2021年广东省高考数学模拟试卷（东莞一模）

2021年广东省高考数学模拟试卷（一模）（东莞一模）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.（5分）已知集合〃={x|-7<3x-l<2},N={x|x+l〉0},则〃|JN=（）

A.（-2,+oo）B.（-1,1）C.（Y>,1）D.（-l,+oo）

2.（5分）若复数Z满足（z-l）（l+i）=2—2i,则|z|=（）

A.QB.百C.5D.>/5

3.（5分）已知函数丫="的图象与函数y=/（x）的图象关于直线y=x对称，则,f（2e）=（

）

A.2e：B.2eC.1+/M2D.21rl2

4.（5分）函数/0）=（；052工+6（：0$（1-犬）（X€[0,3）的最大值为（）

A.4B.5C.6D.7

5.（5分）已知数列{叫的前〃项和S,,=2"-1,则数列{log2%}的前10项和等于（）

A.1023B.55C.45D.35

6.（5分）已知。，。是两个正数，4是2"与16"的等比中项，则下列说法正确的是（）

A.浦的最小值是1B.必的最大值是1

119119

C.一十:的最小值是大D.一十7的最大值是大

ab2ab2

7.（5分）《算数书》是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置

如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长乙与

高〃，计算其体积丫的近似公式用该术可求得圆率"的近似值.现用该术求得

36

%的近似值，并计算得一个底面直径和母线长相等的圆锥的表面积的近似值为9,则该圆锥

体积的近似值为（）

A.#>B.2GC.373D.3

8.（5分）若（金+士―2）3（x+a）“a>0）的展开式中f的系数为3,则。=（

A.1B.-C.V2D.2

2

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

22

9.(5分)己知曲线C:—、一+工=1。叱-1,Y),则下列结论正确的是()

A.若曲线C为椭圆或双曲线，则其焦点坐标为(士/，0)

B.若曲线C是椭圆，则,〃>-1

C.若“<-1且团W-4,则曲线C是双曲线

D.直线行-y-k=0(keR)与曲线c恒有两个交点

10.(5分)已知/(X)是定义在宠上的奇函数，/(X)的图象关于X=1对称，当xe(o,1]时，

f(x)=-x2+2x,则下列判断正确的是()

A./(%)的值域为(0,1]B./(x)的周期为2

C./(1+1)是偶函数D./(2021)=1

11.(5分)已知函数/(x)=cosx+&inx,则下列说法正确的是()

A.若函数/(》)的最小值为一5,则2=2

B.若X€(0,i),则至€(0,1)使得/(X)=4成立

C.若a=后,VXG[0,争都有|/(x)—加|<1成立，贝⑵

D.若函数/(x)在(0,()上存在最大值，则正实数2的取值范围是(0,6)

12.(5分)数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微事实上，很多代数

问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与，(x—o)2+(y—32相关的代数问题,可以转

化为点A(x,y)与点B(a力)之间的距离的儿何问题.结合上述观点，对于函数

f(x)=A/X2+4X+5+Vx2-4x+5.下列结论正确的是()

A./Q)=6无解B./(x)=6的解为x=土竽

C..f(x)的最小值为D./(x)的最大值为2行

三、填空题(共4小题，每小题5分，满分20分)

13.（5分）已知I万1=1,\b\=3,S.\a-b\=2,贝!|孱+劝|=.

14.（5分）某圆形广场外围有12盏灯，如图所示，为了节能每天晚上12时关掉其中4盏

灯，则恰好每间隔2盏灯关掉1盏的概率是.

15.（5分）斜率为正的直线过抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点，且与C交于A,B两点,

若|A8|=30,则2=,凶。仇。为坐标原点）的面积为.

16.（5分）在四面体A8c。中，A8=AC=8C=AO=CD=2,二面角5-AC-£>为120。，

则四面体ABCD的外接球的表面积为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）记S”为数列的前〃项和，已知4=1,—.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

1

7

（2）若仇=（2“,1），设数列也J的前〃项和为证明：V〃eN*,<-

〃9

从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对题目进行求解.

