第3章-连续信号的正交分解课件

3.1引言复杂信号可以分解成单位冲激函数的叠加LTI系统的特性完全可以由其单位冲激响应来表征信号分析——研究信号如何表示为各分量的和通常用正交函数集作为单元函数三角函数集3.1引言复杂信号可以分解成单位冲激函数的叠加3.2

正交函数集和信号的分解

3.2.1矢量的正交分解1.矢量的分量

3.2正交函数集和信号的分解1.矢量的分量

两矢量V1与V2正交时的夹角为。矢量V1在V2上的分量为c12V2，则所以系数1.矢量的分量两矢量V1与V2正交时的夹角为。分析若V1与V2正交，则θ=90°,cosθ=0，此时系数c12=0。这表明当V1与V2正交时，用c12V2来近似表示V1还不如用0来近似V1。因此，我们可以把两个矢量V1与V2正交的概念解释如下：给定两个矢量V1和V2，现在要用与V2成比例的矢量c12V2近似地表示V1，要求误差矢量Ve=V1‒c12V2的模|Ve|最小(此时的c12称为最佳)。若最佳的c12=0，则V1与V2正交。当两矢量V1与V2正交时，c12=0，即V1·V2=0。当V1=V2时，c12=1分析若V1与V2正交，则θ=90°,cosθ=0，此时系数2.矢量的正交分解平面矢量的正交分解2.矢量的正交分解平面矢量的正交分解2.矢量的分解三维空间矢量的正交分解2.矢量的分解三维空间矢量的正交分解2.矢量的分解推广到n维情况其中，系数2.矢量的分解推广到n维情况其中，系数3.2.2信号的正交分解1、正交函数——设f1(t)和f2(t)为定义在(t1,t2)区间上的两个函数，现在要用与f2(t)成比例的一个函数c12f2(t)近似地代表f1(t)，其误差函数为3.2.2信号的正交分解1、正交函数——设f1(t)和f2设f1(t)、f2(t)均为复函数，此时，c12也可能为一复数系数。式中，“*”代表取共轭复数。将上式右边展开，得设f1(t)、f2(t)均为复函数，此时，c12也可能为一复据平方误差的定义知Ee≥0，式中惟一可供选择的参数为c12。为使误差能量Ee最小，于是有若f1(t)、f2(t)正交，c12应为零。因此据平方误差的定义知Ee≥0，式中惟一可供选择的参数为c12。2.信号的正交展开设有一函数集｛g1(t),g2(t)，…，gN(t)｝，它们定义在区间(t1,t2)上，如果对于所有的i、j(可取1,2,…，N)都有则该函数集就称为区间(t1,t2)上的正交函数集。如果

则称该函数集为归一化正交函数集。2.信号的正交展开设有一函数集｛g1(t),g2(t)，例如,三角函数集｛1,cosΩt,cos2Ωt,…,cosmΩt,…,sinΩt,sin2Ωt,…,sinnΩt,…｝在区间（t0,t0+Ｔ）(式中T=2π/Ω)组成正交函数集,而且是完备的正交函数集。这是因为例如,三角函数集1.三角傅里叶级数

周期为T的函数f(t)都可分解为无限个正弦和余弦函数的代数和，即f(t)在(t0,t0+T)区间的三角傅里叶级数展开。f(t)应满足狄利克雷条件。

3.3信号表示为傅里叶级数直流分量基波分量n=1谐波分量n>11.三角傅里叶级数3.3信号表示为傅里叶级数直流基波分直流分量余弦分量系数正弦分量系数直流分量余弦分量系数正弦分量系数根据三角函数的运算法则,上式还可以写成。根据三角函数的运算法则,上式还可以写成。说明实用中进行信号分析时，不可能无限多次谐波，而只能取有限项来近似，这不可避免地要有误差n愈大，即所取级数项数愈多，方均误差愈小。方均误差趋于零。说明实用中进行信号分析时，不可能无限多次谐波，而只能取有限项例3-1将下列方波信号展开成三角级数1-1tTT/2例3-1将下列方波信号展开成三角级数1-1tTT/2解：要把函数展开成三角级数，只要求得分量系数a和b。解：要把函数展开成三角级数，只要求得分量系数a和b。因此，该非周期信号在区间（0，T）内可以表示为红----一项近似，绿-----两项近似，水红----三项近似因此，该非周期信号在区间（0，T）内可以表示为红----一项2.复指数傅里叶级数指数函数具有如下关系因此，指数函数，为一完备的正交函数集2.复指数傅里叶级数指数函数具有如下关系任意函数，可在区间（t0,t0+T）内用此函数表示为上式称为复指数形式的傅里叶级数。它是可以从三角傅里叶级数直接导出的。任意函数，可在区间（t0,t0+T）内用此函数表根据欧拉公式且考虑到An是n或频率的偶函数，而是奇函数因此由于其数学表示更为简洁,故在后续章节中,这一式子用得更多。

