多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布§3.4两个随机变量的函数的分布

在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论:当随机变量X,Y的联合分布时，如何求出它们的函数Z=g(X,Y)的分布?例1(X,Y)的联合分布见右表，求〔1〕Z1=X+Y的概率分布;〔2〕Z2=X-Y的概率分布.

解由(X,Y)的分布可得:

1/803/82/82/80-12

013XYp00(X,Y)(-1,0)(-1,1)(-1,3)(2,0)(2,1)(2,3)X+Y-102235X-Y-1-2-421-1

去掉概率为0的值，并将相同函数值对应的概率求和，从而得到：一、离散型随机向量函数的分布

(1)Z1=X+Y的分布为Z1=X+Y-123PZ2=X-Y-4-112P(2)

Z2=X-Y的分布为

一般地，如果(X,Y)的概率分布为记zk(k=1,2,…)为Z=g(X,Y)的所有可能的取值，那么Z的概率分布为例2假设X、Y独立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,…,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,…,求Z=X+Y的概率函数.解=a0br+a1br-1+…+arb0

由独立性r=0,1,2,…解依题意例3假设X和Y相互独立,它们分别服从参数为的泊松分布,证明Z=X+Y服从参数为于是i=0,1,2,…j=0,1,2,…的泊松分布.r=0,1,…即Z服从参数为的泊松分布.

设

X~B(n1,p),Y~B(n2,p),且独立，具有可加性的两个离散分布

设

X~P(

1),Y~P(

2),且独立，那么X+Y~B(n1+n2,p)那么X+Y~P(1+2)假设X~B(n1,p),那么X是在n1次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率都为p.同样，Y是在n2次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率为p.故Z=X+Y是在n1+n2次独立重复试验中事件A出现的次数，每次试验中A出现的概率为p，于是Z是以〔n1+n2，p〕为参数的二项随机变量，即Z~B(n1+n2,p).二、连续型随机变量函数的概率分布1.(X,Y)~f(x,y)，求Z=(X,Y)的概率分布.假设Z为连续型随机变量,那么在f(z)的连续点处

解例1X,Y相互独立设Z的分布函数和概率密度分别为例2 (X,Y)~f(x,y)，求Z=X+Y的概率密度.解1

由概率密度的定义可知，Z=X+Y的概率密度为例2 (X,Y)~f(x,y)，求Z=X+Y的概率密度.解2

由概率密度的定义可知，Z=X+Y的概率密度为推论设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y).假设X和Y独立,那么两个随机变量和的概率密度的一般公式卷积公式为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域例3假设X和Y独立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解由卷积公式也即暂时固定故当或时,当

时,当

时,于是例4假设X和Y是两个相互独立的随机变量,具有相同的分布N(0,1),求Z=X+Y的概率密度.解由卷积公式令可见Z=X+Y服从正态分布N(0,2).用类似的方法可以证明:假设X和Y独立,

结论又如何呢?

此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形.假设X和Y独立,具有相同的分布N(0,1),那么Z=X+Y服从正态分布N(0,2).有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.

若(X,Y)则特别,假设X1,X2,...Xn独立同正态分布N(μ,σ2),那么记:三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布

设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y),我们来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.FM(z)=P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)由于X和Y

相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函数为:=P(X≤z)P(Y≤z)FM(z)1.M=max(X,Y)的分布函数即有FM(z)=FX(z)FY(z)即有FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]

=1-P(X>z,Y>z)FN(z)=P(N≤z)=1-P(N>z)2.N=min(X,Y)的分布函数由于X和Y

相互独立,于是得到N=min(X,Y)的分布函数为:=1-P(X>z)P(Y>z)FN(z)

设X1,…,Xn是n个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为

我们来求M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函数.(i=1,…,n)

用与二维时完全类似的方法，可得N=min(X1,…,Xn)的分布函数是

M=max(X1,…,Xn)的分布函数为:

特别地，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有例5设系统L由两个相互独立的子系统连接而成,连接的方式分别为(i)串联,(ii)并联,(iii)备用(当系统损坏时,系统开始工作),如以下图所示.设的寿命分别为它们的概率密度分别为其中且试分别就以上三种连接方式写出的寿命的概率密度.XYXYXYXY解(i)串联的情况

由于当系统中有一个损坏时,系统L就停止工作,所以此时L的寿命为因为X的概率密度为所以X的分布函数为当

x>0时,当

x0时,故类似地,

可求得Y的分布函数为于是的分布函数为=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]

的概率密度为XY(ii)并联的情况

由于当且仅当系统都损坏时,系统L才停止工作,所以此时L的寿命为故的分布函数为FZ(z)=FX(z)FY(z)于是的概率密度为XY(iii)备用的情况因此整个系统L的寿命为

由于当系统损坏时,系统才开始工作,当且仅当即时,上述积分的被积函数不等于零.当

z0时,当

z>0时,即时,被积函数不等于零.故于是的概率密度为

需要指出的是，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时,常称M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn)为极值.由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值.解一:P(Y=n)=P(max(X1,X2)=n)=P(X1=n,