（新教材）【人教A版】必修一3.1.1.1（数学）

第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念第1课时函数的概念1.函数的概念定义设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y=f(x),x∈A定义域x的取值范围值域与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}【思考】(1)对应关系f一定是解析式吗?提示:不一定.对应关系f可以是解析式、图象、表格,或文字描述等形式.(2)f(x)与f(a)有何区别与联系?提示:f(x)与f(a)的区别与联系:f(a)表示当x=a时,函数f(x)的值,是一个常量,而f(x)是自变量x的函数,一般情况下,它是一个变量,f(a)是f(x)的一个特殊值.2.区间及有关概念(1)一般区间的表示.设a,b∈R,且a<b,规定如下:定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a,b]

定义名称符号数轴表示{x|a<x<b}开区间(a,b)

定义名称符号数轴表示{x|a≤x<b}半开半闭区间[a,b)

{x|a<x≤b}半开半闭区间(a,b]

(2)特殊区间的表示.定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符号(-∞,+∞)[a,+∞)(a,+∞)(-∞,a](-∞,a)【思考】(1)区间是数集的另一种表示方法,那么任何数集都能用区间表示吗?提示:不是任何数集都能用区间表示,如集合{0}就不能用区间表示.(2)“∞”是数吗?以“-∞”或“+∞”作为区间一端时,这一端可以是中括号吗?提示:“∞”读作“无穷大”,是一个符号,不是数.以“-∞”或“+∞”作为区间一端时,这一端必须是小括号.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)“y=f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”. (

)(2)根据函数的定义,定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y. (

)(3)在函数的定义中,集合B是函数的值域. (

)(4)在研究函数时,除用符号f(x)外,还可用g(x),F(x),G(x)等来表示函数. (

)提示:(1)×.f(x)是一个符号,“y=f(x)”是“y是x的函数”的数学表示.(2)×.根据函数的定义,对于定义域中的任何一个x,在值域中都有唯一的y与之对应.(3)×.在函数的定义中,函数的值域是集合B的子集.(4)√.同一个题中,为了区别不同的函数,常采用g(x),F(x),G(x)等来表示函数.2.若f(x)=则f(3)=________.

【解析】f(3)=答案:

3.用区间表示函数f(x)=的定义域是________.

【解析】由题意得x-1>0,所以x>1定义域为(1,+∞)答案:(1,+∞)类型一函数关系的判断【典例】1.设集合P={x|0≤x≤2},Q={y|0≤x≤2},则图中能表示P到Q的函数的是 (

)A.(1)(2)(3)(4) B.(1)(3)(4)C.(1)(4) D.(3)2.在下列从集合A到集合B的对应关系中,不能确定y是x的函数的是 (

)①A={x|x∈Z},B={y|y∈Z},对应关系f:x→y=②A={x|x>0,x∈R},B={y|y∈R},对应关系f:x→y2=3x;③A={x|x∈R},B={y|y∈R},对应关系f:x→x2+y2=25;④A=R,B=R,对应关系f:x→y=x2;⑤A={(x,y)|x∈R,y∈R},B=R,对应关系f:(x,y)→s=x+y;⑥A={x|-1≤x≤1,x∈R},B={0},对应关系f:x→y=0.A.①⑤⑥

B.②④⑤⑥C.②③④

D.①②③⑤【思维·引】1.在x轴上区间[0,2]内作与x轴垂直的直线,此直线与函数的图象恰有一个公共点.2.先看集合A,B是否为非空数集,再判断非空数集A中任取一个数,在非空数集B中是否有唯一的数与之对应.【解析】1.选C.根据函数的定义,在定义域内的任何一个x值,都唯一对应一个y值,故(1)、(4)正确;(2)中定义域内的1对应了2个函数值,(3)中定义域(1,2]内的x值,没有对应的y值,故(2)、(3)错误.2.选D.①在对应关系f下,A中不能被3整除的数在B中没有唯一确定的数与它对应,所以不能确定y是x的函数.②在对应关系f下,A中的数在B中有两个数与之对应,所以不能确定y是x的函数.③在对应关系f下,A中的数(除去5与-5外)在B中有两个数与之对应,所以不能确定y是x的函数.⑤A不是数集,所以不能确定y是x的函数.④⑥显然满足函数的特征,y是x的函数.【内化·悟】理解函数的概念,需要把握哪几个要点?提示:(1)集合A,B是非空数集;(2)强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x,在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应.这三性只要有一个不满足,便不能构成函数.【类题·通】1.判断一个对应是否是函数的方法2.根据图形判断对应是否为函数的步骤(1)任做一条垂直于x轴的直线l.(2)在定义域内平行移动直线l.(3)若l与图形有且只有一个交点,则是函数;若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数.如图所示:【习练·破】1.如图可作为函数y=f(x)的图象的是 (

