流动相似、相似原理、相似准则及量纲分析全析

SimilarityTheoryandDimensionalAnalysis相似理论与量纲分析

2019/6/11知行合一、经世致用CentralSouthUniversity01流动相似基本理论02基本相似准则03量纲分析方法04近似模型试验Contents.目录自强不息厚德载物TsinghuaUniversityofChina01流动相似基本理论知行合一、经世致用CentralSouthUniversity流动相似基本理论——理论背景01自强不息厚德载物知行合一、经世致用CentralSouthUniversity很多复杂的流体力学问题无法完全依靠理论分析一般情况下计算机仿真研究需要试验进行检验验证实物或全尺寸模型试验需要进行相关试验缩比模型试验优点：结果最接近真实情况缺点：费用昂贵；试验环境受天气限制；结果缺乏通用性；重复性较差缺点：仅是对实际情况的一种近似模拟优点：试验成本较低；条件不受外界天气影响；重复性较高；结果更具有普适性结果。流动相似基本理论——模型试验介绍01自强不息厚德载物知行合一、经世致用CentralSouthUniversity模型：通常把实物(原型)按一定比例关系进行缩放所得到的代表物。模型试验：对缩比模型进行试验，来模拟与实际情况相似的流动，然后将缩比模型试验所得结果根据缩比因子换算到原型物体上，从而分析原型周围的流场情况。在列车空气动力学研究中涉及到的缩比模型试验主要包括：风洞模型试验和动模型试验。风洞模型试验的主要原理是运动相对性原理和流动相似性原理；动模型试验的主要原理则是流动相似性原理；运动相对性原理：对列车在空气中的等速直线运动，按照运动的相对性原理，在空气动力特性研究中，可以认为列车静止不动，与列车同速反向的空气流过列车，列车上承受的空气动力与列车运动在静止的空气中承受的空气动力完全相同。流动相似基本理论——模型试验介绍01自强不息厚德载物知行合一、经世致用CentralSouthUniversity运动相对性原理能够解决风洞中用静止列车来模拟运动列车的问题，但模型大小与实车不同，风洞中来流风速也与列车运行速度可能不一样，那样怎么保证模型试验和实车运行中的流动现象相似呢？怎样把缩比模型试验结果应用到实车上？这不仅是风洞试验所需要解决的首要问题，也是动模型试验等所有缩比模型试验所面临的的共同问题。关键问题：如何保证缩比试验流场与实际流场之间的高程度相似？本章节所讲述的相似理论，便充分论述了两种现象相似的充分必要条件，分析了相似现象的基本规律，对缩比模型试验给予了理论上的指导。流动相似基本理论—相似基本概念01自强不息厚德载物知行合一、经世致用CentralSouthUniversity流动相似：模型试验是以绕模型的流动与绕实物的流动相似为基础的，也即要求这两个流动的空间上的对应点在对应时刻所有表征流动状况的相应物理量的比例关系保持不变。如果物理量是矢量，还包括方向相同。一般情况下，只有保持几何相似、运动相似、动力相似、热力学相似以及质量相似，两个流动才能完全相似。如果只是某些物理量满足相似条件，则称为部分相似。流动相似基本理论——几何相似01自强不息厚德载物知行合一、经世致用CentralSouthUniversity几何相似：指的是试验研究对象的缩比模型与所研究对象的实物(原型)之间的全部线性长度成同一比例。比如管道，线性长度包括管道内径d、管道长度L等，即几何相似应满足:

对应点几何相似是流动相似最基本的条件，简单讲一个物体经过各向等比例变形后能够与另一个物体完全重合，则说明这两个物体几何相似。变形后能够相互重合的点称为“对应点”，同一物体上对应点之间的连线称为“对应线”。两个几何相似物体的对应线长度成比例。对于风洞试验而言，该长度比例系数即为缩尺比。流动相似基本理论——运动相似01自强不息厚德载物知行合一、经世致用CentralSouthUniversity运动相似：指的是模型与原型所对应的流动的速度场和加速度场的相似。即在已经满足模型和原型之间几何相似的基础上，在流场内所有对应空间点在对应时刻上的流体质点的流速以及加速度的方向对应一致，值的大小都保持在固定的比例关系。速度比尺