根据欧拉公式且考虑到An是n或频率的偶函数，而是奇下面以周期性矩形脉冲为例,说明周期信号频谱的特点。设有一幅度为A,脉冲宽度为τ的周期性矩形脉冲,其周期为T,如图所示，试求其傅里叶系数3.4周期信号的频谱A下面以周期性矩形脉冲为例,说明周期信号频谱的特点。3.令上式中的n=0，求其极限得直流分量周期矩形脉冲的指数傅立叶级数（Ω=2π/T）令上式中的n=0，求其极限得直流分量周期矩形脉冲的指数傅立叶画出了T=5τ、A=1的周期性矩形脉冲的频谱。画出了T=5τ、A=1的周期性矩形脉冲的频谱。周期信号频谱具有以下几个特点：第一为离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。第二为谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率Ω的整数倍频率上，即含有Ω的各次谐波分量，而决不含有非Ω的谐波分量。第三为收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随nΩ的变化有起伏变化，但总的趋势是随着nΩ的增大而逐渐减小。当nΩ→∞时，|An|→0。周期信号频谱具有以下几个特点：第一为离散性，此频谱由不连续的1.频谱与周期的关系T=10τT=20τ1.频谱与周期的关系T=10τT=20τ2.频带宽度与脉宽的关系TT1ττ2.频带宽度与脉宽的关系TT1ττ3.频带宽度周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之内，因而，常常将ω=0~ 这段频率范围称为矩形脉冲信号的频带宽度。记为或3.频带宽度周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之周期方波信号的频谱（幅度谱）奇次谐波1-1tTT/2周期方波信号的频谱（幅度谱）奇次谐波1-1tTT/2非周期信号周期足够长的周期信号来处理。因此,我们可以从周期信号的频谱分析来推测非周期信号的频谱。当周期T无限趋大时，3.5傅里叶变换与非周期信号的频谱非周期信号周期足够长的周期信号来处理。因此,我们可以从周期信傅里叶变换对正变换：反变换：记作：记作：傅里叶变换对正变换：反变换：记作：记作：频谱密度函数幅频特性相频特性频谱密度函数幅频特性相频特性

从物理意义上理解傅里叶变换：是一个密度函数的概念是一个连续谱包含了从零到无限高频的所有频率分量各频率分量的频率不成谐波关系从物理意义上理解傅里叶变换：傅立叶变换存在的充分条件用广义函数的概念，允许奇异函数也能满足上述条件，因而象阶跃、冲激一类函数也存在傅立叶变换绝对可积傅立叶变换存在的充分条件用广义函数的概念，允许奇异函数也能满

例3―2求冲激信号δ(t)的频谱。解:由频谱函数的定义式有3.6常用信号的傅里叶变换3.6常用信号的傅里叶变换冲激信号及其频谱冲激信号及其频谱例3―3求矩形脉冲信号的频谱。矩形脉冲信号及其频谱例3―3求矩形脉冲信号的频谱。矩形脉冲解：矩形脉冲信号是一个门函数。其定义为gτ(t)的傅里叶变换为解：矩形脉冲信号是一个门函数。其定义为gτ(t)的傅里叶变例3―4求单边指数信号的频谱。解:单边指数信号是指例3―4求单边指数信号的频谱。单边指数信号及其频谱单边指数信号及其频谱例3―5求双边指数信号的频谱。

解：从频谱函数的定义式出发例3―5求双边指数信号的频谱。双边指数信号及其频谱双边指数信号及其频谱例3―6求符号函数的频谱。解符号函数简记为sgn(t),它的定义为例3―6求符号函数的频谱。符号函数及其频谱符号函数及其频谱

符号函数sgn(t)也可看作是下述函数在α取极限趋近0时的一个特例:(其中α>0)符号函数sgn(t)也可看作是下述函数在α取极限趋近0时的3.7周期信号的傅里叶变换在引入奇异函数之前，周期信号因不满足绝对可积条件而无法进行傅里叶变换，只能通过傅里叶级数展开为谐波分量来研究其频谱性质。而在引入奇异函数之后，从极限的观点来分析，周期信号也存在傅里叶变换。3.7周期信号的傅里叶变换在引入奇异函数之前，周期信号因不3.7.1指数函数的傅里叶变换因为则有由于是偶函数3.7.1指数函数的傅里叶变换因为改变积分变量：则有即改变积分变量：则有即特别的，当时，有利用欧拉公式，有特别的，当时，有利用欧拉公3.7.2周期信号的傅里叶变换一个以T为周期的周期信号f(t)，总有傅里叶级数展开：3.7.2周期信号的傅里叶变换一个以T为周期的周期信号f(则，周期信号f(t)的傅里叶变换为则，周期信号f(t)的傅里叶变换为例3-7求均匀冲激序列的傅里叶变换。例3-7求均匀冲激序列的傅里叶变换。解：则解：则所以即所以即均匀冲激序列的频谱均匀冲激序列的频谱傅里叶变换表：见P125，表3-1傅里叶变换表：见P125，表3-13.8傅里叶变换的基本性质为了方便起见,我们将傅里叶变换式重写如下性质：3.8傅里叶变换的基本性质为了方便起见,我们将傅里叶变1.线性