2

条件①：Sn=nan—n+n,nwN为；

2

条件②：nSn+,=（n+l）Sn+H+/z,neN”；

条件③：后=厄+1,nwN*・

18.（12分）在A4BC中，角A,B,C的对边分别是a,b,C,已知

a•sinA+a•sinC•cosB+Z?sinC-cosA=h-sinB+c-sinA.

（1）求角3的大小；

（2）若b=3«,c=3a,点。满足AD=2AB+，AC,求A4B£）的面积.

33

19.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABC。，BC//AD,^BAD=90°,

PA=AD=2AB=4BC=4,PC=^21.

（1）证明：R4J_平面A8CO；

（2）线段/W上是否存在一点M,使得MC与平面PC。所成角的正弦值为Y浮？若存在,

请求出”的值；若不存在，请说明理由.

221

20.（12分）已知椭圆C:与+4=1（。＞匕＞0）的离心率为一，过椭圆C右焦点并垂直于X轴

a'b'2

的直线PM交椭圆C于P,M（点尸位于X轴上方）两点，且AOPM（。为坐标原点）的面

3

积为1

2

（1）求椭圆C的标准方程：

9

（2）若直线/交椭圆C于A,B（A,5异于点P）两点，且直线与依的斜率之积为

4

求点P到直线/距离的最大值.

21.（12分）已知函数/（x）=/nx-or+l（awR）.

（1）讨论函数/（x）的零点个数；

（2）设玉，%是函数/（*）的两个零点，证明：%+毛+2e/〃a＞0.

22.（12分）在新冠肺炎疫情肆虐之初，作为重要防控物资之一的口罩是医务人员和人民群

众抗击疫情的武器与保障，为了打赢疫情防控阻击战，我国企业依靠自身强大的科研能力,

果断转产自行研制新型全自动高速口罩生产机，“争分夺秒、保质保量”成为口罩生产线上

的重要标语.

（1）在试产初期，某新型全自动高速口罩生产流水线有四道工序，前三道工序完成成品口

罩的生产且互不影响，第四道是检测工序，包括红外线自动检测与人工抽检.已知批次/的

成品口罩生产中，前三道工序的次品率分别为4=^.

①求批次I成品口罩的次品率P-

②第四道工序中红外线自动检测为次品的口罩会被自动淘汰，合格的口罩进入流水线并由工

人进行抽查检验.已知批次/的成品口罩红外线自动检测显示合格率为92%,求工人在流

水线进行人工抽检时，抽检一个口罩恰为合格品的概率（百分号前保留两位小数）.

（2）已知某批次成品口罩的次品率为p（O<p<D,设100个成品口罩中恰有1个不合格品

的概率为夕（p）,记旗力的最大值点为为，改进生产线后批次■/的口罩的次品率P1=p0.某

医院获得批次/,•/的口罩捐赠并分发给该院医务人员使用.经统计，正常佩戴使用这两

个批次的口罩期间，该院医务人员核酸检测情况如下面条形图所示，求为,并判断是否有

99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关？

核酸检测R阳性

核酸检测呈阴性

K2=Mad-bcf_______

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K\.k)0.0500.0100.0050.001

k3.8416.6357.87910.828

2021年广东省高考数学模拟试卷（一模）（东莞一模）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.(5分)已知集合M={x|-7<3x-l<2},N={x|x+l〉0},则M|JN=()

A.(-2,+00)B.(-1,1)C.(Y»,l)D.(-1,+<»)

【解答】解：：W={x|-2<x<l},N={x|x>-1},

故选：A.

2.(5分)若复数z满足(z-l)(l+i)=2-2i,则|z|=()

A.应B.百C.5D.

【解答】解：由（z-l）（l+i）=2-2i,

2-2/(2-2i)(l-z)2-2i-2i+2i2

得z-1==士.2,

1+i~(1+0(1-012+122

z=1-2i,

则|Z|=J12+（_2）2=6.

故选：D.

