使闭回路系统

2023/9/21狀態變數分析

5CHAPTER※線性系統的控制性控制性(controllability)和觀測性(observability)的觀念首先由卡曼(Kalman)提倡用於現代控制理論中，它在理論和實際兩方面都扮演著極重要的角色。控制性和觀測性的條件常可決定最佳控制問題解答之存在性。此即最佳控理論與古典控制理論的基本差異。在古典控制理論中，設計的技巧以試誤法為主。古典控制理論是給定一組設計規格，在開始時設計者並不知道解答是否存在。大多數的最佳控制理論針對系統參數與設計的目標，具有在設計之初就能判斷解答是否存在的標準。系統的控制性之條件與狀態回授的解之存在性關係密切，我們可任意放置系統的特徵值使其達到控制目的。輸出變數通常是可量測的，故觀測性的觀念與是否可由輸出變數來觀測或估計狀態變數的條件有關。

★狀態回授控制系統1.系統方塊圖：圖5-14。2.圖5-14(a)中的系統，其動態特性方程式：(5-223)2023/9/22狀態變數分析

5CHAPTER3.狀態變數經由常數矩陣K回授回來形成一閉迴路系統：(5-224)K為具有常數元件的p

n

回授矩陣4.閉迴路系統可表示為(5-225)圖5-14(a)狀態回授控制系統，(b)具有觀測器和狀態回授的控制系統這種問題也稱為經由狀態回授的極點配置設計(pole-placementdesign)。5.設計目標是找出回授矩陣K，使閉迴路系統(A–BK)的特徵值保持於某一事先設定的值。6.對於任意指定的極點，經由狀態回授的極點配置設計，其解的存在性直接與系統狀態的控制性有關。7.若(5-225)式的系統為可控制，則必存在一常數回授矩陣K，使得(A–BK)的特徵值可任意配置。2023/9/23狀態變數分析

5CHAPTER8.

設計和建構一個觀測器

(observer)，以便能從輸出向量

y(t)來估測狀態向量。圖

5-14(b)所示為具有觀測器的閉迴路系統方塊圖。觀測或估測到的狀態向量

(t)

，經由回授矩陣K可產生控制u(t)。存在此種觀測器的條件稱為系統的觀測性。★控制性的一般觀念1.線性非時變系統方塊圖：圖5-15。2.若系統的每個狀態變數可以在有限的時間內，被某一無限制(unconstrained)的控制u(t)所控制來達到某些目的時，則稱此系統為完全可控制的(completelycontrollable)。圖5-15線性非時變系統3.只要存在著一個不可控制的狀態，系統就稱為非完全可控制的或簡稱不可控制的。4.圖5-16說明具有兩個變數的線性系統狀態圖。因為控制u(t)只影響狀態x1(t)而

x2(t)是不可控制的。換句話說，以任何的控制u(t)不可能在有限的時間區間(tf

t0)由起始狀態x2(t0)來推動x2(t)至所要的狀態x2(tf)。因此，整個系統稱為不可控制的。狀態控制性(statecontrollability)2023/9/24狀態變數分析

5CHAPTER圖5-16非狀態可控制系統的狀態圖★狀態控制性的定義1.線性非時變系統的動態方程式：

(5-226)(5-227)x(t)為n

1的狀態向量，u(t)為r

1的輸入向量，y(t)為p

1的輸出向量，而A，B，C

和D

為適當維度的係數矩陣。2.若在一有限時間(tf

t0)0內存在一片段連續輸入u(t)，驅使狀態x(t0)至任何最終狀態x(tf)時，稱狀態x(t)在t=t0

為可控制的。若系統的每一個狀態x(t0)在一有限時間區間是可控制的，則稱此系統為完全狀態可控制的或簡稱可控制的。■定理5-1若(5-226)式的狀態方程式所描述的系統為完全狀態可控制的，則下列n

nr

矩陣的秩為n

是其充分且必要的條件︰(5-228)有時稱[A，B]為可控制的，這表示S

的秩為n。2023/9/25狀態變數分析

5CHAPTER

若S不是方矩陣，我們可以建構一個n

n

的矩陣SS'。若SS'

為非奇異的，則S

的秩為n。■定理5-2對於以狀態方程式(5-226)式r=1所描述的單輸入-單輸出(SISO)系統，若A和B是CCF或可用相似轉換轉成CCF，則[A，B]是完全可控制的。■定理5-3對於以狀態方程式(5-226)式所描述的系統，若A為DCF或JCF，且對應於每一個喬頓方塊最後一列矩陣B的列，其所有的元素皆不為零，則[A，B]為完全可控制的。Ex.針對一個JCF的系統，例如(5-229)式的矩陣A和B要證明其為可控制的，僅須對應於喬頓方塊最後一列矩陣B的列，其所有的元素皆不為零即可。(5-229)因此，(5-229)式中A和B可控制性的條件為b31

