频率特性和时域性能指标的关系

02九月20231通过频率特性曲线获得稳态性能指标频率域性能指标频率域特性指标与时域瞬态指标的关系主要内容02九月20232一、稳态性能指标分析：

如果通过频率特性曲线能确定系统的无差度阶数（即积分环节的个数）和开环放大系数k的话，则可求得系统的稳态误差。（见第三章第六节稳态误差分析）在波德图上，低频渐进线的斜率和的关系如下：由，可求得值；也可由 ，求。开环放大系数k的求法有两种：①低频渐进线为：当时，有：，故： 低频渐进线斜率=-20v02九月20233②当时，k也可由与横轴的交点来求。当时，，有：02九月20234二、频域性能指标开环频域指标幅值稳定裕度：-180◦穿越频率处的负增益 定义在极坐标上： 定义在对数坐标上：相角稳定裕度：截止频率(幅值穿越频率)处的相位+180◦其中：其中：02九月20235闭环频域指标右图为典型闭环系统的幅频特性。常用的闭环频域指标包括：零频振幅比M(0)：直接反映系统的稳态精度。M(0)＝1：当阶跃函数输入系统时，其阶跃响应的稳态值c(∞)等于输入，即系统的稳态误差为0。M(0)≠1：表示系统存在稳态误差。M(0)越接近1，系统的稳态精度越高；反之，系统的稳态精度越低。谐振峰值Mp：Mp值越大，表明系统对频率为的正弦信号响应越强烈，有谐振的趋势，表明系统的相对稳定性较差，系统的阶跃响应将有较大的超调量。02九月20236谐振频率：Mp对应的频率。从前面闭环系统的分析可知，未必所有的系统都有谐振峰值和谐振频率，所以使用谐振频率不能完善的描述系统的低通特性。带宽频率：带宽较宽，表明系统能通过频率较高的输入信号；带宽较窄，说明系统只能通过领率较低的输入情号。因此，通频带较宽的系统，重演输人信号的能力较强；但抑制输入端高频干扰的能力较弱。我们还将进一步讨论带宽与系统的调节时间之间的密切关系。开环频率特性中频段斜率与系统稳定性的关系中频段是指系统截止频率附近的频段。右图为开环为积分环节的单位反馈系统。系统的相角文档裕度分别为90◦和0◦，第二个系统是不稳定的。02九月20237一般情况下，系统开环对数幅频特性的斜率在整个频率范围内并非是一成不变的，系统相角余量r应由整个对数幅频特性中各段的斜率共同确定。但是，L(ω)在ωc处曲线的斜率对相角裕度r的影响最大，远离ωc曲线的斜率对r的影响很小。当ωc较低时，相角裕度主要由L(ω)低频段的斜率决定；当ωc较高时，相角裕度主要由L(ω)高频段的斜率决定；当ωc低频往高频变化时，相角裕度受L(ω)低频段斜率的影响逐步减小，受L(ω)高频段斜率的影响则逐步增大。[例]分析相角稳定裕度与系统参数的关系。[解]绘制系统开环对数频率特性，使用分段直线近似，如右图。分段直线的斜率分别为：-40，-20，-40，要使得系统有较大的相角裕度，ωc应取在什么位置？02九月20238令：相角裕度为：由上式可知：如果ωc,ω2不变，r仅随ω1变化。ω1增高，r减小；ω1降低，r增大。若T1较大，ω1较低，即离ωc较远，斜率为-40的低频段对r的影响较小。若T1足够大，低频段影响可忽略，此时：如果ωc,ω1不变，r仅随ω2变化。ω2增高，r减小；ω2降低，r增大。若T2较大，ω2较低，即离ωc较远，斜率为-40的高频段对r的影响较小。若T2足够大，高频段影响可忽略，此时：如果ω1,ω2不变，令ω2＝hω1，其中h＝ω2/ω1，h可描述L(ω)中频段宽度。

02九月20239通过改变K值，相角裕度随ωc的变化如右图。K增大，L(ω)特性上移，ωc增大，更加靠近ω2，L(ω)高频段斜率对r的影响大，相角裕度较小；K减小，L(ω)特性下移，ωc减小，更加靠近ω1，L(ω)低频段斜率对r的影响大，相角裕度较小；K减小取某个值时，可使r达到极大值。或：由上式可知，调节K使处于ω1与ω2的几何中心点时，系统具有最大相角裕度：由上式又知，系统的中频段宽度越宽，通过调节K可能达到的最大相角裕度越大，系统的相对稳定性也就越高。02九月202310四、开环频率特性与瞬态性能指标的关系频域性能指标：由频宽的定义知： 我们知道一阶惯性环节的调整时间是：则频宽越大，调整时间越小。