3.（5分）已知函数丫=。’的图象与函数y=/（x）的图象关于直线y=x对称，则,f（2e）=（

)

A.2e2B.2eC.1+ln2D.21n2

【解答】解：因为函数丫="的图象与函数y=/（x）的图象关于直线y=x对称,

所以》=/。）与'=，互为反函数，

故/(x)=欣，所以f(2e)=历(2e)=Ini+Ine=1+ln2.

故选：c.

4.(5分)函数f(x)=cos2x+6以吗-x)(xe[0,g)的最大值为()

A.4B.5C.6D.7

【解答】解：函数

/(x)=cos2x4-6cos弓-x)=1-2sin2x+6sinx=-2(sinx一手+g+l=-2(sinx--^)2+^-,

71

由于无€。夕,

故sinxe[(),1],由于函数/(x)的对称轴为,

当sinX=1时，/(x)取得最大值f｛x)nm=/(|)=5,

故选：B.

5.(5分)已知数列⑷的前〃项和£,=2"-1,则数列｛log2%｝的前10项和等于()

A.1023B.55C.45D.35

【解答】解：数列｛叫的前〃项和』=2"-1,

可得4==2-1=1；

1

当％.2时，a„=Sn-5„_,=2"-]-(2"--1)=2'-',对”=1也成立.

-1

log2a„=log22"=n-l,

则数列｛log?%｝的前10项和等于0+1+2+…+9=gx(l+9)x9=45.

故选：C.

6.(5分)已知a,。是两个正数，4是2"与16〃的等比中项，则下列说法正确的是()

A.岫的最小值是1B.必的最大值是1

119119

C.一+y■的最小值是7D.一+y■的最大值是大

ab2ab2

【解答】解：因为2"/6'=42,所以4汽"=4。

所以“+劭=4..2屈，可得她,1,当且仅当〃=46时等号成立，

所以曲的最大值为1,故A错误，B正确.

因为d+1).(a+4/?)」」(l+4+竺+色)」(5+2如=2,

ab44ab44

故上1+；1的最小值为9J,无最大值，故C和。都错误.

ab4

故选：B.

7.（5分）《算数书》是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置

如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长上与

高〃，计算其体积V的近似公式Vn—用该术可求得圆率"的近似值.现用该术求得

36

万的近似值，并计算得一个底面直径和母线长相等的圆锥的表面积的近似值为9,则该圆锥

体积的近似值为（）

A.百B.2A/3C.36D.3

【解答】解：圆锥的体积万（三）2人=,二力*」-〃/?,解得;TR3,

32乃127T36

r

则设所求圆锥的底面直径与母线长为x（x>0），则底面半径为:，

2

r139

则S=^）2+-7TX2=^x2=9,解得X=2,

设高为〃，则V=^（^）27th-—0）。=®-s/3.

故选：A.

8.（5分）若（金+4-2）3。+。）23>0）的展开式中小的系数为3,则。=（）

X

A.1B.-C.V2D.2

2

【解答】解：•••（¥+[-2）3。+4）2=3-36-。2+2仃+/）（4>0）,

XX

而（X-%的展开式的通项公式为J=墨•（-1厂・产”，

X

故。一%«2+2磔+/）的展开式中f的系数为尊+2ax0+/.（_c：）=15-6a2=3,

X

则4=也，

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

22

9.（5分）己知曲线C:‘一+q二=1（%HT,WHT）,则下列结论正确的是（）

4+机1+m

A.若曲线C为椭圆或双曲线，则其焦点坐标为（土后，0）

B.若曲线C是椭圆，则机>-1

C.若，"<-1且用二-4,则曲线C是双曲线

D.直线行-)=人=0伙eR)与曲线c恒有两个交点

【解答】解：若曲线表示椭圆，•.•4+m>1+m，，。2=4+加>(),/=1+阳>0,则机>7,

即椭圆焦点在x轴，则廿=屋-/=3,得c=&,此时焦点坐标为(土耳，0),

若曲线表示双曲线，由(4+加)(1+用)<0,得

22

此时双曲线的标准方程为』-----=1,

4+m-\-m

则M=4+m,h2=-\-m,即焦点在x轴,则。2=/+/=3,得。=行，

此时焦点坐标为(土豆，0),故A正确；

若曲线表示椭圆，•.•4+m>1+加，，a2=4+">(),/=1+加>0,则加>-1,故3正确;