0，b32

0，b41

0和b42

0。►例題5-18某一系統狀態方程式的係數矩陣為(5-230)試問此系統是否為可控制？2023/9/26狀態變數分析

5CHAPTER<Sol.>這個系統是不可控制的，因其兩個狀態方程式是相依的，亦即要獨立地控制各個狀態是不可能的。我們可以很容易地證明S=[BAB]在此是奇異的。奇異的!►例題5-19考慮圖5-16中的系統，試討論此系統的可控制性。<Sol.>1.系統的狀態方程式的係數矩陣：(5-231)2.由(5-228)式，控制性矩陣為(5-232)S是奇異的，因此系統為不可控制的。►例題5-20考慮一個三階的系統，其係數矩陣為(5-233)試討論此系統的可控制性。

2023/9/27狀態變數分析

5CHAPTER<Sol.>1.控制性矩陣為(5-234)S是奇異的，因此系統為不可控制的。

另一種檢測方法：2.A的特徵值為

1

=2，

2=2

和

3

=1。3.相似轉換：以x(t)=T

(t)轉換可得到

A和

B的

JCF，其中

(5-235)(5-236)因為

的最後一列對應於特徵值

3

的喬頓方塊，其中的元素值為零。所以轉換後為不可控制的。

狀態變數由

(5-235)式中的轉換矩陣

T可知

x2=，其意為原系統的

x2

是不可控制的。

喬頓方塊內1前面的負號並不會影響該方塊的基本定義。2023/9/28狀態變數分析

5CHAPTER※線性系統的觀測性1.就本質上言，若系統的每一狀態變數都會影響到某些輸出，則系統為完全可觀測的。換言之，可由量測輸入和輸出以獲得關於狀態變數的資料。2.若任一狀態不能由測量輸出來觀測，則稱此狀態為不可觀測的，而稱系統為非完全可觀測的或簡稱不可觀測的。3.圖5-17

所示的線性系統狀態圖，其中狀態x2

並沒有以任何方法連接至輸出y(t)。一旦我們測量y(t)，就可觀測x1(t)，因為x1(t)=y(t)。但狀態x2

並不能由y(t)觀測出任何資料。因此，系統為不可觀測的。圖5-17不可觀測系統的狀態圖★觀測性的定義1.線性非時變系統動態方程式：(5-226)(5-227)2023/9/29狀態變數分析

5CHAPTER2.如果已知任一輸入u(t)，存在一個有限時間tf

t0

，使得我們依據在t0

t<tf的u(t)

，及A，B，C和D矩陣，以及在t0

t<tf

的輸出y(t)即足以決定x(t0)，我們稱此

x(t0)狀態為可觀測的。觀測性的條件和系統的係數矩陣A和C有關■定理5-4以(5-226)式和(5-227)式的動態方程式所描述的系統若為完全可觀測的，則下列n

np觀測矩陣的秩為n

是其充要條件︰(5-237)此條件也稱為[A，C]對為可觀測的若系統僅有一個輸出，C為1

n

矩陣；則V為n

n

方矩陣。若V為非奇異的，則系統為完全可觀測。★觀測性的其它測試法■定理5-5對於動態方程式(5-226)式和(5-227)式所描述的單輸入單輸出(SISO)系統(即r=1與p=1)，若A和C是OCF或可用相似轉換變成OCF，則[A，C]為完全可觀測的。2023/9/210狀態變數分析

5CHAPTER■定理5-6對於動態方程式(5-226)式和(5-227)式所描述的系統，若A是DCF或JCF。且對應於每一個喬頓方塊第一列之C的行，其所有元素皆不為零，則[A，C]為完全可觀測的。

若系統的特徵值皆互不相同，亦即A為對角矩陣，則可觀測性的條件為沒有任何C

的一行其元素全為零。►例題5-21

考慮圖5-17中的系統，其早先被定義為不可觀測的。以(5-226)式和(5-227)式的形式來表示系統的動態方程式，而有(5-238)試問此系統是否具有可觀測性？圖5-17不可觀測系統的狀態圖<Sol.>2023/9/211狀態變數分析

