高三数学直线交点坐标与距离公式

一、两条直线的交点

设两条直线的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,两

条直线的

就是方程组的解，若方程组有唯一解，则两条直线

，此解就

是

;若方程组

，则两条直线无公共点，

此时两条直线

；反之，亦成立.交点坐标相交交点坐标无解平行二、几种距离1．两点间的距离平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式

|P1P2|＝

.原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝

.2．点到直线的距离点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离

d＝

.3．两条平行线间的距离

两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离

d＝

.使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么？提示：（1）直线方程必须化成一般式Ax+By+C=0的形式.（2）两平行线间的距离公式使用时还要注意x、y的系数必须相同时才能读出C1、C2的值.答案：C1．已知点(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a

等于(

)A.

B．2－

C.－1D.＋1解析：由＝1且a＞0∴a＝－1.2．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同

一点，则点(m，n)可能是(

)A．(1，－3)

B．(3，－1)C．(－3,1)D．(－1,3)解析：由得∴m＋2n＋5＝0，∴点(m，n)可能是(1，－3)．答案：A3．两直线x－y－2＝0与2x－2y＋3＝0的距离为(

)解析：d＝答案：B4．与A(1,1)，B(2,2)距离等于的直线的条数为_____条．解析：共有3条：其中两条与A、B所在的直线平行，一条过A、B的中点与A、B所在的直线垂直．答案：35．若直线ax＋2y－6＝0与x＋(a－1)y－(a2－1)＝0平行，

则它们之间的距离等于________．解析：因为两直线平行，所以有a(a－1)＝2，即a2－a－2＝0，解得a＝2或－1，但当a＝2时，两直线重合，不合题意，故只有a＝－1，此时两直线方程分别为x－2y＋6＝0和x－2y＝0，它们之间的距离答案：求与已知两直线的交点有关问题，可有以下两种解法：(1)先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后

再依其他条件求解．(2)运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y

＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的

直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定

常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解．一条直线过点P(1,2)且被两条平行直线4x＋3y＋1＝0和4x＋3y＋6＝0截取的线段长为，求这条直线的方程．

确定一条直线需两个独立条件，本题中已知直线l过点P（1，2），故只需再求出直线的斜率即可.【解】

(1)当斜率不存在时，直线方程为x＝1，与两直线交点∴|AB|=∴x＝1不是所求直线．(2)当斜率存在时，设为k，则所求直线的方程为y－2＝k(x－1)，它与两已知直线分别联立方程组，求出它与两已知直线的交点坐标分别是得k＝7或k＝－.故所求直线的方程为x＋7y－15＝0或7x－y－5＝0.1．求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交

点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．解：法一：先解方程组得l1、l2的交点(－1,2)，再由l3的斜率求出l的斜率为－，于是由直线的点斜式方程求出l：y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.法二：∵l⊥l3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，而l过l1、l2的交点(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，故l的方程为5x＋3y－1＝0.法三：∵l过l1、l2的交点，故l是直线系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0中的一条，将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0，其斜率解得λ＝，代入直线系方程即得l的方程为5x＋3y－1＝0.

1．点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式是常用的

公式，应熟练掌握．2．点到几种特殊直线的距离(1)点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|.(2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|.(3)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝a的距离d＝|y0－a|.(4)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝b的距离d＝|x0－b|.已知点P(2，－1)．(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？

设出直线方程，利用点到直线距离公式求系数即可.【解】

(1)①当l的斜率k不存在时显然成立，∴l的方程为x＝2；②当l的斜率k存在时，设l：y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.由点到直线距离公式得∴k＝∴l：3x－4y－10＝0.故所求l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.(2)作图可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.即直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为2．设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已

知a、b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，且0≤c≤，求

这两条直线之间的距离的最大值和最小值．解：∵a、b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根．∴a＋b＝－1，ab＝c.∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝1－4c.又∵两直线间的距离∴两直线间的最大值为，最小值为1．中心对称(1)若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐

标公式得(2)直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两

点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点

坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，

再利用l1∥l2，由点斜式得到所求直线方程．2．轴对称(1)点关于直线的对称若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0

对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1P2的

直线垂直于对称轴l，由方程组

可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，

x1≠x2)．(2)直线关于直线的对称此类问题一般转化为关于直线的对称点来解决，若已知

直线l1与对称轴l相交，则交点必在与l1对称的直线l2上，

然后再求出l1上任一个已知点P1关于对称轴l对称的点P2，

那么经过交点及点P2的直线就是l2；若已知直线l1与对称

轴l平行，则与l1对称的直线和l1到直线l的距离相等，由

平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出l1的对称

直线．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．

（1）直线l为线段AA′的垂直平分线，利用垂直

关系，中点坐标公式解方程组求出A′点坐标；（2）转化为点关于直线的对称.【解】

(1)设A′(x，y)，再由已知解得∴A′(2)在直线m上取一点如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点必在m′上，设对称点为M′(a，b)则∴M′设m与l的交点为N，由得N(4,3)．又∵m′经过点N(4,3)，∴方程为9x－46y＋102＝0.3．在本例条件下，求直线l关于点A(－1，－2)对称的直线

l′的方程．解：设P(x，y)为l′上任一点．则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，∵P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.