若曲线表示双曲线，由(4+加)(1+加)<0,得一4Vm<-1,故C错误；

由近-y-k=0得小一1)-丁=0,得卜-1=0,得8=1,y=0,即直线过定点M(1,O),

当曲线为双曲线时，-4<机<-1,此时a2=4+we(0,3),

当m=-2时;a2=2,此时右顶点为(也，0),在点M(1,O)的右侧，

此时直线不一定有两个交点，故。错误.

故选：AB.

10.(5分)已知/(X)是定义在R上的奇函数，/㈤的图象关于x=l对称，当xe(O,1］时，

/(X)=-X2+2X,则下列判断正确的是()

A./(X)的值域为(0,1］B./(X)的周期为2

C./(X+D是偶函数D./(2021)=1

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A,当xe(0,1］时，f(x)=—炉+2%,此时

又由/(x)是定义在R上的奇函数，则/(0)=0,且当八。1,0)时,-LJ(x)<0,

故在区间［T,1］上，-哪%)1,A错误，

对于3,函数/(©图象关于直线x=i对称,则有/(2-x)=/(x),

又由/(X)是定义在R上的奇函数，则/(X)=-/(-X)=-/(2+x),

则有/(x+4)=-/(x+2)=/(x),故/(x)是周期T=4的周期函数，8错误；

对于C,/㈤的图象关于x=i对称，则函数/(x+1)的图像关于y轴对称，/(x+1)是偶函

数，C正确，

对于。，/(x)是周期T=4的周期函数，则./(2()21)=/(l+4x5()5)=/(1)=1,。正确，

故选：CD.

11.(5分)己知函数/(x)=cosx+/lsinx,则下列说法正确的是()

A.若函数/(x)的最小值为一5,则2=2

B.若xe(O,]),则m4e(0,l)使得/(x)=4成立

C.若2=6,VxG[0,刍都有|/(x)-加|<1成立，则me(L2)

2

D.若函数/(x)在(0,()上存在最大值，则正实数冗的取值范围是(0,明)

【解答】解：对于A,函数/'(x)=cosx+)sinx=3+分sin(x+。),其中tan9=「

因为函数/(X)的最小值为-5,所以-TiT/u-S,解得；1=±2后，故A错误；

对于3,若函数,f(x)=cosx+/lsinx=/l,

x

1[+tan—c

COSX2=-1^^

则4=+

1-sinxxX

1-tan—1-tan-

22

rrX71XX

因为工£(0,一)，所以一£(0,一)，tan-6(0,1),l-tan-€(0,l),

22422

2?

G(2,4-00),-1+£(1,4-00),此时几6(1,口)，

x-----------------------------X

1-tan-1-tan—

22

所以不存在见£(o,i)使得/a)=%成立，故3错误;

对于C,若2则/(x)=2sin(x+3),

6

因为xw[0,—],所以工+工£巳，—],/(x)G[1,2],

2663

|/(x)-777|<1«-1</(X)-m<1O777-1</(x)<m+l,

因为Vxe[O,9都有|/。)-"?|<1成立，

所以卜7<1,解得即加e(L2),故c正确;

[/M+1>2

对于。，f(x)=V1+A2sin(x+cp),其中tane二；,

A

jr

因为函数/(X)在(0,§)上存在最大值，

所以*<g</+g,即夕

236

所以tan(pG(―^―,+8),—G(,+»),

兀€(0,百)，故。正确.

故选：CD.

