高数竞赛培训

一、求极限问题1、函数极限2、数列极限◆L-Hospital法则◆Heine原理-将数列极限转换为函数极限◆等价无穷小替换及Taylor公式◆两个重要极限◆其它：利用导数的定义、微分中值定理等◆极限存在的两个准则：夹逼性、单调有界原理◆利用定积分的概念◆利用收敛级数的性质1、函数极限◆L-Hospital法则取对数●再次使用洛必达法则是求不定型的一种有效方法,但要注意：1、求极限过程中，若某个因子的极限已知，则可先提出已知极限；2、求极限过程中，可以与其他方法如等价无穷小替换、Taylor公式结合使用，效果更好，但小心使用；3、求极限过程中，可连续使用洛必达法则，直至求出不定型的极限；4、后面将有例题说明在求不定型过程中，不是

必须使用洛必达法则才行。●●故原式先取对数◆等价无穷小替换及Taylor公式常用的带Peano型余项Taylor公式常见的等价无穷小替换难点：Taylor公式展开的阶数与等价无穷小替换的条件●●原式掌握等价无穷小替换与Taylor公式的使用●另一方面原式●原式●提示：◆两个重要极限提示：注意到

●原式◆其它：利用导数的定义、微分中值定理等●●●分析：利用重要极限可知●利用Lagrange中值定理知故原式2、数列极限◆极限存在的两个准则：夹逼性、单调有界原理◆利用定积分的概念◆利用收敛级数的性质◆Heine原理-将数列极限转换为函数极限◆Heine原理●故原式●故原式先取对数洛必达法则讨论数列的敛散性，并且如果收敛的话，求极限值

(1)设(2)设●◆极限存在的两个准则：夹逼性、单调有界原理分析:(1)由数学归纳法知由此可见和都存在，且极限值是方程的正根分析:(2)根据单调有界原理知数列有极限，不妨设●◆利用定积分的概念特别地●由夹逼定理得●●由Stolz定理的推论◆利用收敛级数的性质级数收敛的必要条件:●提示：考虑级数利用比值判别法可知该级数收敛首届全国大学生数学竞赛决赛试题一、计算下列各题（共20分，每题各5分，要求写出重要步骤）（3）现要设计一个容积为的一个圆柱体的容器。已知上下两底的材料费为单位面积元，而侧面的材料费为单位面积元。试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少。二、（10分）求下列极限法一：法二：故原式先取对数洛必达法则●●●●●自测题二、(偏)导数、高阶(偏)导数的计算1、分段点或特殊点处求导：直接利用定义2、复合函数的链式求导法则3、隐函数的求导法则对数求导法4、由参数方程确定的函数的求导法则5、高阶导数的计算(一元函数)6、变限积分函数的求导1、分段点或特殊点处求导：直接利用定义●●●2、复合函数的链式求导法则●因此:特别注意下面二者的区别变量树图变量树图

变量树图uv求设函数

z=f(x,y)

在点(1,1)处可微,且由题设●●偏导数对复合结构具有”遗传性”.●令复合3、隐函数的求导法则对数求导法设F(x,y)具有连续偏导数,已知方程解法1、公式法●解法2、两边求导法故解得同理可得解法3：利用全微分形式的不变性注、公式法：●证明：●两边取对数●4、由参数方程确定的函数的求导法则5、高阶导数的计算(一元函数)◆利用Leibniz公式●常用高阶导数公式◆根据已知函数的高阶导数公式，通过恒等变形、四则运算等方法，求出高阶导数●◆利用Taylor级数●6、变限积分函数的求导●●●●●●自测题三、(偏)导数的应用1、一元函数导数的应用2、多元函数偏导数的应用◆函数单调性的判别法◆函数的极值与最值◆不等式的证明◆确定方程实根的个数◆函数单调性的判别法●

数列的值最小的项的项数________.且该项的数值为

.提示：，则●

设

_______.提示:◆函数的极值与最值提示:先通过代换代入原方程得到●

设函数满足方程求函数的极大值和极小值.再根据极值的第二充分条件得到关于的线性方程组解得极大值极小值解得再根据极值的第二充分条件

现要设计一个容积为的一个圆柱体的容器。已知上下两底的材料费为单位面积元，而侧面的材料费为单位面积元。试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少。●且满足费用函数解得◆不等式的证明

.微分中值定理利用函数的单调性(单调性的判别法)●即（*）式成立。证明不等式●利用函数的单调性来证明不等式的问题，关键在于通过要证明的不等式构造相应的辅助函数◆确定方程实根的个数利用函数的单调性(单调性的判别法)零点定理(根的存在性定理)Rolle定理（反证法）o由连续函数的零点存在定理知：●●

存在性由零点定理矛盾,唯一性(反证法)Rolle定理也可以指明方程实根的个数(反证法)Case1:若恒正(或恒负)，则根的个数Case2:若有唯一解，则根的个数Case3:若有两个解，则根的个数Case4:若恒正(或恒负)，则根的个数Case6:若恒正(或恒负)，则根的个数Case5:若有唯一解，则根的个数提示:显然故在整个实数轴上的零点个数至少有三个.另外注意到●或利用2、多元函数偏导数的应用◆曲线的切线与法平面◆曲面的切平面与法线◆多元函数的极值：无条件极值、条件极值设空间曲线的方程◆曲线的切线与法平面曲线在M处的切线方程空间曲线方程为空间曲线方程为切线方程为●

求曲线在点M(1,–2,1)处的切线方程与法平面方程.解法1

令则切向量法平面方程即解法2

方程组两边对

x求导,得解得切线方程即切线方程即法平面方程即曲线在点

M(1,–2,1)处有:切向量●◆曲面的切平面与法线设为曲面上的任一点,切平面方程为将定点代入平面方程即得无条件极值◆多元函数的极值：无条件极值、条件极值●

求中心在原点的椭圆的长半轴长度问题等价于求：在条件的极值(舍去带减号的根)长半轴长为化简其中满足●

求函数在的最值原问题等价于求函数在的最值(证明：)所以在球内部没有函数的驻点。构造辅助函数解得四、微分中值定理◆Rolle定理◆Lagrange中值定理◆Cauchy中值定理◆Taylor公式:Peano型、Lagrange型Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理特殊推广Taylor公式●◆Rolle定理●2题结论等价于构造辅助函数，验证Rolle定理满足分析:1题难点在于寻求区间，而2题难点在于构造合适的辅助函数，要求相应函数在相应区间上满足

Rolle定理的条件知识点：Rolle定理、积分中值定理●该构造辅助函数的方法称为指数因子法●提示(2):等价于辅助函数◆Lagrange中值定理●分析：要证明存在两个或两个以上的中间值，由于用一次中值定理只能找到一个中间值，故此问题通常至少要用两次中值定理才能解决解：利用闭区间上连续函数的介值性(1)(2)由(1),(2)有相乘即可●提示:将结论改进为由介值定理,(1)(2)由(1),(2)有相加即可◆Cauchy中值定理●分析:结论等价于◆Taylor公式:Peano型、Lagrange型●由题意知合并同类项后得到●●分析：解：注意：带Lagrange型余项的Taylor公式常用于证明与中间值相联的不等式，其关键是注意Taylor公式中

展开点的选择。通常选择已知区间的端点、中间点或函数的极值点和导数等于零的点。这类题的特点是已知函数可导的阶数较高(二阶或二阶以上)，同时还有若干个已知的函数值或导数值●●●●

–,则有更一般的，●提示：由条件知●存在性由Lagran