3.3 抛物线（练习） - 解析版

33．3抛物线（练习）解析第页3．3抛物线（练习）解析一．单项选择题：（每小题5分，共6小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若抛物线的焦点与双曲线的上焦点重合，则A．B．C．D．【答案】C【解析】因为双曲线半焦距，即双曲线的上焦点为，所以抛物线的焦点为，所以，即．故选C．2．抛物线的焦点为，是抛物线上一点，，则A．B．C．D．【答案】D【解析】因为抛物线的准线方程为，所以，解得．故选D．3．已知抛物线上有一条长为的动弦，则的中点到轴的最短距离为A．B．C．D．【答案】A【解析】抛物线的准线方程为．如图，设中点为，作垂直准线于点，则点到准线的距离为．因为，所以中点为到轴的最短距离为．故选A．4．已知，为抛物线上的两点，且的中点为，则直线的斜率为A．B．C．D．【答案】C【解析】已知的中点为，设，两点坐标分别为，，则，且．由可得，所以．故选C．5．已知点，分别是直线与抛物线上的动点，则的最小值为A．B．C．D．【答案】B【解析】的最小值即为抛物线上的点到直线的最小距离．设与直线平行且与抛物线相切的直线的方程为．由，得，令，解得．因为直线与抛物线相离，所以直线的方程为：，所以直线与与直线间的距离为，即的最小值为．故选B．6．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，过点且倾斜角为的直线交抛物线于，两点，则的面积为A．B．C．D．【答案】D【解析】设，．因为抛物线的焦点为，所以直线的方程为：，即．（解法一）由，消去得，，所以，所以．又到直线的距离，所以的面积为．故选D．（解法二）由消去得，，所以，，所以．因此的面积为．故选D．二．填空题（每小题5分，共6小题．）7．设坐标原点为，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，，若，则．【答案】【解析】因为抛物线的焦点为，准线方程为．由抛物线定义，得，所以．又直线过所以直线的方程为，所以．8．点是抛物线上一动点，若点，记点到直线的距离为，则的最小值为．【答案】【解析】因为抛物线的焦点为，准线方程为，由抛物线定义可知，，所以．9．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于，两点，且与抛物线的准线交于点．若，则_________．【答案】【解析】（解法一）如图，的焦点，准线交轴于点，过点，作准线的垂线，垂足分别为，．因为，所以，所以，因为，所以，所以．又，所以，所以．所以．（解法二）过点，作准线的垂线，垂足分别为，．因为，所以，所以，所以直线的倾斜角为或．故直线的方程为，代入，可得，所以，所以．10．已知过抛物线的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若点，使得，则_________．【答案】【解析】抛物线的焦点为，所以直线的方程为：代入，消去得．设，，则，，所以，．因此，所以．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）11．（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且．（1）求抛物线的方程；（2）设直线与抛物线交于，两点，那么在轴上是否存在定点，使得当变化时，总有成立？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）为抛物线上一点，且，所以到抛物线的准线的距离为，即，所以．又，所以，解得，所以抛物线的方程为．（2）设，，由，消去得，，所以，．若轴上是存在定点，使得恒成立，则直线的斜率与直线的斜率之和恒为，即．因此，所以，所以，所以，解得．即存在点，使得当变化时，总有成立．12．（本小题满分12分）在直角坐标系中，直线与轴交于点，与抛物线交于点，点关于点的对称点为，连结并延长交于点．（1）求；（2）除以外，直线与是否有其它公共点？说明理由．【答案】（1）；（2）详见解析．【解析】（1）依题意得，，又为关于点的对称点，所以，所以直线的斜率为，故直线方程为．代入，可得，所以或，即点的横坐标为，代入，可得，故