中考数学专题一数形结合的思想方法

第二部分专题复习高效提升专题一数形结合的思想方法数形结合思想是初中数学基础思想之一，是初中生必须掌握的思想方法．数形结合是根据数学问题的题设和结论的联系，把数量关系与图形结合起来，达到用“数”定“形”和“形”使“数”更直观的效果，这样两者相互补充，为解决问题提供思维方法．常涉及的问题有：数轴的有关问题、函数图象问题、坐标问题、直角三角形、四边形、圆等几何图形问题．解决此类问题注重抽象思维与形象思维的结合，数量关系与空间形式的结合，要以题目所涉及的基本概念、原理、图形的基本性质为基础，注意代数概念的几何意义和图形的代数特征.

数轴是把数和形结合起来的最典型的实例，借助于数轴这条直线可把实数表示出用于实数大小的比较、实数运算的理解，可把不等式、不等式组的解用图形表示出来，使其更直观，这便于确定不等式组的解集．思路分析：先解不等式组的解集为－1<x≤2，再在数轴上画出取值范围内包含的数，注意从－1向右，从2向左，表示－1的点为虚点，表示2的点为实点．答案：C答案：A不论是一次函数，反比例函数还是二次函数，函数图象的形状和性质都是由函数的系数或常数决定，反之，根据函数的图象又可以确定表达式中的系数以及常数，体现了数与形的完美结合，此类问题与坐标系点的坐标紧密相联，作图象需要确定点的坐标，确定表达式，又要依据图象上点的坐标，因此，应会识图、读图，准确获取有用信息．【例3】(2010·嵊州)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图1－3所示，记p＝|a－b＋c|＋|2a＋b|，q＝|a＋b＋c|＋|2a－b|，则p与q的大小关系为 (

)A．p>qB．p＝qC．p<qD．p、q大小关系不能确定答案：C在统计中为使数据更直观，更能体现出内在规律，在整理数据时常用频数分布直方图或条形统计图、扇形图、折线图等表示数据，这里充分体现了数形结合思想，让人们脱离单调的数字，用图形使人更易理解、应用数据，此部分题目应充分根据问题需要选择合适的统计图，从统计图中获取有用信息，会读图，提高信息捕捉能力和应用能力．【例4】(2010·威海)某校为了解学生“体育大课间”的锻炼效果，中考体育测试结束后，随机从学校720名考生中抽取部分学生的体育测试成绩绘制了条形统计图，如图1－4所示．试根据统计图提供的信息，回答下列问题：(1)共抽取了________名学生的体育测试成绩进行统计；(2)随机抽取的这部分学生中男生体育成绩的平均数是________，众数是________；女生体育成绩的中位数是________；(3)若将不低于27分的成绩评为优秀，估计这720名考生中，成绩为优秀的学生大约是多少？思路分析：本题重在考查同学们的读图能力，能从所给条形统计图中获取解决问题的信息，条形图分男、女生两大部分，分别由图得出不同分数下男、女生的人数，其总和即抽取的样本容量，再分别根据抽取的男生、女生的成绩进行排列找平均数、中位数、众数，第(3)问由样本的优秀率估计总体的优秀率，计算出优秀人数．直角三角形有关边长的计算，判定通常可由图形得三边关系，又由三边的数量关系确定三角形形状；相似三角形的对应边成比例，四边形中的边长计算，面积计算，圆中弦、弧长等的计算都涉及到数形结合思想的运用，这些问题中，常根据图形构建数量关系，根据数量关系确定图形形状，两个图形的位置关系(如点与圆、直线与圆、圆与圆)．【例5】答案：B【例6】(2010·荆州)△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，作△ABC的外接圆，如图1－6，若弧AB的长为12cm，那么弧AC的长是 (

)A．10cm

B．9cm

C．8cm

D．6cm答案：C由一组图形，分析其中数、线、形存在的规律，由此列出相应的代数式或计算出某种数值下的结果，我们要充分利用图形所表达出的规律列出对应的数量关系式，此类问题的解决，要从观察图形入手，根据已知部分的图形探索关系式，再进行验证．【例7】(2010·日照)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如图1－7，图1－8所示：他们研究过图1－7中的1,3,6,10…由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图1－8中的1,4,9,16…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是 (

)A．15

B．25

C．55

D．1225答案：D数形结合思想是分析综合性的计算、证明题的得力工具，能为搭建已知与未知的桥梁提供依据，特别是在四边形的相关问题、二次函数、圆以及它们相混杂的解答题中，要注意分析运用．【例8】(1)求以直线x＝4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点E；(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、N之间的一动点，求△CMN面积的最大值．思路分析：结合矩形性质和B点坐标，先求得C点坐标，再由对称轴，过原点等条件求出抛物线表达式，求△CMN的最大面积要根据与△CMN相关的图形，采用补形法用其它图形的面积和或差表示，利用二次函数求最大值．1.(2010·绵阳)如图1－10，在一个三角形中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2,4,6，…，2n，…请你探究前n行的点数和所满足的规律，若前n行点数和为930，则n＝ (

)A．29

B．30

C．31

D．32解析：前n行的点数和为n(n＋1)，因此，得n(n＋1)＝930，∴n＝30.B2．(2010·遵义)不等式2x－4≤0的解集在数轴上表示为(

)BBDC解析：由图象可知，当x<－1或x>2时，y1的图象位于y2的图象上方．A7．(2010·德州)为了了解某校九年级学生的体能情况，随机抽查了其中50名学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩(次数)，进行整理后绘制成如图1－15所示的频数分布直方图(注：15～20包括15，不包括20，以下同)，请根据统计图计算成绩在20～30次的频率是 (

)A．0.4 B．0.5C．0.6 D．0.7D8．(2010·株洲)某次考试中，某班级的数学成绩统计图如图1－16所示，下列说法错误的是 (

)A．得分在70～80分之间的人数最多B．该班的总人数为40C．得分在90～100分之间的人数最少D．及格(≥60分)人数是26D9．(2010·金华)若二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图1－17所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解x1＝3，另一个解x2＝________.解析：方程的两个解作为抛物线与x轴交点的横坐标，x2＝1－(3－1)＝1－2＝－1，也就是点(3,0)与点(x2,0)关于点(1,0)对称．－110．(2010·济南)已知一次函数y＝kx＋b的图象如图1－18所示，当x<1时，y的取值范围是______．y<－211．(2010·上海)如图1－19