5CHAPTER1.觀測性矩陣：(5-239)它是奇異的。因此[A，C]為不可觀測的。2.因為A為DCF且C的第二行為零，所以狀態x2(t)為不可觀測的。※控制性，觀測性和轉移函數之間的關係■定理5-7如果一個系統輸入-輸出之間的轉移函數有極點-零點對消，則這個系統不是不可控制就是不可觀測，甚至兩者皆是，完全視狀態變數如何定義而定。另一方面，如果這個轉移函數沒有極點-零點對消，則可以用完全可控制且可觀測的動態方程式來描述系統。

若以轉移函數建立一個系統的模型而沒有極點-零點對消，則無論是如何導出狀態變數模型，我們皆可確定其為可控制且可觀測的。Ex.某一SISO系統，其動態方程式的係數矩陣如下所示：(5-240)試問此系統是否具有可觀測性或可控制性？2023/9/212狀態變數分析

5CHAPTER<Sol.>1.因為A是對角矩陣，其四個狀態變數的控制性與觀測性的狀況可用目視法決定如下︰x1：可控制且可觀測的(C且O)x2：可控制但不可觀測的(C但UO)x3：不可控制但可觀測的(UC但O)x4：不可控制且不可觀測的(UC且UO)2.代表系統DCF分解的系統方塊圖：圖5-18。

3.此可控制且可觀測的系統，其轉移函數為(5-241)而對應於(5-240)式所描述的動態特性之轉移函數為(5-242)有三個極點-零點對消。這個單純的例子在說明︰沒有極點-零點對消且是最小階數的轉移函數，是唯一對應一可控制且可觀測系統的成分。2023/9/213狀態變數分析

5CHAPTER圖5-18(5-240)式所描述系統的方塊圖，它顯示了系統可控制、不可控制、可觀測及不可觀測的成分2023/9/214狀態變數分析

5CHAPTER►例題5-22

試考慮轉移函數：(5-243)試問此轉移函數所代表的系統是否具有可觀測性或可控制性？<Sol.>(5-243)式可分解成CCF和OCF如下：[A]CCF:

(5-244)1.因為可以找出CCF轉換，所以CCF的[A，B]是可控制的。2.觀測性矩陣：(5-245)它是奇異的，所以CCF的[A，C]是不可觀測的。[B]OCF:(5-246)1.因為可以做出OCF轉換，所以OCF的[A，C]是可觀測的。2.控制性矩陣：(5-247)它是奇異的，所以OCF的[A，B]為不可控制的。2023/9/215狀態變數分析

5CHAPTER

結論︰

給定一個以轉移函數建模的系統，該系統的控制性與觀測性的狀況視其狀態變數如何定義而定。※控制性與觀測性的不變定理■定理5-8相似轉換的不變定理1.系統的動態方程式：2.相似轉換x(t)=P(t)P為非奇異的動態方程式轉成(5-248)(5-249)其中(5-250)的控制性與的觀測性不受轉換的影響。在相似轉換之下，控制性與觀測性可被保存下來。2023/9/216狀態變數分析

5CHAPTER■定理5-9

具有狀態回授之閉迴路系統的控制性定理

如果開迴路系統(5-251)為完全狀態可控制，則經由狀態回授(5-252)所得的閉迴路系統其狀態方程式變成(5-253)也是完全可控制。反之，若[A，B]為不可控制，則不可能有任何K存在使得[A

BK，B]為可控制。

換句話說，若開迴路系統為不可控制，則經由狀態回授不可能使其成為可控制。<Sol.>1.[A，B]可控制的意義是指在區間[t0，tf

]

中存在有一控制u(t)，使起始狀態x(t0)能在有限時間區間tf

t0

內被驅至最終狀x(tf)。2.將

(5-252)式寫成(5-254)此即閉迴路系統的控制。3.若存在有一u(t)可在有限時間內將x(t0)驅至任意的x(tf)，則(5-254)式意指r(t)也存在，而閉迴路系統也是可控制。4.若[A，B]為不可控制，意指不可能有u(t)存在使得在有限時間內可將x(t0)驅至任意的x(tf)，則我們不可能找到一可驅動x(t)之r(t)，否則，我們可如(5-252)式般設定u(t)來控制這個閉迴路系統。2023/9/217狀態變數分析

5CHAPTER■定理5-10具有狀態回授之閉迴路系統的觀測性定理若一個開迴路系統為可控制及可觀測，則(5-254)式形式的狀態回授會破壞觀測性。換句話說，開迴路系統的觀測性和具有狀態回授之閉迴路系統的觀測性毫不相干。►例題5-23令一線性系統的係數矩陣為(5-255)利用狀態回授，試證明[A，B]為可控制的，而[A，C]為可觀測的。<pf.>1.令狀態回授定義為(5-256)其中(5-257)2.閉迴路系統是以下列狀態方程式來描述(5-258)(5-259)3.閉迴路系統的觀測性矩陣：(5-260)2023/9/218狀態變數分析

