数学尖子生培优训练探索数与式的规律-探究题开放题猜想题

数学尖子生培优训练探索数与式的规律—探究题、开放题、猜想题1.(2007四川省资阳市)设a1=32-12，a2=52-32，…，an=(2n+1)2-(2n-1)2（n为大于0的自然数）．（1）探究an是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出a1，a2，…，an，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，an为完全平方数（不必说明理由）．2．(2009四川省凉山州)我们常用的数是十进制数，如，数要用10个数码（又叫数字）：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0和1，如二进制中等于十进制的数6，等于十进制的数53．那么二进制中的数101011等于十进制中的哪个数？3.(2009四川省凉山州)观察下列多面体，并把下表补充完整．名称三棱柱四棱柱五棱柱六棱柱图形顶点数61012棱数912面数58观察上表中的结果，你能发现之间有什么关系吗？请写出关系式．4.(2009广东省佛山市)（1）有这样一个问题：与下列哪些数相乘，结果是有理数？A．B．C．D．E．问题的答案是（只需填字母）：；（2）如果一个数与相乘的结果是有理数，则这个数的一般形式是什么（用代数式表示）.5.(2009安徽省)观察下列等式：……（1）猜想并写出第个等式；（2）证明你写出的等式的正确性．6.(2009甘肃省白银九市)若，，试不用将分数化小数的方法比较a、b大小．观察本题中数a、b的特征，以及你比较大小的过程，直接写出你发现的一个一般结论．7．(2009湖南省张家界市)有若干个数，第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，第个数记为，若，从第二个数起，每个数都等于1与前面那个数的差的倒数．（1）分别求出的值．（2）计算的值．8.(2008广东省湛江市)先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．┅┅(1)计算．（2）探究．（用含有的式子表示）（3）探究并计算：．（4）若的值为，求的值．9.(2007贵州省贵阳市)如图，平面内有公共端点的六条射线，，，，，，从射线开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．172839410511172839410511612（2）请任意写出三条射线上数字的排列规律．（3分）（3）“2007”在哪条射线上？（3分）10.(2007山东省东营市)根据以下10个乘积，回答问题：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2－○2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；（3）试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论．（不要求证明）11.(2007山东省德州市)根据以下10个乘积，回答问题： （1）试将以上各乘积分别写成一个“”（两数平方差）的形式，并将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；（2）若乘积的两个因数分别用字母表示（为正数），请观察给出与的关系式．（不要求证明）（3）若用，，，表示个乘积，其中，，，为正数．请根据（1）中乘积的大小顺序猜测出一个一般结论．（不要求证明）12.(2007浙江