2022-2023学年高一数学人教A版2019题型讲义第17讲复数的四则运算

第17讲复数的四则运算【考点分析】考点一：复数的加、减运算①复数的加法与减法运算法则若设，是任意两个复数，则，②复数加法的运算律1.交换律：z1＋z2＝z2＋z1；2.结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．考点二：复数的乘、除运算①复数代数形式的乘法法则设，(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．②共轭复数的概念已知，则的共轭复数为③复数代数形式的除法法则设，(a，b，c，d∈R)，则【题型目录】题型一：复数的加、减运算题型二：复数的乘、除运算题型三：虚数单位的幂的周期性题型四：共轭复数的应用题型五：解复数方程【典型例题】题型一：复数的加、减运算【例1】已知为虚数单位，计算下列各式．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【分析】根据复数的运算法则运算即得.（1）；（2）；（3）；（4）．【例2】在复平面内，复数，，，则复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】根据复数加法计算出实部和虚部，根据复数平面判断即可.【详解】因为z＝z1＋z2＝＋＝－2＋i，所以实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限故选:B【例3】当时，复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．【详解】由题意得，，，，复数在复平面内对应的点位于第四象限．故选：．【例4】（）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用复数的加法运算直接计算作答.【详解】.故选：A【题型专练】1．复数z满足，则复数z的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由复数的加减运算化简复数，即可得出答案.【详解】，故虚部为.故选：D.2．等于（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接由复数的减法运算求解即可.【详解】.故选：D.3．已知是虚数单位，则（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据复数的加减运算，直接求得答案.【详解】由题意得，，故选：B4．在复平面上，四个复数所对应的点分别位于一个正方形的四个顶点，其中三个复数分别是，则第四个复数是__________．【答案】##【分析】设第四个复数对应的点为,利用与复数对应的向量相等即可求得答案.【详解】设正方形的三点对应的复数分别为设由题意得,,即，即第四个复数是.故答案为:题型二：复数的乘、除运算【例1】已知复数，其中i为虚数单位，则的虚部为（）A．B．26C．D．13【答案】C【分析】将复数化简，即可得到结果.【详解】因为，则复数的虚部为.故选:C.【例2】若为实数,且,则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可得,故选D.【例3】已知复数满足，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∴，∴z=，故选C.【例4】设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（）A．-5B．5C．-4+iD．-4-i【答案】A【解析】由题意，得，则，故选A．【例5】已知复数，则复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先由复数的运算求出，再求出虚部即可.【详解】，故虚部为.故选：C【例6】若复数在复平面内对应的点在第二象限内，则实数a的值可以是（）A．1B．0C．﹣1D．﹣2【答案】B【解析】∵又因为复数在复平面内对应的点在第二象限内，∴，得﹣1＜a＜1．∴实数a的值可以是0．【例7】复数，则共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用复数乘方、模、除法运算求得，进而求得，从而求得的虚部.【详解】，，，，，其虚部为.故选：D【题型专练】1.已知复数，则下面关于复数z的命题正确的是（）A．B．复数z对应的点在第一象限C．D．复数z的虚部与实部互为相反数【答案】D【解析】解：由，得，所以复数z对应的点在第二象限，，实部为虚部为，故选：D2.已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】由，得，则，∴复数在复平面内对应的点为，∴复数在复平面内对应的点所在的象限为第三象限.3.若是纯虛数，则在复平面内复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】为纯虚数，则，解得，，因此，复数在复平面内对应的点在第四象限.故选：D.4.已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为.【答案】【解析】为实数，则.5.是虚数单位，则的值为__________.【答案】【解析】．6．设，则（）A．1B．C．2D．【答案】D【分析】计算，再计算模长得到答案.【详解】，则，故.故选：D7．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【分析】利用复数运算求得，进而求得对应点所在象限.【详解】因为，所以，即，所以，故z在复平面内对应的点为，位于第四象限．故选：D题型三：虚数单位的幂的周期性【例1】化简：z=i【解析】解：∵2i∴z=＝i3+i1010＝﹣i+i4×252+2＝﹣1﹣i．故答案为：﹣1﹣i．【例2】复数的虚部为（）A．B．1C．D．【答案】A【分析】首先根据题意得到，从而得到，即可得到答案.【详解】因为所以，即虚部为-1.故选：A【题型专练】1．已知，则在复平面内，复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【分析】先利用复数的除法和乘方化简复数z，进而可得，再利用复数的几何意义即得.【详解】因为，∴，所以复数对应的点在第三象限．故选：C.2.设是虚数单位，则（）A．B．C．1D．【答案】C【解析】由于，所以．题型四：共轭复数的应用【例1】已知复数满足，是的共轭复数，则下列说法中不正确的是（