一阶系统：传递函数为：

二阶系统：闭环频率特性为：开环频率特性为：02九月202311幅频特性为：相频特性为：

r与的关系02九月202312绘制r，Mp，δ%与ξ之间的关系，如右图所示。由图中可见r与ξ是单调增的，于是，r越小，δ%越大；r越大，δ%越小。为了使系统的瞬态过程震荡不太激烈，调节时间比较小，通常取30◦≤r≤60◦。

r，ωc与Ts的关系又 ，所以可见，Ts与r和ωc都有关。如果r给定，那么Ts与ωc成反比。如果两个二阶系统的r相同，那么它们的δ%相同，ωc较大的系统，Ts必然较短。02九月202313

高阶系统对于一般的高阶系统，要准确推导出开环频域特征量(r和ωc)与时域指标(δ%和Ts)之间的关系是困难的，并且使用起来也不方便。在工程中，常遇到的一种高阶系统是所谓1-2-1-2-3型系统，其传递函数为：其中a≥2，b≥2，c≥2，d≥2。此时，系统的中频段宽度较大，这时可以用如下经验公式计算系统的δ%和Ts：02九月202314一般的高阶系统，如果斜率为－20db/dec的中频段足够宽时，也可以使用如下公式估计系统的性能指标：满足：右图是根据上式绘制的r与δ％和Ts的曲线，可见随着r的增加，δ％和Ts均变小，说明系统的震荡减弱并且速度加快。02九月202315五、开环频率特性高频段对系统性能的影响L(ω)高频段特性由小时间常数的环节构成，则其转折频率均远离截止频率ωc，所以对系统的动态响应影响不大。但是，从系统抗干扰的角度出发，研究高频段的特性是有实际意义的。对于单位反馈系统，开环频率特性G(jω)和闭环频率特性Φ(jω)的关系为：在高频段： 即 由上式：上式说明，闭环系统的高频段特性近似等于开环频率特性。因此，L(ω)高频段幅值直接反映系统对噪声的抑制能力，高频段分贝值越低，系统对高频信号的衰减越厉害，系统抗噪声能力越强。02九月202316六、闭环频域指标与时域指标的关系用闭环频率特性分析、设计系统，通常以谐振峰值Mp和频带宽度ωb(或谐振频率ωp)作为依据。Mp、ωb与时域指标δ%、Ts之间存在确定关系，这种关系在二阶系统中是严格的在高阶系统中则是近似的。

二阶系统闭环频率特性为：开环频率特性为：

Mp与δ%的关系闭环幅频特性为：02九月202317绘制上述结果与δ%、r之间关系，如右图。图中表明：Mp越小，系统的阻尼性能越好。若Mp值较高，则系统的动态过程超调量大，收敛慢，平稳性和快速性都较差。Mp＝1.2~1.5时，对应的δ%：26％～30％，这时的动态过程有适度的振荡，平稳性及快速性均较好。工程中常以Mp＝1.3作为系统设计的依据。Mp过大(如Mp>2)，则闭环系统阶跃响应的超调量可达40％以上。

Mp、ωb与Ts的关系02九月202318同样可以绘制ωbTs和Mp之间的关系。由图可见，对于给定的谐振峰值Mp，调节时间Ts与带宽ωb成反比，频带宽度越宽，则调节时间Ts越短。实际上，如果系统有较宽的通频带，则表明系统自身的“惯性”很小，故动作过程迅速，系统的快速性好。

高阶系统对于高阶系统，难于找出闭环频率特性的频域指标和时域指标之间的关系。但是，若高阶系统存在着一对共扼复数主导极点时，则可用二阶系统所建立的关系来近似表示。至于一般的高阶系统，常用下列两个经验公式进行分析、估算：其中：02九月202319七、结论通过以上分析可以看出，系统的开环频率特性反映了闭环系统的性能。对于最小相位系统，开环幅频特性和相频特性之间有确定的关系，系统性能完全可以由开环对数幅频特性L(ω)反映。根据开环特性与系统性能之间的关系，我们所希望得到的开环对数幅频特性应具有如下的性质：如果要求具有一阶或二阶无差度，则L(ω)特性低频段应具有-20dB/dec或-40dB/dec的斜率。为保证系统的稳态精度，低频段应有较高的分贝值。L(ω)特性应以-20