5CHAPTER4.V的行列式：(5-261)因此，若

k1

和

k2

的選擇是使

=0，這個閉迴路系統則成為不可控制的。

※最後的說明例子︰磁浮球系統1.考慮圖5-19

中的磁浮球系統。此系統的目的在於調制電磁鐵的電流，使得球能懸浮在距電磁鐵末端一定距離之處。2.系統的動態方程式：(5-262)(5-263)(5-262)式為非線性的3.系統的變數與參數如下︰v(t)=輸入電壓(V) x(t)=球的位置(m)i(t)=繞組電流(A) k=比例常數=1.0R=繞組電阻=1

L=繞組電感=0.01HM=球的質量=1.0kg g=重力加速度=9.8m/sec2

4.狀態變數定義為2023/9/219狀態變數分析

5CHAPTER圖5-19球懸浮系統(5-264)5.狀態方程式：(5-265)(5-266)(5-267)6.線性化參考平衡點x1(t)=x(t)=0.5m，將這些方程式線性化。在代入參數值後，線性化後的線性方程式為(5-268)

x(t)與

v(t)分別代表線性化系統的狀態向量與輸入電壓。7.係數矩陣：2023/9/220狀態變數分析

5CHAPTER(5-269)8.分析：以下進行的所有計算，皆可用計算機程式，如MATLAB工具盒來執行。1)特性方程式：(5-270)2)特徵值：A*的特徵值，或特性方程式的根為3)狀態變換矩陣A*的狀態變換矩陣(5-271)或(5-272)2023/9/221狀態變數分析

5CHAPTER狀態變換矩陣變成(5-273)進行部份分式展開並取反拉氏轉換因為(5-273)式的最後一項有正指數，所以

(t)的響應隨時間而增加，即系統為不穩定的。4)轉移函數：令磁浮球的位置x(t)當做輸出y(t)，v(t)為輸入(5-274)9.控制性：1)控制性矩陣為(5-275)2023/9/222狀態變數分析

5CHAPTER2)因為S的秩為3，所以系統為完全可控制的。10.觀測性1)為了要做狀態回授控制(於第十章討論)，完整的控制器須要回授三個狀態變數x1，

x2

和x3。2)討論：a.y(t)=球的位置=x(t)︰C*=[100]觀測性矩陣：(5-276)秩為3，所以系統為完全可觀測的。b.y(t)=球的速度=dx(t)/dt︰C*=[010]

觀測性矩陣：(5-277)秩為3，所以系統為完全可觀測的。2023/9/223狀態變數分析

5CHAPTERc.

y(t)=線圈電流=i(t)︰C*=[001]觀測性矩陣：(5-278)秩為1，因此系統為不可觀測的。

若選擇電流i(t)為可量測的輸出，則我們無法由所量測的資料來重建狀態變數。※MATLAB工具與個案研究MATLAB工具可讓使用者來完成下列的工作：•輸入狀態矩陣。•求取系統的特性多項式、特徵值與特徵向量。•求取相似變換矩陣。•檢查系統控制性與觀測性性質。•求得步階，脈衝，及自然響應(即針對初值條件的響應)，以及針對任何時間函數的

時間響應。•利用MATLAB符號工具便可以用反拉氏命令來求出狀態變換矩陣。•將轉移函數轉換成狀態空間形式，反之亦然。2023/9/224狀態變數分析

5CHAPTER★狀態空間分析工具的描述與用法1.狀態空間分析工具(State-SpaceAnalysisTool,statetool)是由一些m-檔及可用來分析狀態空間的人機界面(GUI)組成。2.由MATLAB命令列鍵入statetool或者從自動控制系統的啟動平台(ACSYS)點選適當按鍵均可呼叫statetool。Ex.考慮5-14節的例題。1.點選「輸入參數」(EnterParameters)按鍵，如圖5-20

所示。先輸入下列的係數矩陣(5-279)2.圖5-21

所示的狀態空間輸入視窗，點選適當的按鍵來輸入各係數矩陣。1)初始條件的預設值均定為零2)矩陣的列元素可用空格隔開或逗號間隔，而每一列則是用分號加以區分3)輸入矩陣A的方式：4)輸入矩陣B的方式：圖5-22

2023/9/225狀態變數分析

5CHAPTER圖5-20狀態空間分析視窗2023/9/226狀態變數分析

5CHAPTER圖5-21狀態空間輸入視窗2023/9/227狀態變數分析

5CHAPTER

本例的D矩陣設定為零(為預設值)