12.(5分)数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数

问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与，(X—0)2+('—6)2相关的代数问题,可以转

化为点A(x,y)与点B(a,b)之间的距离的儿何问题.结合上述观点，对于函数

/(x)=J』+4x+5+Vx2-4x+5，下列结论正确的是()

A./。)=6无解B./。)=6的解为x=±竽

C./(X)的最小值为26D./(X)的最大值为2君

【解答】解：/(x)=y/x2+4x+5+\{x2-4x+5=J(X+2)2+1+^/(x-2)2+1，

设P(x,l),A(-2,0),3(2,0),

则/(x)=|PA|+|PB|,

若/(x)=6,则1PAi+|P3|=6〉|AB|=4,

则P的轨迹是以A,3为焦点的椭圆，

此时2<2=6,c=2,即a=3,3=9—4=5,

即椭圆方程为三+匕=1,当y=l时，w-=i--=-.得/=迎，得》=±述，故A错

9595555

误，5正确，

8关于x=i对称点为C(2,2),

则|P4|+|PB|=|P4|+|PC|…|AC|,当A,P,C三点共线时，/(x)最小，此时

/(x)=\AC\=)(2+2)2+(2-0)2=416+4=同=26，/W无最大值,

故C正确，。错误，

三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13.（5分）已知I引=1,出|=3,且5-5|=2,则J+明1=7.

【解答】解：根据题意，伍1=1,出|=3,且旧一行|=2,

则有|1一5?=于+"一2无5=10-25石=4,变形可得无6=3,

则|日+*|2=片+4后+4无5=49,

故|1+2昨7,

故答案为：7.

14.（5分）某圆形广场外围有12盏灯，如图所示，为了节能每天晚上12时关掉其中4盏

灯，则恰好每间隔2盏灯关掉1盏的概率是_

【解答】解：将12盏灯依次编号为1,2,3…，12,

1?1

从12盏灯中关掉4盏灯，共有0===495种方法,

每间隔2盏灯关掉1盏共有3种情况，即关掉1,4,7,10或2,5,8,II或3,6,9,12,

31

所以恰好每间隔2盏灯关掉1盏的概率为，

495165

故答案为：.

165

15.(5分)斜率为&的直线过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，且与C交于A,B两点,

若|A8|=3夜，则p=_&_,AAOB(。为坐标原点)的面积为.

【解答】解：由抛物线的方程可得焦点尸的坐标(5，0),准线方程为了=-日,

设y,),B(X2,y2),由题意设直线AB的方程：y=&x-与,

y=V2(x--)2

联立2,整理可得：x2-2px--n^-=0,

y2=2px4

2

可得x)+Z=2p,%9=一5，

所以Vi+%=+X2—〃)=，y必=—p，巧=-yjzp2+4〃“p"»

|AB|=Xj+x2+p=3p=3V5»所以p=\p2,

SMOB=[|O尸l・ly_必J（X+）’2）2_4%%=g.等.,2/+4/=乎,

故答案为：>/2,.

2

16.（5分）在四面体A8CD中，A5=AC=8C=AD=CD=2,二面角5-AC-£>为120。，

则四面体ABCD的外接球的表面积为手.

一3一

【解答】解：如图，

由己知可得，AABC,AACD为等边三角形,

取AC的中点G,连接BG,DG,则8G_LAC,DGJ.AC,

..NBG"为二面角BGD的平面角,大小为120。，

设A48c的外心为E,AACD的外心为F,

分别过£,尸作所在面的垂线，相交于O,则。为四面体A8CD的外接球的球心,

1c

由已知求得EG=FG=-BG=—,

33

在AEFG中，求得EF=

2有

则0G=

sinl20。一由一3

2

可得四面体A8C。的外接球的半径R=OB=\l0G2+BG2-2OG-BG-cos60°

7

四面体"CD的外接球的表面积为47x（a）2=也.

V33

故答案为：—~•

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）记S“为数列｛”“｝的前〃项和，已知q=l,—.

（1）求数列｛a』的通项公式；

（2）若>5­），设数列色）的前几项和为T.’证明：V”eN*,Tn<-.

从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对题目进行求解.

