高考（苏教版）数学（文科）一轮复习讲义平面向量的概念及线性运算名师公开课省级获奖课件

第五章

平面向量§5.1平面向量的概念及线性运算第五章平面向量§5.1平面向量的概念及线性运算内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析思想与方法系列思想方法感悟提高练出高分内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析思想与方基础知识

自主学习基础知识自主学习1.向量的有关概念名称定义备注向量既有

，又有

的量统称为向量；向量的大小叫做向量的

(或称

)平面向量是自由向量零向量长度为

的向量；其方向是任意的记作

大小方向长度模00知识梳理1答案1.向量的有关概念名称定义备注向量既有 ，又有单位向量长度等于

的向量非零向量a的单位向量为±平行向量方向

或

的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量

的非零向量又叫做共线向量相等向量长度

且方向

的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度

且方向

的向量0的相反向量为01个单位相等相同相等相反相同相反方向相同或相反答案单位向量长度等于2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).三角形平行四边形答案2.向量的线性运算向量运算定义法则运算律加法求两个向量和的运减法求两个向量差的运算

法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝

；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向

；当λ<0时，λa的方向与a的方向

；当λ＝0时，λa＝

(1)λ(μa)＝

；(2)(λ＋μ)a＝

；(3)λ(a＋b)＝

三角形|λ||a|相同相反0(λμ)aλa＋μaλa＋λb答案减法求两个向量差的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量3.共线向量定理对空间任意两个向量a，b(a≠0)，a与b共线的充要条件是存在实数λ，使得

.b＝λa答案3.共线向量定理b＝λa答案判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量.(

)(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关.(

)(3)若a∥b，b∥c，则a∥c.(

)√×××(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.(

)√√思考辨析答案判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)√×××(解析根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；①考点自测2解析答案12345解析根据零向量的定义可知①正确；①考点自测2解析答案1232.如图所示，向量a－b＝________(用e1，e2表示).解析由题图可得a－b＝e1－3e2.e1－3e2解析答案123452.如图所示，向量a－b＝________(用e1，e2表示解析答案12345解析答案12345b－a－a－b解析答案12345b－a－a－b解析答案123455.已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.解析由已知得a＋λb＝－k(b－3a)，解析答案12345返回5.已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a题型分类深度剖析题型分类深度剖析例1下列命题中，正确的是________.(填序号)①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；④两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.题型一平面向量的概念解析答案思维升华例1下列命题中，正确的是________.(填序号)④两个②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；④正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小.答案④解析①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；思维升华②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，思维升华(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.思维升华(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是________.解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是3.3跟踪训练1解析答案设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0命题点1向量的线性运算题型二平面向量的线性运算解析答案命题点1向量的线性运算题型二平面向量的线性运算解析答案解析答案解析答案命题点2根据向量线性运算求参数解析答案命题点2根据向量线性运算求参数解析答案解析答案思维升华解析答案思维升华思维升华思维升华思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合三角形法则.(2)求已知向量的和.一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则.(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值.思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略跟踪训练2解析答案跟踪训练2解析答案解析答案解析答案高考（苏教版）数学（文科）一轮复习讲义平面向量的概念及线性运算名师公开课省级获奖ppt课件例4设两个非零向量a与b不共线，∴A、B、D三点共线.题型三共线定理的应用解析答案例4设两个非零向量a与b不共线，∴A、B、D三点共线.题型(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.解∵ka＋b和a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a、b是两个不共线的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.解析答案思维升华(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.解∵ka＋b思维升华(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系.当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a、b不共线.思维升华(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向跟踪训练3解析答案返回跟踪训练3解析答案返回思想与方法系列思想与方法系列思想与方法系列10.方程思想在平面向量线性运算中的应用温馨提醒解析答案思维点拨返回思想与方法系列10.方程思想在平面向量线性运算中的应用温馨提思维点拨

(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去求解.(3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解.温馨提醒解析答案思维点拨(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基规范解答温馨提醒解析答案规范解答温馨提醒解析答案即m＋2n＝1.①

[8分]温馨提醒解析答案即m＋2n＝1.①[8分]温温馨提醒解析答案温馨提醒解析答案消去t1得，4m＋n＝1.

②温馨提醒消去t1得，4m＋n＝1.②温温馨提醒

(1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度.(2)易错点是找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解.(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.如本题易忽视A、M、D三点共线和B、M、C三点共线这个几何特征.(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会.返回温馨提醒(1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但思想方法感悟提高思想方法感悟提高1.向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素.向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”.2.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.方法与技巧1.向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，方法与技巧方法与技巧1.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.2.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.失误与防范返回1.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，练出高分练出高分12345678910111213141.给出下列四个命题，其中所有正确命题的序号是________.①a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四顶点；③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行.15解析答案12345678910111213141.给出下列四个命题，解析由于零向量与任一向量都共线，所以命题①中的b可能为零向量，从而不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，更不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以命题②不正确；解析答案123456789101112131415解析由于零向量与任一向量都共线，所以命题①中的b可能为零向向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以命题④不正确；对于命题③，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题入手考虑，假若a与b不都是非零向量，即a与b至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a与b共线，其逆否命题正确，故命题③正确.综上所述，正确命题的序号是③.答案③123456789101112131415向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以命解析答案123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析答案123456789101112131415①点P在线段AB上；

②点P在线段BC上；③点P在线段AC上；

④点P在△ABC外部.③解析答案123456789101112131415①点P在线段AB上；②点P在线段BC上；③解析答案123又∵O为△ABC外接圆的圆心，∴△ABC为等边三角形，A＝60°.60°解析答案123456789101112131415又∵O为△ABC外接圆的圆心，60°解析答案12345678平行四边形解析答案123456789101112131415平行四边形解析答案1234567891011121314152解析答案1234567891011121314152解析答案123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析答案123456789101112131415∴2a＋pb＝λ(2a－b)，∴2＝2λ，