且设a1,a2为常数，则有

若

1.线性

且设a1,a2为常数，则有若例3-8求单位阶跃函数的频谱函数。由于因此解：单位阶跃函数可看作是幅度为1/2的直流信号与幅度为1/2的符号函数sgn(t)之和,即例3-8求单位阶跃函数的频谱函数。由2.对称性2.对称性例3-9利用对称性求单位直流信号的频谱。例3-9利用对称性求单位直流信号的频谱。

单位直流信号及其频谱单位直流信号及其频谱例3-10利用对称性求Sa(t)的频谱。解：由于所以令例3-10利用对称性求Sa(t)的频谱。解：由于所以令抽样函数Sa(t)及其频谱-11Sa(t)t抽样函数Sa(t)及其频谱-11Sa(t)t3.尺度变换将时间函数f(t)中的t换成at(a为常量),考察与之对应的频谱函数。现在来求时间函数f(t)尺度变换后的频谱函数。设f(at)=f1(t),则有3.尺度变换将时间函数f(t)中的t换成at(a为常量),例3―11已知求的频谱函数。解：根据傅里叶变换的尺度变换性质,的频谱函数为例3―11已知解：根据傅里叶变换的尺度变换性质,尺度变换尺度变换4.时移特性在时间函数f(t)中,当时间t变为t+t0时,就会引起相应的频谱函数的变换,称为时移特性。这里t0为实常量。设f(t+t0)=f1(t)，且已知4.时移特性在时间函数f(t)中,当时间t变为t+t0时移特性可表示如下：幅频特性：保持不变相频特性：增加线性相位时移特性可表示如下：幅频特性：保持不变相频特性：增加线性相位例3-12已知求和的频谱。解：一般的：例3-12已知求和例3-13求移位冲激函数δ(t+t0)的频谱函数。解：由于已知冲激函数δ(t)的频谱函数为1,求移位冲激函数δ(t+t0)的频谱函数，此时可利用傅里叶变换的时移特性式。例3-13求移位冲激函数δ(t+t0)的频谱函数。解：由于已5.频移特性频移特性与时移特性对称,此时所考虑的是频谱函数F(ω)中,频率ω变为ω+ω0,相应的时间函数怎样随之而变。这里ω0为实常量。5.频移特性频移特性与时移特性对称,此时所考虑的是频谱函数

因此,移频特性可简写如下：例3―13求高频脉冲信号的频谱函数。且ω0为实常数解：由于因此,移频特性可简写如下：例3―13求高频脉冲信号且ω0故有根据频移特性有：故有根据频移特性有：频移特性频移特性6.卷积定理(1)时域卷积性质设有两个时间函数f1(t)和f2(t),它们分别对应的频谱函数为F1(ω)和F2(ω)。两个函数卷积的傅里叶变换为6.卷积定理设有两个时间函数f1(t)和f2(t),它们分这就是时域卷积定律，可简记为：这就是时域卷积定律，可简记为：

(2)频域卷积性质同时域卷积定律一样，我们也可以证明频域卷积定律。在这里略去证明，只写出结论。(2)频域卷积性质7.时域微分

若，则此性质证明如下。根据傅立叶变换定义，有上式两端对t求微分得7.时域微分若，则此性质证明如下。根据傅立叶变换定义，有例如，我们知道 ,利用时域微分性质显然有此性质表明，在时域中对信号f(t)求导数，对应于频域中用jω乘f(t)的频谱函数。如果应用此性质对微分方程两端求傅里叶变换，即可将微分方程变换成代数方程。从理论上讲，这就为微分方程的求解找到了一种新的方法。此性质还可推广到f(t)的n阶导数，即例如，我们知道 ,利用时域微分性质显然有例3-14求如下三角函数的频谱。1三角形脉冲及其一、二阶导数的波形例3-14求如下三角函数的频谱。1三角形脉冲及其一、二阶解：根据时域微分的性质因此解：根据时域微分的性质因此三角函数及其频谱三角函数及其频谱8.时域积分

若，则如果，则有证明：由于应用时域卷积定理，有8.时域积分若，则如果，则有证明：由于应