条件①：S„=nan-rr+n,“eN*；

2

条件②：nSn+l=（n+1）S„+n+n,neN*；

条件③：反=厄+1,MN*♦

2

【解答】解：（1）若选条件①：Sn=na„-n+n,①；

当儿.2时，S,i+（"-1）②，

①一②得：（〃T）q,=（"T）a,i+2（〃-1）,

所以4=2（常数）,

故数列｛%｝是以4=1为首项，2为公差的等差数列；

所以见=2〃-1(首项符合通项)，

所以％=2”-1.

选条件②：电+i=(〃+1)5„+/J?+”,①；

="5,1+5-1)2+(〃-1)②，

①—②得：a“-%=2(常数)，

故数列｛%｝是以4=1为首项，2为公差的等差数列；

所以%=2〃-1(首项符合通项)，

所以%=2〃-1.

选条件③：&二=医+1，〃wN*.

所以61一底=i(常数)，

所以数列｛£■｝是以1为首项，I为公差的等差数列.

所以=〃，

整理得S“=〃2,

故%=5.-="2-("-I))=2〃一1,

证明：(2)由于q=2〃-1,

所以。=_______£_______=_£-=1_J___^),

"(2a"+l-l)(20""+l-1)(4"-1)(4""-1)3(4"-14"+,-1

…，，,1J11111,111、1

则=b、+"+...+〃，=一(----+-----+...+---------：­)=一(-----；—)<-

"'-"3377154"-14"+,-1334,,+,-19

18.(12分)在AABC中，角A,B,C的对边分别是。，b,c,已知

a•sinA+a•sinC-cosB+b•sinC•cosA=b-sin8+。♦sinA.

(1)求角B的大小；

⑵若b=3«,c=3>/I,点。满足AD=2AB+」AC,求A4BD的面积.

33

【解答】解：(1)Ta-sinA+a-sinC-cosB+b-sinC-cosA=b•sinB+c-sinA,

/.sinA-sinA+sinA-sinC•cosB+sinB•sinC-cosA=sinB•sinB+sinCsinA,

即sinA•sinA+sinC(sinAcosB+sinBcosA)=sinB-sinB+sinC-sinA,

/.sinA•sinA+sinCsin(A+B)=sinB-sinB+sinC•sinA,

/.sin2A+sin2C-sin28=sinAsinC,

即b~—cic,

由余弦定理得cosB=-,

2

TT

由3为三角形内角得8=§；

(2)由⑴a2+c2-b2=ac,

/+18-2x3啦XL=54,

2

整理得3&。-36=0,

解得，a-642,

—2—1—

AD=-AB+-AC,

33

一.-2.1.-1.-1.

BD=AD-AB=-AB+-AC-AB=-(AC-AB)=-BC,

3333

在BC上，且为靠近8的三等分点，

SMltc=gacsin8=；x6及x3夜x号-9百,

SMBD=gS,BC=gX9G=3若.

19.(12分)如图，在四棱锥尸-ABC。中，平面RIB_L平面ABC。，BC//AD,NBA»=90。，

PA=AD=2AB=4BC=4,PC=后.

(1)证明：%_L平面4?C£＞；

(2)线段M上是否存在一点M,使得MC与平面PC。所成角的正弦值为Y*?若存在,

请求出”的值；若不存在，请说明理由.

p

【解答】(1)证明：•.•平面■平面ABC»,平面平面=,ZBAD=90°,

.•.4。_1平面》记,

♦.•P4u平面NJ,.\AD±PA,

在直角梯形A8C。中，2AB=46C=4,

AC=ylAB2+BC2=6=75,

-,-PA=4,PC=y/2A,.-.PA1+AC2^PC2,即尸AJ.AC,

X/IDQAC=A,AD.ACU平面ABC£),

.^.IB4J_平面ABC力.

