欧拉法改进欧拉法斐波那契法原理及流程图

1欧拉法求微分方程方法说明欧拉(Euler)法是解常微分方程初值问题最简单的数值方法，其详细做法是，将区间[a，b]进行N平分：，步长.并将式写成等价的积分形式（）再对式右端积分用矩形公式计算，则有,在式右端取，舍去余项。则得,作为的近似值。在式右端取，舍去余项，则得作为的近似值．一般地，在式右端弃取去余项，则得作为的近似值．式为欧拉法计算公式．我们知道微分方程的解是平面上的一族积分曲线，这族曲线中过点的积分曲线就是初值问题式的解．欧拉法的几何意义是，过点引斜率为的积分曲线的切线，此切线与直线的交点为，再过点引认为斜率的切线与直线的交点为，依此类推，从出发，作以为斜率的切线，此切线与直线交点为．于是便获得过点的一条折线，见图．过的积分曲线则用此折线来取代．因此，这类方法亦称折线法．图例：用欧拉法求微分方程=-2x==区间为[]y'y,y(0)1,h0,1y欧拉法流程图以下:开始读入计算n=1x0+h=>x1y0+h*f(x0,y0)=>y1输出x1,y1n=N结束欧拉法程序以下：clear;clc;x1=0;x2=1;h=;

n=1+nx1=>x0x0=0;y0=1;N=(x2-x1)/h;%要计算的次数x(1)=x0;y(1)=y0;forn=1:Nx(n+1)=x(n)+h;y(n+1)=y(n)+h*(y(n)-2*x(n)/y(n));endX=xY=y改良欧拉法求微分方程方法说明因为欧拉法采纳矩形公式计算积分产生较大截断偏差．改良欧拉法(又称改良折线法)是采纳梯形公式来计算式右端积分，则有（）在式右端取，舍去余项，则得将作为的近似值．在式右端再取，舍去余项，则得将作为的近似值．一般地，在式右端取，舍去余项．则得将作为的近似值．式为改良欧拉法计算公式．流程图以下：例：用改良欧拉法求微分方程y'=y-2x,y(0)=1,h=0.1,[]区间为y改良欧拉法程序以下：clear;clc;x1=0;x2=1;h=;x0=0;y0=1;p(1)=0;N=(x2-x1)/h;x(1)=x0;y(1)=y0;forn=1:Nx(n+1)=x(n)+h;y(n+1)=y(n)+h*(y(n)-2*x(n)/y(n));p(n+1)=y(n)+h*(y(n+1)-2*x(n)/y(n+1));y(n+1)=(y(n+1)+p(n+1))/2;endX=xY=y斐波那契法求极值方法说明斐波那契法原理近似于黄金切割法，不过搜寻区间的缩短率不再采纳黄金切割数。以下图，只需在[a,b]内取两点x1,x2,并计算出f(x1),f(x2),经过比较，可将区间[a,b]缩短为[a,x2]或[x1,b]。因为新的区间内包括一个已经计算过函数值的点，因此再从此中取一个试点，又可将这个新区间再缩短一次，不停地重复这个过程，直至最后的区间长度缩短到知足早先给定的精准度为止。图此刻的问题是，如何选用试点，在保证相同精准度的状况下使得计算f(x)函数值的次数最少在计算函数值的次数必定的状况下，最先区间与最后区间的长度之比可作为取点方式好坏的一个标准。计算n次函数值，如何取点使最后区间最小或许最后区间长度为1，计算n次函数值，初始区间最多为多长为此，引入Fibo