时间比尺加速度比尺

流动相似基本理论——运动相似01自强不息厚德载物知行合一、经世致用CentralSouthUniversity由上可知，由于描述运动的各物理量(时间、速度、加速度等)之间存在的相应的物理关系，因此在一相似现象中，各物理量所对应的相似系数是不能相互独立，任意选择的，而是不同物理量的相似系数之间根据其所对应的物理关系相互制约。

即：如果线性长度比例系数和速度比例系数确定，则相应的时间比例系数和加速度比例系数也随之确定，同时反映流场运动特性的其他参数(角速度、运动粘度等)也都可以用长度比例系数和速度比例系数表示出来，也随之确定。流动相似基本理论——动力相似01自强不息厚德载物知行合一、经世致用CentralSouthUniversity

流动相似基本理论——动力相似01自强不息厚德载物知行合一、经世致用CentralSouthUniversity

流动相似基本理论——初始条件和边界条件相似01自强不息厚德载物知行合一、经世致用CentralSouthUniversity初始条件：是指所研究对象在过程开始时刻各求解变量的空间分布情况，对于瞬态问题必须指定初始条件，对于稳态问题，则不需要指定初始条件。边界条件：有几何、运动和动力三个方面的因素。如固体边界上的法线流速为零，自由液面上的压强为大气压强等

。在两个几何相似的流动中，如果各对应点的温度之比为常值，则称为热力学相似。如果各对应点的密度之比为常值，则称为质量相似。几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据；动力相似是决定两个流体运动相似的主导因素；运动相似是几何相似和动力相似的表现；在低速风洞试验中，主要是实现模型试验和实物运行（或飞行）的几何相似、运动相似和动力相似。流动相似基本理论——相似定理01自强不息厚德载物知行合一、经世致用CentralSouthUniversity在实际中，如何来判断模型试验和实物运行的流场流动是否相似？不可能根据上述相似现象的定义来判断。只有依据相似定理理论来解决流动相似的判别问题。相似的正定理：相似的现象，其同名相似准则的数值相同。(该定理给出了相似现象的必要条件)。这是因为，如果两个流动现象相似，按定义则这两者的无量纲形式的方程组及初始条件和边界条件应该相同，具有相同的无量纲形式解。因而，出现在这两者的无量纲形式的方程组及初始条件和边界条件中所有无量纲组合数对应地相等。这些无量纲组合数称为相似准则，如雷诺数Re、马赫数Ma等。流动相似基本理论——相似定理01自强不息厚德载物知行合一、经世致用CentralSouthUniversity反过来说，如果两个流动的相似准则相等，初始条件和边界条件相似，则这两者的无量纲形式的方程组及初始条件和边界条件完全相同，因而具有相同的无量纲形式解，也就是说这两个流动是相似的。这就是相似的逆定理的内容。相似的逆定理：两个现象的单值条件相似，而且由单值条件组成的同名相似准则的数值相同，则这两个现象相似。该定理给出了相似现象的充分必要条件，即两个现象满足这些条件就必定相似。自强不息厚德载物TsinghuaUniversityofChina02基本相似准则自强不息厚德载物知行合一、经世致用CentralSouthUniversity01牛顿相似准则03弗劳德相似准则05雷诺相似准则02斯特劳哈尔相似准则04欧拉相似准则06马赫相似准则TsinghuaUniversityofChina自强不息厚德载物知行合一、经世致用CentralSouthUniversity02基本相似准则如何判断模型试验和实物运行的流动是否相似？

如果两个流动现象相似，按定义则这两者的无量纲形式的方程组及初始条件和边界条件应该相同，具有相同的无量纲形式解。因而，出现在这两者的无量纲形式的方程组及初始条件和边界条件中所有无量纲组合数对应地相等。这些无量纲组合数称为相似准则。如雷诺数Re，马赫数Ma等。

建立相似准则的途径：（1）对已建立微分方程描述的问题，根据方程和相似条件建立相似准则；（2）对未建立微分方程的问题，根据影响流动过程的物理参数通过量纲分析导出相似准则；