）A．的实部与虚部之积为B．的共轭复数为C．在复平面内对应的点在第三象限D．【答案】C【分析】根据复数的除法运算化简得，进而根据复数的实部和虚部可判断A，根据共轭复数的定义可判断B，根据复数对应的点可判断C，根据复数模长的计算可判断D.【详解】由得，对于A,复数的虚部为1，实部为2，故A正确，对于B,的共轭复数为,B正确，对于C,在复平面内对应的点为，故点在第一象限，C错误，对于D，，D正确，故选：C【例2】若，，是的共轭复数，则（）A．B．2C．D．10【答案】C【分析】根据共轭复数的概念写出，然后，求出，进而求出的模长.【详解】，所以，故选：C【例3】若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，.【题型专练】1．已知复数，则（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据复数的除法运算法则以及共轭复数的定义即可求解.【详解】由得，所以故选：A．2.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】的共轭复数为对应点为，在第四象限，故选D.【例5】（2020·江西省南昌十中高三其他（文））复数z的共轭复数满足，则z＝（）A．2+iB．2﹣iC．l+2iD．1﹣2i【答案】A【解析】由5，得，∴z＝2+i.3.设有下面四个命题：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数，则.其中的真命题为A.B．C．D．【答案】B【解析】令，则由得，所以，故正确；当时，因为，而知，故不正确；当时，满足，但，故不正确；对于，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故正确，故选B.4.已知复数，是的共轭复数，则的虚部为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据复数乘方的运算得周期，即可化简复数，在按照复数的除法运算化成一般形式，即可求共轭复数，于是可得的虚部.【详解】解：在复数中：，故周期为4，则且所以则，所以的虚部为.故选：C.题型五：解复数方程【例1】已知（i为虚数单位）是关于x的方程的一个根，若，则（）A．0B．C．2D．【答案】A【分析】将代入方程，整理后根据复数相等可解.【详解】由题知，，整理得所以，故选：A【例2】已知复数是关于的方程的根，则（）A．1B．C．D．2【答案】A【分析】利用复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式得到的根，从而得到，再由复数的模的定义即可求解.【详解】复数是关于的方程的根，又，该方程的根为，即或，则,故选：A.【例3】“虚数”这个词是世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创造的，当时的观念认为这是不存在的数．人们发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问题，像这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解．引进虚数概念后，代数方程的求解问题才得以解决．设是方程的根，则（）A．B．C．是该方程的根D．是该方程的根【答案】AD【分析】求出方程的两根，利用根与系数的关系可判断AB选项；利用代入法可判断C选项；计算得出，可判断D选项.【详解】解方程，即，解得，所以，与为方程的两根.对于AB选项，由韦达定理可得，，A对B错；对于C选项，因为，故不是方程的根，C错；对于D选项，若，则，若，则，所以，是该方程的根，D对.故选：AD.【例4】关于的实系数一元二次方程．(1)若方程有一个根是，求的值；(2)当时，方程的两个虚根满足，求的值．【答案】(1)9(2)【分析】（1）将代入方程，根据实部、虚部为0求得的值；（2）用求根公式直接求出两个虚根，代入求的值．【详解】（1）因为为方程的一根，所以，即，所以且，故，所以（2）方程有两个虚根，则，故，因为的两个虚根为，所以，故，所以满足条件.综上：【例5】复数的平方根是___________.【答案】【分析】令且，应用复数的乘方运算及复数相等列方程组求参数，即可得到平方根.【详解】令且，∴，即，解得或，∴复数的平方根是.故答案为：【题型专练】1．已知，若关于的方程的一个根为，为虚数单位，则___________.【答案】60【分析】根据一元二次方程的虚数根为共轭复数，再结合韦达定理可求得，即可得解.【详解】解：因为关于的方程的一个根为，则另一个根为，所以，所以，所以.故答案为：.2．已知是关于x的实系数方程的一个根，那么该方程在复数集C内的另一个根是___________．【答案】【分析】根据方程根的定义，将代入原方程，解得的值，再利用配方法解方程，可得答案.【详解】已知是关于x的实系数方程的一个根，则，即，则，可得，可得方程：，由配方法可得：，解得：，故答案为：.3．已知方程有两个虚根，若（i为虚数单位），则m的值是___________.【答案】【分析】由实系数方程有虚根的性质求出，再由根系关系即可求m值.【详解】由题意且互为共轭复数，若，则且，所以，，而，经验证满足题设.故答案为：4．为求方程的虚根，可把原式变形为，由此可得原方程的一个虚根的实部为______________.【答案】或【分析】由，对比系数得，解出即可得出．【详解】，对比系数得，解得，或，所以原方程的虚根为，故原方程的一个虚根的实部为，或．故答案为：或．5．已知复数满足，，且复数在复平面内所对应的点位于第三象限.(1)求复数；(2)若复数是实系数一元二次方程的一个根，求的值.【答案】(1