(2)解：以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为X,y,Z轴建立如图所示的空

间直角坐标系，

则A(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,4),C(2,i,0),D(0,4,0),

AB=(.2,0,0),定=(2,1,-4),PD=(0,4,-4),

设丽=4而，/le[0,1],则M(24,o,0)

MC=(2-2A,1,0),

设平面PCD的法向量为万=（X,y,Z）,则!无匕=°,即，2x+y-4z=0,

n-PD=O[4y_4z=0

33

令y=1,则兀=一，z=ifi,i）,

22

•••MC与平面PCD所成角的正弦值为噜I,

3

>/221,,nMC,.-（2-22）+1

———=|cos<n,MC>|=|----.|=|2-------------I，

17\n\-\MC\

+1

°1

化简得16万-84+1=0,解得力=一，

4

故线段AB上存在点M满足题意，且怨=!

AB4

22i

20.（12分）已知椭圆C:与+5=1（。＞匕＞0）的离心率为一，过椭圆C右焦点并垂直于X轴

a~b-2

的直线PM交椭圆C于P,M（点尸位于X轴上方）两点，且AOPM（。为坐标原点）的面

3

积为1

2

（1）求椭圆C的标准方程；

9

（2）若直线/交椭圆C于A,B（A,8异于点P）两点，且直线Q4与依的斜率之积为

求点P到直线/距离的最大值.

【解答】解：（1）由题意可得P（c,%）,

a

c1

c——=一

所以由题意可得a2且,2=/-/,解得/=4,/=3,

12b23

12a2

x22

所以椭圆的方程为：—+^v=1；

43

3

（2）由（1）可得尸（I,?,设4%,乂），B（,q,%），

设直线/的方程为：y=kx^m,

y=kx-\-m

联立可得y2且整理可得：（3+4&2*+8切a+4裙-12=0,

---F—=1

43

△=64机2*2_4.（4女2+3）.（4m2-12）>o,

-SkinW-12

且n“豆而x.x,=---------

।~3+4公

33

kM-k,,B=-2.——2,=-Z,整理可得：(y-l)(y-l)=-(刃一1)(々一1),

%,-1x2-l44

3939

整理可得(9+如)书+[k(m))_*+%)+(/M--)2+-=0,

93

整理可得2左2+4/n2-3m+6km——=0,BP(k+m——)Qk+4m+3)=0,

22

3

k+m——=0或2左+4m+3=0,

2

333

若氏+加一一二0,则直线方程为：y-一二k(1-1),直线恒过N(l,，)，与。点重合,

222

31

若24+4w+3=0,则直线方程为：

13

所以直线恒过定点啊,-)

所以P到直线/的距离的最大值为IPQI的值为J(l-1)2+l|-(-^)]2=亭

21.(12分)已知函数/(x)=/«x-or+l(aeR).

(1)讨论函数/(x)的零点个数;

(2)设国，须是函数/(%)的两个零点，证明：％+犬2+2e/〃a>0.

【解答】解：令y=。，即阮x=ox-i,画图可知,

当心0时，直线y=©-i与y=/我的图象有且只有一个交点，即一个零点；

当。>0时，设直线y="x-i与)，=/加切于点(后,/%)，切线斜率为

切线方程为y-/nx0=L(x-x。)，把(0,T)代入上式可得玉=1,&=1,

%

.•.当0<a<1时，直线y=orT与》=/我有两个交点，即两个零点;

当a=l时直线，=以-1与y=/我相切于一点，即一个零点;

当a>1时直线，=以-1与y=加1没有交点，即无零点.

综上可知，当a>l时，/（X）无零点;

当a=l或0时，/（X）有且仅有一个零点;

当OvaV1时,当。有两个零点.

（2）因为/（X）有两个零点，由（1）可知0<“<1,

故令a=L则/(x)=/nx—L+l,故/㈤的最大值为/(e)=1,

ee

所以/(1),J(e)=1,则有Inx—x+1„1,

e

1112

所以Inx,y—x,故/〃一,，—，所以—2劭必一，

eaaea

2

要证%+々+2elna>0,即证与+*>-,.-2elna,

a

因为再，々是函数/（X）的两个零点，

flnx—ax+1=0

所以}}解得历受"二玳与一M），

[lnx2-ax2+1=0

即证2（声一丹）

In坛

王

2（强-1）

不妨设0<%<W，则历9>」一

西西+电1+2

令”卫>i,则证加>"二D