直接作为总体参数的估计值优点：简单、具体明确。缺点：无法说明估计结果的误差大小；无法说明估计结果的把握程度。2）区间估计给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减抽样误差（边际误差）得到。（区间估计的基本原理：167.161页。）根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%样本统计量(点估计)置信区间置信下限置信上限区间估计的图示X-1.96x+1.96x-

2.58x+

2.58x90%的样本95%的样本99%的样本-1.65x+1.65x由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间区间的最小值称为置信下限，最大值称为置信上限。置信区间置信区间与置信水平均值的抽样分布(1-

)%区间包含了%的区间未包含1

-

aa/2a/2正态分布曲线下右侧面积将构造置信区间的步骤重复多次，置信区间中包含总体参数真值的次数所占的比率称为置信水平，或称为置信系数。比较常用的置信水平及正态分布曲线下右侧面积为α/2时的z值zσ/2如下表所示。置信水平%双测概率右侧概率α/2临界值zσ/2α900.100.051.645950.050.0251.9695.450.04552.00990.010.0052.58影响置信区间宽度的因素1.总体数据的离散程度，用

来测度 2.样本容量3.置信水平(1-)，影响z

的大小置信区间是一个随机区间，它会因样本的不同而不同，而且不是所有的区间都包含总体参数的真值。7.2

一个总体参数的区间估计总体均值的区间估计正态总体、方差巳知正态总体、方差未知总体比率的区间估计7.2.1

总体均值的区间估计正态总体、方差巳知

或非正态总体、大样本

根据正态分布的性质可以构造出总体均值μ在1–α置信水平下的置信间为构建估计区间步骤；1.计算样本的均值

和标准差2.确定置信水平1–α、z值；3.计算样本均值的方差、标准差：4.计算置信上下限，得出估计区间。例题分析保个人组成的随【【机例】】一样本，家保险得到每公司个投保集到人的由36投年龄(岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间36个投保人年龄的数据23353927364436424643收3133周425345544724

。342839364440394938344850343945484532解：已知n

=36,1-=

90%/2=

z0.05=1.6451)

确定z值,

z2)计算样本的均值和标准差计算样本均值的方差、标准差：3)

总体均值

在1-

置信水平下的置信区间为即：以90%的概率估计，投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁

例：某企业负责人想估计6000包某种材料的平均重量。随机抽取350包的样本，经调查，其

均值和标准差分别为32公斤和7公斤。求6000包材料平均重量的置信区间（置信度为95%）。/2=

Z0.025解：确定置信水平95%、则Z

=1.96；置信区间为：31.29公斤——32.71公斤课堂练习题为调查两家银行的户均存款数，从两家银行各抽出由25个存款户组成的样本。其均值分别为4500元和3250元，两个总体的标准差分别为920和960元。根据经验知，两个总体服从正态分布。分别求两个银行户均存款的置信区间（置信度为90%）。2.正态总体、方差未知、小样本·

由于用样本方差计算的标准值服从自由度为n-1的t分布，使用t

分布统计量·

根据t分布建立的总体均值μ在1–α置信水平下的置信区间为·

应根据概率α查t分布表（456页）求t/2值。t

分布t分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布Xt

分布与标准正态分布的比较t

分布标准正态分布t不同自由度的t分布标准正态分布t

(df

=

13)t

(df

=

5)Z例题分析【【例例】】已知某种灯泡的寿命服从正态分批灯泡中随机抽取16只，测其使用寿建立该批灯泡平均使用寿命9%的置信区16灯泡使用寿命的数据布，现从一(小时)如下。间。1510152014801500145014801510152014801490153得01510命14601460147051470解：已知Ｘ~N(

，

2)，n=16,

1-=

95%，··查t分布表（456页）：t0.0.25（n-1）=2.131根据样本数据计算得：·1)样本均值的标准差：总体均值

在95%置信水平下的置信区间为即：以95%的概率估计，该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8小时～1503.2小时。不同情况总体均值的区间估计总体分布■样本容量

已知

未知■大样本（n>=30）■小样本（n<30）7.2.2

总体比例的区间估计假定条件当样本容量很大（np大于或等于5）时，样本比例的抽样分布可由正态分布来近似。样本比例经标准化后的随机变量Z服从标准正态分布，即：·

根据正态分布的性质可以构造出总体比例在1–α置信水平下的置信间为：·

实际上π未知，可以样本的比例替代，所以总体比例的置信区间可表示为：构建总体比例估计区间的步骤1.计算样本的比例；2.确定置信水平、z值；3.计算样本比例的标准差：4.计算置信上下限，得出估计区间。例题分析【例】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机抽取了100个下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间。解：求样本比例p＝65/100=65%根据

1-

=

95%，查表得z0.025=1.96求样本比例的标准差：4)

构建置信区间：以95%的概率估计，该城市下岗职工中女性比例的置信区间为55.65%~74.35%。例：

一所大学的保健医生想了解学生戴眼镜的比例，随即抽取了100名学生，其中戴眼镜的有31人。取置信度为90%,求全校学生戴眼镜比例的置信区间。解：p=31%；Z0.05=1.65；■■区间：23.4%——38.6%。课堂练习

某广告公司进行一项空调用户特点的调查。从装有空调的家庭中随机抽取300户，其中年人均收入超过了7000元的有170户；从未装空调的家庭中随机抽取了200户，其中年人均收入超过了7000元的有46户。试对已装空调和未装空调的两种家庭年人均生活费收入超过7000元的比例做区间估计（置信度为95%）。影响置信区间宽度（估计结果的准确程度）的主要因素总体数据的离散程度，用

来测度样本容量，3.置信水平(1-)，影响z

的大小7.3

必要样本容量的确定一、必要样本容量的影响因素二、必要样本容量的确定三、应注意的问题7.3.1影响必要样本容量的因素1.总体各单位标志值变异程度（

2）的大小，与样本容量成正比。2.边际误差（抽样误差范围）

E

，与样本容量成反比。3.置信程度（水平）1-a，Z或t

，与样本容量成正比。4.抽样的组织形式和方法。应合理地确定边际误差和置信程度，选择合适的抽样的组织形式和方法7.3.2必要样本容量的确定1.估计总体均值时确定样本容量的公式：重复抽样不重复抽样式中：【例】拥有工商管理硕士学位的毕业生年薪的标准差大约为2000元，假定想要估计年薪95%的置信区间，希望边际误差为400元，应抽取多大的样本容量？=95%查表得z解:

已知

=2000，E=400,

1-/2=1.96置信度为90%的置信区间为即应抽取97人作为样本。2.估计总体比例时确定样本容量的公式重复抽样不重复抽样式中：1.

E的取值一般小于0.12.

未知时，可取最大值0.5例题分析【例】根据以往的生产统计，某种产品的合格率约为90%，现要

求边际误差为5%，在求95%的置信

区间时，应抽取多少个产品作为样本？=0.95，解:已知查表得Z=90%，E=5%，1-/2=1.96，应抽取的样本容量为应抽取139个产品作为样本课堂练习

据统计，具有工商管理学士学位的大学毕业生年薪的标准差约为2000元，假定想要以95%的置信水平估计年薪的置信区间，希望的误差范围为400元，应抽取多少具有工商管理学士学位的大学毕业生做调查？应抽取97人。课堂练习一家市场调查公司想估计某地区有彩色电视机的家庭所占的比例。要求估计误差范围不超过0.05，置信水平95%，应抽取多少家庭做调查？（公