TsinghuaUniversityofChina自强不息厚德载物知行合一、经世致用CentralSouthUniversity02基本相似准则-牛顿相似准则

基本相似准则-牛顿相似准则02自强不息厚德载物知行合一、经世致用CentralSouthUniversity

基本相似准则——牛顿相似准则02自强不息厚德载物知行合一、经世致用CentralSouthUniversity

无量纲数空气动力系数本质上都是牛顿数。如果绕模型的流动与绕实物的流动相似，那么两者的空气动力系数相等。这样，就可以把风洞列车模型试验的结果用于实际列车运行。TsinghuaUniversityofChina自强不息厚德载物知行合一、经世致用CentralSouthUniversity02基本相似准则-相似准则的导出以非定常二维x向N-S方程为例，其中体积力按重力处理列出方程将比例系数代入相似模型方程（Kρ、Kν、Kt、Kg、Kv、Kμ）令比例系数等于1TsinghuaUniversityofChina自强不息厚德载物知行合一、经世致用CentralSouthUniversity02基本相似准则-相似准则的导出非定常运动特征惯性力定常运动特征惯性力特征体积力特征压力特征粘性力将比例系数代入相似模型方程①②③④斯特劳哈尔数弗劳徳数雷诺数欧拉数令比例系数等于1TsinghuaUniversityofChina自强不息厚德载物知行合一、经世致用CentralSouthUniversity02基本相似准则-斯特劳哈尔准则物理意义：非定常运动惯性力与惯性力之比它是表征流动周期性的相似准则。当研究涡街、旋翼、螺旋桨和颤振等时，空气动力现象与周期性运动的频率有关，模型实验时与实物飞行时的斯特劳哈尔数应相等。它是表征流动非定常性的相似准则，是非定常空气动力实验中要模拟的相似准则。定常实验中，不必考虑斯特劳哈尔数。斯特劳哈尔数(Strouhalnumber)TsinghuaUniversityofChina自强不息厚德载物知行合一、经世致用CentralSouthUniversity02基本相似准则-弗劳德准则(重力相似准则)物理意义：非定常运动惯性力与重力之比它是表征重力对流动影响的相似准则，对试验模型外挂物投放、模型自由飞及尾旋试验等，Fr数是主要的相似准则。弗劳德数(Froudenumber)TsinghuaUniversityofChina自强不息厚德载物知行合一、经世致用CentralSouthUniversity02基本相似准则-欧拉准则（压力相似准则）物理意义：压力与惯性力之比它是表征压力对流动影响的相似准则，流体力学中的压力系数Cp即是欧拉数。如果模型试验流场与实物相似，那么两者表面各对应点的压力系数相等。欧拉数(Eulernumber)TsinghuaUniversityofChina自强不息厚德载物知行合一、经世致用CentralSouthUniversity02基本相似准则-雷诺准则（粘性力相似准则）物理意义：特征惯性力与特征粘性力之比雷诺数(Reynoldsnumber)它是一个表征流体的粘性对流动影响的相似准则。凡是与流体的粘性有关的物理量，如阻力、最大升力、抖振起始点等，都与Re数的大小有关。TsinghuaUniversityofChina自强不息厚德载物知行合一、经世致用CentralSouthUniversity02基本相似准则-马赫相似准则流体质点不仅只受到上述的惯性力（定常、非定常）、体积力和粘性力，因此相似准则也不仅只有这四条。例如普朗特数(Prandtl，表征流体流动中动量交换与热交换相对重要性的一个无量纲参数）、马赫数（Ma）它是表征惯性力与弹性力之比的相似准则。它也是是表征气体的压缩性对流动影响的一个量度，即对低速流动，气体的压缩性可以忽略不计，即不考虑Ma数；但当流速较高(Ma≥0.3)时，不能忽略气体压缩性影响。Ma数是一个十分重要的相似准则，它几乎对所有高速流动现象都有影响。在低速风洞进行喷流试验和直升机旋翼试验时，对局部高速流动要模拟Ma数。自强不息厚德载物TsinghuaUniversityofChina03近似模型试验知行合一、经世致用CentralSouthUniversity03近似模型试验完全模拟按相似定理的要求，两个现象“完全相似”的条件是单值条件相似以及所有的相似参数完全相同。模型试验做到与实物完全相似称之为完全模拟。实际上这是很难做到的，有时根本无法做到。部分模拟实验通常只能做到使其主要相似参数相同，而忽略次要的相似参数，或对其进行修正，这被称之为部分模拟或近似模拟。对于某一项试验，并非所有的相似准则都同等重要。因此，每做一试验，特别是新的试验项目，必须对此试验的目的、内容以及影响此试验结果的主要物理参数进行透彻的分析与研究，从而决定模拟哪些对该试验起决定性作用的相似准则。自强不息厚德载物知行合一、经世致用CentralSouthUniversity03近似模型试验雷诺数表示惯性力与黏性力之比，凡是与流体的黏性有关的现象，都与Re数有关。它是一个表征流体的黏性对流动影响的重要的相似准则。因此,在列车模型风洞试验中，要求试验时的雷诺数尽可能接近实际列车运行的雷诺数。必须指出，即使只模拟主要的相似准则，例如雷诺数,并不是一件容易的事。所以在近似模型试验中，我们可以利用“自模拟”现象。自强不息厚德载物知行合一、经世致用CentralSouthUniversity03近似模型试验自模拟自强不息厚德载物知行合一、经世致用CentralSouthUniversity自强不息厚德载物TsinghuaUniversityofChina04量纲分析方法知行合一、经世致用CentralSouthUniversity01量纲和量纲和谐原理02量纲分析法量纲和量纲和谐原理04自强不息厚德载物知行合一、经世致用CentralSouthUniversity一种物理量（被定量）受另一些物理量（主定量）影响，可表示为：B=f(a1,a2,a3,a4...an)工作量巨大，难以实现若进行实验得出B与an之间的关系，假设每个自变量取10个不同数值来实验，则需做10n个实验流体力学问题中，一种物理量往往受多种因素影响。量纲和量纲和谐原理04自强不息厚德载物知行合一、经世致用CentralSouthUniversity表示物理量的种类，称为这个物理量的量纲。同一物理量，可以用不同的单位来度量，但只有唯一的量纲。在物理量的代表符号前面加“dim”表示量纲，例如速度v的量纲表示为dimv。1、量纲(dimension)量纲和量纲和谐原理04自强不息厚德载物知行合一、经世致用CentralSouthUniversity量纲可分为基本量纲和导出量纲。（1）基本量纲必须具有独立性，不能从其它基本量纲推导出来，而且可以用它来参与表示其它各物理量的量纲。在流体力学中常用长度、时间、质量（L、T、M）作为基本量纲。同一类量的数值，单位虽不同，但他们具有相同的量纲，并可以用相应量纲符号表示，如：量纲和量纲和谐原理04自强不息厚德载物知行合一、经世致用CentralSouthUniversity由基本量纲推导出来的量纲，称导出量纲。它可用三个基本量纲的指数乘积形式来表示。对于任何一个物理量x，其量纲可写作（2）导出量纲导出量纲，例如：速度dimv=LT-1加速度dima=LT-2密度dimρ=ML-3力dimF=MLT-2压强dimp=ML-1T-2量纲和量纲和谐原理04自强不息厚德载物知行合一、经世致用CentralSouthUniversity2、无量纲量物理量x的性质可由量纲指数α，β，γ来反映。

