第二章行列式习题解答

./第二章行列式习题解答1.决定以下9级排列的逆序数,从而决定它们的奇偶性：1134782695；解：,偶排列；2217986354；解：,偶排列；3987654321；解：,偶排列.2.选择与使1成偶排列；解：与一个为3,另一个为8,而是奇排列,由对换的性质因此有；2成奇排列.解：与一个为3,另一个为6,而是奇排列,因此有.3.写出把排列变成排列的那些对换.解：4.决定排列的逆序数,并讨论它的奇偶性.解：1与其他数构成个逆序,2与其他数构成个逆序,与其他数构成2个逆序,与构成1个逆序,故.当或〔为正整数时,排列为偶排列；当或〔为正整数时,排列为奇排列.5.如果排列的逆序数为,排列的逆序数是多少？解：中任意两个数码与必在而且仅在两个排列或中之一构成逆序,个数码中任取两个的不同取法有个,因此两个排列的逆序总数为,所以排列的逆序数为.6.在6级行列式中,这两项应带有什么符号？解：,因此项带正号；,因此项带正号.7.写出四级行列式中所有带有负号并且包含因子的项.解：因为,因此所求的项为.8.按定义计算行列式：1；2；3.解：1该行列式含有的非零项只有,带的符号为,值为,因此原行列式等于.2该行列式含有的非零项只有,带的符号为,值为,因此原行列式等于.3该行列式含有的非零项只有,带的符号为,值为,因此原行列式等于.9.由行列式定义证明：.证明：行列式的一般项为,列指标只能在1,2,3,4,5中取不同值,故中至少有一个要取3,4,5中之一,而从而每一项中至少包含一个零因子,故每一项的值均为零,因此行列式的值为零.10.由行列式定义计算中与的系数,并说明理由.解：行列式元素中出现的次数都是1次的,因此含项每一行都要取含的,因此含项仅有,其系数为2,符号为正,的系数为2.类似的含项仅有,其系数为1,符号为负,的系数为.11.由,证明：奇偶排列各半.证明：行列式每一项的绝对值为1,行列式的值为零,说明带正号项的个数等于带负号项的个数.由定义,当项的行指标按自然顺序排列时,项的符号由列指标排列的奇偶性所确定,奇排列时带负号,偶排列带正号.因此奇偶排列各半.12.设,其中为互不相同的数.1由行列式定义,说明是一个次多项式；2由行列式性质,求的根.解：1在行列式中只有第一行含有,出现最高次数为次,由为互不相同的数可得其系数不为零,因此是一个次多项式；2用分别代,均出现了两行相同,因此行列式为0.即为的全部根.13.计算下面的行列式：1；2；3；4；5；6.解：1该行列式中每行元素的和为1000的倍数,第2列与第三列相差100,因此可以先把第2列和第3列分别加到第1列,然后第2列减去第3列后可得..34.5显然当或时均有两行元素相同,因此行列式为0.当时6.14.证明：证明：15.算出下列行列式的全部代数余子式：1>；2.解：1.216.计算下面的行列式117.计算下列级行列式：1；23；4；5.解1按第一列展开得也可以按定义计算,非零项只有两项及值分别为和,符号分别为和,因此原行列式=2解：当时,行列式等于；当时原行列式；当时,从第二列起,每一列减去第一列得：原行列式=3解：从第二列起,每一列都加到第一列然后提取因子得4解：从第二行起每一行减去第一行,然后交换1,2两行后化为三角形得：.也可以除第2行外,每一行都减去第2行,然后化为三角形计算.5>解：从第2列起每一列都加到第1列,然后按第一列展开得到：.18.证明：1证明：从第2列起,每一列的倍加到第一列即可得：证明：当时结论显然成立,当时,第一行的加到第二行,然后第二行的加到第三行,依次类推可得：证法二：按最后一列展开即可得.证法三：按第一行展开再结合数学归纳法证明.证法四：从最后一行起,每一行乘以加到上一行,然后按第一行展开可得：3解:原行列式按第一行展开得:.因此有,即是以为首项,以为公比的等比数列.因此有.类似有.当时,解得.证法二：按第一行展开找到递推关系,再结合数学归纳法加以证明.4证明：对行列式的级数用第二数学归纳法证明.当时,,因此结论成立.假设当级数小于时结论成立,对级行列式按最后一行展开得：由数学归纳法,结论成立.注意：因为主对角线上第一个元素为,其它主对角线上元素为,本行列式按第一行展开得到的低级数行列式与原行列式形式不同,无法得到与之间的递推关系,而按最后一行可得到递推关系.5证明：从第二行起,每一行减去第一行先化为爪形行列式,再三角化19.用克拉默法则解下列线性方程组：1234解：1系数行列式故方程组的解为：故方程组的解为：3故方程组的解为：4,20.设是数域中互不相同的数,是数域中任一组给定的数,用克拉默法则证明：存在唯一数域上的多项式使证明：设,由得：把它看成关于的线性方程组,其系数行列式为一范德蒙德行列式,由互不相同可得系数行列式不为0,由克拉默法则,方程组解唯一,即满足的多项式唯