完成所有矩陣的輸入，按下「作用」鍵便可返回主視窗。3.為了求取(5-270)

式的特性方程式，特徵值及特徵向量，可點選「A的特徵值與特徵向量」

(Eigenvals&vectsofA)鍵。圖5-232023/9/228狀態變數分析

5CHAPTER圖5-23在按下「A的特徵值與特徵向量」鍵後的狀態空間工具視窗

為了得出詳解，必須回到MATLAB命令視窗。4.A矩陣，A的特徵值，與A的特徵向量均示於圖5-24。注意，特徵值的矩陣表示式等同於A的對角典型式(DCF)，而代表特徵向量的矩陣T則呈5-8-4節所討論的DCF轉換矩陣形式。

2023/9/229狀態變數分析

5CHAPTER圖5-24在按下「A的特徵值與特徵向量」鍵後，MATLAB命令視窗的顯示結果為了求出狀態變換矩陣

(t)，必須使用tfsym工具，此工具將在5-15-2節中討論。(5-279)式內C的選取方式可使球位置為輸出y(t)，而輸入為v(t)。5.點選「狀態空間計算」(State-SpaceCalculations)鍵便可得出系統的輸入-

輸出轉移函數。出現在MATLAB命令視窗的最後結果便是同時以多項式及因式分解形式表示的轉移函數，如圖5-25

所示。由該圖可知，其中會有因數值計算所造成的些微誤差。在所得的轉移函數中可令很小的那些項為零以得出(5-274)式。2023/9/230狀態變數分析

5CHAPTER圖5-25按下「狀態空間計算」鍵後，MATLAB命令視窗的顯示結果2023/9/231狀態變數分析

5CHAPTER6.按下「狀態空間計算」鍵後，再按下「控制性」(Controllability)與「觀測性」

(Observability)鍵便可決定系統是否為可控制或可觀測。按下「控制性」鍵後，便可得出圖5-26

所示的MATLAB命令視窗。圖5-26按下「控制性」鍵後，MATLAB命令視窗的顯示結果S矩陣與(5-275)式一樣，其秩為3。因此，此系統為完全可控制。2023/9/232狀態變數分析

5CHAPTER7.按下「觀測性」鍵後，系統可觀測性便會在MATLAB命令視窗評估，如圖5-27所示。此系統為完全可觀測，因為V矩陣的秩為3。圖5-27按下「觀測性」鍵後，MATLAB命令視窗的顯示結果2023/9/233狀態變數分析

5CHAPTER★狀態空間應用之tfsym工具的描述與用法1.在MATLAB命令視窗內直接鍵入tfsym或者在ACSYS視窗內點選「轉移函數符號」(TransferFunctionSymbolic)鍵，便可執行轉移函數符號工具。2.無論用何種方式，均會得出圖5-28

的視窗。圖5-28轉移函數符號視窗Ex.求解5-14節的例題

tfsym是以MATLAB符號工具為基礎，故僅能透過MATLAB命令視窗來提供使用者界面。

1.點選「狀態空間」(State-Space)鍵之後，必須進入MATLAB命令視窗才能輸入

(5-279)式的係數矩陣。2.MATLAB命令視窗的輸入與輸出顯示結果如圖5-29

所示。一開始(sI

A)

1

與

(t)矩陣可能以有別於(5-271)與(5-272)式的形式出現。2023/9/234狀態變數分析

5CHAPTER圖5-29tfsym工具的MATLAB命令視窗之顯示結果在MATLAB命令視窗中使用“simple”命令即可進一步化簡這些矩陣。例如，為了化簡

(t)，在MATLAB命令視窗內鍵入“simple(phi)”即可。2023/9/235狀態變數分析

5CHAPTER★其它範例►例題5-24

就例題5-1與5-2的系統，(5-280)定義下列的系統，其中有四種不同的輸入型式：(5-281)試利用tfsym

與statetool來求解此問題，亦即求取狀態轉移矩陣

(t)及狀態解x(t)。<Sol.>1.啟動statetool並輸入所有矩陣與初始條件向量。2.按下「作用」鍵返回狀態空間主視窗，接下來，按下「A的特徵值與特徵向量」鍵，求出A的特性方程式、特徵值及特徵向量。出現在MATLAB命令視窗，如下所示：2023/9/236狀態變數分析

5CHAPTER3.評估此系統的控制性與觀測性，在狀態空間主視窗內按下相對應按鍵。結會出現在MATLAB命令視窗內，如下頁所示：4.為了繪出自然響應(亦即單獨由初始條件而無外加輸入u(t)所引起的響應)，可點選「自然響應」(