●如α，β，γ有一个不为零，则x为有量纲量。

●如α，β，γ均为零，即dimx=L0T0M0=1,则称x为无量纲量，也称纯数。

●基本量与导出量适当组合可以组合成无量纲量。

eg:速度dimv=LT-1，加速度dimg=LT-2，

密度dimρ=ML-3，压强dimp=ML-1T-2则，均为无量纲集合

无量纲量有如下特点：

①量纲表达式中的指数均为零；②没有单位；③量值与所采用的单位制无关。

量纲公式量纲和量纲和谐原理自强不息厚德载物04知行合一、经世致用CentralSouthUniversity3、量纲和谐

量纲和谐原理：一个完整正确的物理方程，不仅其等号两边的数值相等，而且其中各项的量纲也一定相同。由于物理方程的量纲具有一致性，可以用任意一项去除方程两边，使方程每一项变为无量纲量，这样原方程就变为无量纲方程。例如：可改写为动能方程理想流体能量方程：可改写成量纲和谐原理的重要性：

①一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验经验公式的正确性和完整性。

②量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。

③可用来建立物理方程式的结构形式。量纲分析法---瑞利法04自强不息厚德载物知行合一、经世致用CentralSouthUniversity量纲分析法：应用量纲和量纲和谐来探求物理现象的函数关系，即建立物理方程的一种方法。某一物理现象，各物理量间的函数关系为式中x1、x2、x3、…、xn和y为影响物理现象的因素。对上式进行量纲分析，以找出诸因素之间的数学表达式。上式可写成如下指数形式：式中k——无量纲数；k1，k2，k3，…，kn——待定指数。

设A、B、C为基本量纲，则各因素的量纲为

(i=1,2,3,…,n)dimy=AaBbCc1.瑞利法（量纲公式）得到量