)【解析】选D.观察图象可知,A,B,C中任取一个x的值,y有可能有多个值与之对应,所以不是函数图象.D中图象是函数图象.2.已知集合A={1,2,3,4},B={5,6,7},在下列A到B的四种对应关系中,存在函数关系的个数是 (

)A.1

B.2

C.3

D.4【解析】选B.根据函数的定义可知,集合A中每一个实数在B中都有唯一确定的实数与之对应,其中①③均满足函数的定义.类型二求函数的定义域【典例】1.设全集为R,函数f(x)=的定义域为M,则∁RM= (

)A.{x|x≥2或x=-1}

B.{x|x<2且x≠-1}

C.{x|x≥2}

D.{x|x>2或x=-1}2.若将长为a的铁丝折成矩形,则矩形面积y关于一边长x的解析式为________,此函数的定义域为________. 世纪金榜导学号

3.求下列函数的定义域. 世纪金榜导学号(1)f(x)=(2)y=【思维·引】1.依据分式的分母不为0,二次根式的被开方数大于或等于0,零的零次方无意义,列不等式(组)求定义域.2.先用a和x表示另外一条边,然后根据两条边长都大于0,列不等式组求定义域.3.(1)依据分式的分母不为0,列不等式求定义域.(2)依据分式的分母不为0,二次根式的被开方数大于或等于0,列不等式组求定义域.【解析】1.选A.由解得x<2且x≠-1,所以M={x|x<2且x≠-1},所以∁RM={x|x≥2或x=-1}.2.已知矩形的一边长为x,则另一边长为(a-2x),所以y=x·(a-2x)=-x2+ax,由得0<x<,故定义域为答案:y=-x2+ax

3.(1)因为|x+1|≠0,x+1≠0,所以x≠-1.所以定义域为{x|x≠-1}.(2)因为得x2=1且x≠1,即x=-1,所以定义域为{-1}.【内化·悟】若函数的对应关系是表格或图象形式,如何求函数的定义域?提示:表格形式下直接看自变量这一行的取值构成的集合;图象形式下,观察图象上所有点的横坐标构成的集合.【类题·通】已知函数的解析式,求函数的定义域(1)本质:求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围.(2)常见题型①如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R.②如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.③如果f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.④y=x0要求x≠0.⑤如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集).⑥对于由实际问题的背景确定的函数,其定义域还要受实际问题的制约.【习练·破】1.函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的定义域为________.

【解析】观察函数的图象,图象上所有点的横坐标构成的集合为(0,1)∪(1,2],即为定义域.答案:(0,1)∪(1,2]2.求下列函数的定义域:【解析】(1)所以函数的定义域为

(2)⇒x=1.所以函数的定义域为{1}.(3)所以函数的定义域为{x|x≤1,且x≠0}.(4)解得x>-1,且x≠1.所以函数的定义域为{x|x>-1,且x≠1}.【加练·固】求下列函数的定义域.【解析】(1)要使函数有意义,需满足

得x>-2且x≠3.所以所求函数的定义域为(-2,3)∪(3,+∞).(2)要使函数有意义,需满足所以x>0且x≠1,所以所求函数的定义域为(0,1)∪(1,+∞).类型三函数的对应关系的应用角度1求值问题【典例】1.已知f(3x+1)=4x+3,则f(4)= (

)A.6

B.7

C.8

D.92.如图,函数f(x)的图象是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则f(f(3))的值为________.

【思维·引】1.注意到f(4)=f(3×1+1)就可以利用f(3x+1)=4x+3求f(4).2.根据图象确定自变量x=1和x=3时,对应的函数值即可求f(f(3)).【解析】1.选B.由3x+1=4,得x=1,所以f(4)=f(3×1+1)=4×1+3=7.2.据图象知,f(3)=1,f(f(3))=f(1)=2.答案:2角度2求解析式问题【典例】已知函数f(x)=g(x)= 世纪金榜导学号(1)求f(3),f(4),f(g(3))及f(g(4))的值.(2)求f(g(x)),并证明f(x)+f(g(x))是常数.【思维·引】(1)依据函数解析式求f(3),f(4),计算f(g(3))及f(g(4))时,由内到外逐步计算.(2)求f(g(x))可将g(x)整体代入f(x)的解析式.【解析】(1)f(3)=f(4)=(2)因为f(x)=则所以f(x)+f(g(x))=【素养·探】在解答与函数的对应关系的问题中,经常利用核心素养中的数学抽象,利用函数的对应关系,求函数值或求形如f(g(x))的函数的对应关系.将本例的条件不变,求g(f(x)).【解析】g(f(x))=【类题·通】函数求值的方法及关注点(1)方法:①求f(a):已知f(x)的解析式时,只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值.②求f(g(a)):已知f(x)与g(x),求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.(2)关注点: