九年级数学中考第一轮复习-圆试题

创作；朱本晓创作；朱本晓2022年元月元日创作；朱本晓创作；朱本晓2022年元月元日九年级数学中考第一轮复习—圆冀教版【本讲教育信息】一、教学内容：复习九：圆圆的有关概念和性质．点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系及其断定．两圆相切、相交的性质．弧长、扇形面积的计算公式．圆锥的侧面展开图．二、知识要点：圆的对称性圆是旋转对称图形，中心为圆心，它既是轴对称图形又是中心对称图形．由于圆的旋转对称性，所以在一个圆中，圆心角、弦、弧这三组量假如有一组量相等，那么其余两组量也相等〔如图①所示〕.由于圆的轴对称性，所以沿直径所在直线折叠，左右两局部重合，同时圆的轴对称性与等腰三角形有着亲密的关系〔如图②所示〕.和圆有关的结论半圆或者直径所对的圆周角都相等，都等于90°；90°的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆〔如图③所示〕.在同一圆内，同弧或者等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；在同创作；朱本晓2022年元月元日创作；朱本晓创作；朱本晓2022年元月元日创作；朱本晓创作；朱本晓2022年元月元日创作；朱本晓2022年元月元日圆或者等圆中，相等的圆周角所对的弧相等〔如图④所示〕.与圆有关的位置关系点和圆的位置关系有：点在圆外、在圆上和在圆内〔如图⑤所示〕；直线和圆的位置关系有：直线与圆相离、相切、相交〔如图⑥所示〕;从量的角度描绘以上三种位置关系，都用半径和间隔做比拟．从量的角度描绘以上三种位置关系，都用半径和间隔做比拟．三角形的内心，外心不在同一直线上的三点确定一个圆．三角形的外心是三边垂直平分线的交点．〔如图⑧所示〕三角形的外心是三边垂直平分线的交点．〔如图⑧所示〕与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，其圆心叫做三角形的内心．三角形内心是三角形三条角平分线的交点.〔如图⑨所示〕直线和圆相切定义：直线与圆有唯一交点，这时我们称直线与圆相切．性质：圆的切线垂直于过切点的半径．定义：直线与圆有唯一交点，这时我们称直线与圆相切．性质：圆的切线垂直于过切点的半径．断定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．断定：创作；朱本晓2022年元月元日切线长：切线上的一点与切点之间线段的长叫做切线长．切线长性质：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，且这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．弧长和扇形面积假如弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r，那么弧长公式为l=鬻.180由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．假如设圆心角是nnr2.. 1n。的扇形的面积为S,圆的半径为r，那么扇形的面积公式为S=两或者S=2lrll为扇形的弧长〕．圆锥的侧面展开图圆锥的侧面展开图是扇形，假如圆锥母线长为l，底面圆的半径为r,扇形圆心角的度nnnnl2数为n。，那么有nrl=器,nnlT80•三、重、难点：重点要掌握圆的根本性质、与圆有关的位置关系，圆中的计算问题．难点是切线的性质和断定，圆与四边形、三角形的综合问题．四、考点分析：圆的有关性质与圆的有关计算是近几年全国各地中考命题考察的重点内容，题型以填空题、选择题和解答题为主，也有以阅读理解题、条件开放、结论开放探究题作为新的题型，分值一般为6~12分．所考察的知识点通常有：圆的有关性质的应用；直线和圆、圆和圆位置关系的断定及应用；弧长、扇形面积、圆柱、圆锥的侧面积和全面积的计算；圆与相似三角形、三角函数的综合运用．【典型例题】.选择题

创作；朱本晓2022年元月元日〔1〕如下图，量角器外缘边上有A、P、Q三点，它们所表示的读数分别是180°,70。,30。，那么NPAQ的大小为〔〕A．10° B．20° C．30° D．40°解析：设量角器的圆心角为O,连接PO,QO,知NPOQ=70°—30°=40°,而NPAQ为PQ所对的圆周角，为NPOQ的一半，所以NPAQ=1NPOQ=2x40°=20°.〔2〕一个圆锥的高为3%门，侧面展开图是半圆，那么圆锥的侧面积是〔〕A.9n B.18n C.27n D.39n180nR解析：设圆锥的母线为R,底面圆的半径为r，那么一^^=2nr,，R=2r,VR2=r2180180nx62 -+〔3馅〕2,即〔2r〕2=r+27,・'.r=3,R=6,・'.S侧=-360一=18n.应选B.〔3〕如下图，在直角坐标系中，四边形OABC为正方形，顶点A、C在坐标轴上，以边AB为弦的。M与l轴相切，假设点A的坐标为〔0,8〕，那么圆心M的坐标为〔〕A.〔4,5〕B.〔—5,4〕 C.〔—4,6〕 D.〔—4,5〕解析：如下图，作ME±%轴于点E,并反向延长交AB于点D,连接MA,\,点A[0,8〕，.，.DE=AB=8,・，.AD=2AB=4.：0M与％轴相切，.•.点E是切点，OE=AD=4,MA=ME.\'在Rt△ADM中，MD2+AD2=MA2,・・.〔8—ME〕2+42=ME2,・'.ME=5,・•.点M〔一4,5〕，应选D.创作；朱本晓创作；朱本晓2022年元月元日创作；朱本晓创作；朱本晓2022年元月元日创作；朱本晓创作；朱本晓2022年元月元日创作；朱本晓创作；朱本晓2022年元月元日例2.填空题〔1〕如下图，将边长为8cm的正方形ABCD沿直线l向右翻动〔不滑动〕，当正方形连续翻动三次后，正方形ABCD的中HY过的道路长是 cm.AD(A)BC(D)解析：依题意，知正方形ABCD的中HY过的道路长为3个4圆弧长，其半径为电利用弧长公式可得三段弧长之和为6-；2n即正方形ABCD的中HY过的道路长是6v2ncm.〔2〕如下图，AB为。O的直径，AB=AC,BC交。O于点D,AC交。O于点E,ZBACTOC\o"1-5"\h\z^^ ^^=45°.给出以下五个结论：①N°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE=BC.其中正确的结论的序号是 .解析：连接AD,VAB是。O的直径，・・・/人口8=90°,又•.•AB=AC,・'.NABC=Z°,BD=DC.VAB是。O的直径，.•・NAEB=90°,・'・NABE=90°—NBAC=45°,AZ°.在4ABE中，•.•/ABE=NA,・，.AE=BE,而BE<BC,AAE<BC,AEW2EC.二，^^ ^^NABE=2NEBC,・•.劣弧AE是劣弧DE的2倍.因此正确结论的序号是①②④.〔3〕。。的半径等于5cm,弦AB=6cm,CD=8cm，且AB〃CD,那么AB、CD之间的间隔为.

解析：由于圆是一个轴对称图形，弦AB与CD位置有两种，如图①和②.在图①中，连接OA、OC，作OFLCD于F,交AB于E,那么AE=：AB=3〔cm〕,CF=1CD=4〔cm〕，由勾股定理得OE=\OOA2—AE2=52—32=4,OF=OOC2—CF2=可52—42=3,所以EF=OE-OF=4-3=1〔cm〕，同理在图②中，EF=OE+OF=4+3=7〔cm〕.故AB、CD之间的间隔为1cm或者7cm.^^例3.如下图，AB是。O的直径，CB是弦，ODLCB于E,交CB于D,连接AC.〔1〕请写出两个不同类型的正确结论；〔2〕假设CB=8,ED=2,求。O的半径.解：〔1〕不同类型的正确结论有：①BE=CE；②BD=CD；③NBED=90°；④NBOD=NA；⑤AC〃OD；⑥ACLBC；⑦OE2+BE2=OB2；⑧SAnr=BC-OE；@ABOD是等△ABC腰三角形；⑩△BOEs^BAC等等.〔注：BE=CE与BC=2BE或者CE=1BC是同一类型,以上任取两个类型结论即可〕〔2〕：OD，CB,・，.BE=CE=1CB=4.设圆半径等于R,那么OE=OD—DE=R—2,在Rt^OEB中，由勾股定理得，OE2+BE2=OB2,即〔R—2〕2+42=R2,解得R=5,••・。0的半径为5.评析：在运用垂径定理解决圆的弦长问题时，一般要利用弦的一半、半径和圆心到这条弦的间隔这三个量构成的直角三角形，应用勾股定理列方程求解.例4.如下图，A是以BC为直径的。O上的一点，ADXBC于点D,过点B作。O的切线，与CA的延长线相交于点E,G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F,延长AF与CB的延长线相交于点P.〔1〕求证：BF=EF；〔2〕求证：PA是。O的切线.."证明：〔1〕・「BC是。O的直径，BE是。O的切线，又•.•AD，BC,・'.AD〃BE,.•.△BFCMDGC,4FECMGAC,.BFCFEFCF.BFEF,•DG-CG，AG-CG，^DG-AG，VG是AD的中点，・，.DG=AG,ABF=EF.pj^B匕〔2〕连接AO、AB.VBC是。O的直径，••・NBAC=90°.在Rt△BAE中，由〔1〕知F是斜边BE的中点，*AEBXBC.*AAF=FB=EF.AZFBA=ZFAB.又•.•OA=OB,・'.NABO=NBAO.•「BE是。O的切线，.•・NEBO=90°,AZEBO=ZFBA+ZABO=ZFAB+ZBAO=ZFAO=90°,APA是。O的切线.评析：证明一直线是圆的切线时，常用到“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线〃这一方法.详细应用时又有两种不同的辅助线作法：①点在圆上〔即点经过半径的外端〕，此时连接该点和圆心证垂直〔如本例〕.②不知点是否在圆上，常过圆心引该直线的垂线，证明垂线段等于半径.例5.如下图，△ABC内接于。。，点D在半径OB的延长线上，NBCD=NA=30°.〔1〕试判断直线CD与。O的位置关系，并说明理由.〔2〕假设。O的半径长为1,求由弧BC,线段CD和BD所围成的阴影局部的面积.〔结果保存n和根号〕分析:可以直观地判断直线CD与。O相切.理由就是想方法证明OCLCD,根据NBCD=NA=30°可以判断4OBC是正三角形，可求出NOCD=90°,从而得到证明.至于阴影局部的面积可以利用间接法求得，即求出Rt△OCD的面积，再减去扇形OBC的面积.解：直线CD与。O相切，理由如下：在。O中，NCOB=2NCAB=2X30°=60°.XVOB=OC,A△OBC是正三角形，AZOCB=60°.又•••NBCD=30°,ANOCD=60°+30°=90°.AOCXCD.创作；朱本晓创作；朱本晓2022年元月元日创作；朱本晓创作；朱本晓2022年元月元日创作；朱本晓2022年元月元日XVOC是半径，.,.直线CD与。O相切.〔2〕由〔1〕得4COD是直角三角形，NCOB=60°.VOC=1,ACD=>3.••SaCOD=2OC^CD=竽又.•飞扇形0CB=6n，・・.S=S-S ='近一1n=3^，，S阴影SAC0DS扇形0CB2 6 6 .【方法总结】利用垂径定理进展证明或者计算，通常利用半径、圆心距和弦的一半组成的直角三角形求解.由于圆中一条弦对两条弧以及圆内的两条平行弦与圆心的位置关系有两种情况，所以利用垂径定理计算时，不要漏解.证明直线与圆相切，一般有两种情况〔1〕直线与圆有公一共点，这时连接圆心与公一共点的半径，证明该半径与直线垂直.〔2〕不知直线与圆有公一共点，这时过圆心作与直线垂直的线段，证明此垂线段的长与半径相等.【预习导学案】〔复习十：图形变换〕一、预习前知什么是轴对称，什么是中心对称？什么是图形的平移和旋转？什么叫相似形？二、预习导学轴对称图形的性质有： ；

创作；朱本晓2022年元月元日中心对称图形的性质有： ．平移的特征是 ，旋转的特征是 ．相似三角形的性质有哪些？如何断定两个三角形相似？反思：〔1〕图形变换有哪些？〔2〕如何利用锐角三角函数求出直角三角形中的未知元素？【模拟试题】〔答题时间是：50分钟〕一、选择题以下命题中，正确的选项是〔〕①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等.A.①②③ B.③④⑤ C.①②⑤ D.②④⑤.如下图，。0的直径CD过弦EF的中点G,NEOD=40°,那么NDCF等于〔〕A.80° B.50° C.40° D.20°EJ—F

D.如下图，小丽要制作一个圆锥模型，要求圆锥的母线长为9cm,底面圆的直径为10cm,A.150°B.200°C.180°D.240°10cmA.150°B.200°C.180°D.240°10cm9cm.如下图，线段AB=8cm,OP与。Q的半径均为1cm.点P、Q分别从A、B出发，在线段AB上按箭头所示方向运动.当P、Q两点未相遇前，在以下选项里面，OP与OQ不创作；朱本晓创作；朱本晓2022年元月元日创作；朱本晓创作；朱本晓2022年元月元日创作；朱本晓创作；朱本晓2022年元月元日创作；朱本晓创作；朱本晓2022年元月元日可能出现的位置关系是〔〕A.外离B.外切D.内含C.相交5.如下图，△ABCA.外离B.外切D.内含C.相交5.如下图，△ABC内接于。O,NC=45°,AB=4,那么。O的半径为〔〕B.4C.2\13D.56.如下图，EF是。O的直径，把NA为60°6.如下图，EF是。O的直径，直线EF上，斜边AB与。O交于点P,点B与点O重合.将三角板ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止.设NPOF=%。，那么%的取值范围是〔〕A.30W%<60 B.30W%<90 C.30W%<120 D.60W%<120*7.如下图在4ABC*7.如下图在4ABC中，BC=4,以点A为圆心，2为半径的。A与BC相切于点D,交AB于点E交AC于点F,点P是。A上一点，且△EPF=40°,那么图中阴影局部的面积是〔〕8nB8nB.4—D.8-87**8.△ABC中，AB=AC,NA为锐角，CD为AB边上的高，I为4ACD的内切圆圆心,那么NAIB的度数是〔〕创作；朱本晓创作；朱本晓2022年元月元日创作；朱本晓创作；朱本晓2022年元月元日创作；朱本晓2022年元月元日A.120° B.125° C.135° D.150°、填空题.如下图，轮椅车的大小两车轮〔在同一平面上〕与地面的触点A、B间的间隔为80cm,两车轮的直径分别为136cm、16cm，那么两车轮的圆心相距.A B.如下图，AB是。O的直径，CD是。O的弦，连结AC、AD.假设NCAB=35°,那么NADC的度数为.^^.如图，AB为。O的直径，弦CD±AB,E为BC上一点，假设NCEA=28°,那么NABD=^^4.如下图，^^4.如下图，A、B、C、D是。O上四点，且D是AB的中点，CD交OB于EZAOB=100°,ZOBC=55°,ZOEC=度..如下图，AB是。O的直径，弦CDLAB,垂足为G,F是CG的中点，延长AF交。O创作；朱本晓创作；朱本晓2022年元月元日创作；朱本晓创作；朱本晓2022年元月元日创作；朱本晓创作；朱本晓2022年元月元日创作；朱本晓创作；朱本晓2022年元月元日于E,CF=2,AF=3,那么EF的长是 6.如图，AB为半圆O的直径，=1AB6.如图，AB为半圆O的直径，=1AB,PC切半圆O于点C,点^^,ZBOC=46。，那么NAED的度数为**8.如下图，PQ=3,以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P,正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q,那么AB=三、解答题1.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的。O交BC于点M,MNXAC于点N.〔1〕求证MN是。O的切线；〔2〕假设NBAC=120°,AB=2,求图中阴影局部的面积.

2.如下图，在。O中，AB=2.如下图，在。O中，AB=4"3AC是。O的直径，AC±BD于点F,ZA=30。.〔1〕求图中阴影局部的面积；〔2〕假设用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，恳求出这个圆锥的底面圆的半径.*3.如下图，四边形ABCD内接于。O,BD是。O的直径，AELCD于E,DA平分NBDE.〔1〕求证：AE是。O的切线；〔2〕假设NDBC=30°,DE=1cm，求BD的长.**4.如下图，A是半径为12cm的。O上的定点，动点P从A出发，以2ncm/s的速度沿圆周逆时针运动，当点P回到A时立即停顿运动.〔1〕假如NPOA=90°,求点P运动的时间是；〔2〕假如点B是OA延长线上的一点，AB=OA,那么当点P运动的时间是为2s时，判断直线BP与。O的位置关系，并说明理由.创作；朱本晓创作；朱本晓2022年元月元日创作；朱本晓创作；朱本晓2022年元月元日创作；朱本晓创作；朱本晓2022年元月元日【试题答案】一、选择题BD【连接OF,V0O【试题答案】一、选择题BD【连接OF,V0O的直径CD过弦EF的中点G,^^^^AED=DF,AZEOD=ZDOF,.\ZDCF=1ZDOF=20°.]乙B【圆锥模型侧面展开扇形纸片的弧长是2nr=2nX，=10n〔cm〕，由弧长公式l=nnR/口 nnX9n,180得10n=-Igo-,n=200]DA【连接OA、OB,VNC=45°,.•・NAOB=90°,二在RtAAOB中，OA=OB=2\；2】A【V当B点与O点重合时，NPOF=30°；当B点与E点重合时，NPOF=2X30°=60。，,30W%W60,应选A】B【连接AD,因为BC为。A的切线，D为切点，所以AD±BC.又由NBAC=2NEPF=2X40°=80°,AS =803：22=8 .s=s s =1XBCXAD-8n扇形EAF360 9 阴影aABC 扇形EAF2 9nn8-9

-4=C[VI为^ACD内切圆圆4,，NIAC=1NBAC,NICA=1NACB,：CD，AB,・，・ZBAC+ZACD=90°,AZIAC+ZICA=45°,AZAIC=135°.VAB=AC,且。I与AB、AC相切，.•・NBAI=NCAI,・・・^AIB04AIC,・・・NAIB=NAIC=135°】、填空题1.100cm【如下图，作01cLO2B于C,在Rt^O102c中，01c=AB=80cm,02c=O2B创作；朱本晓2022年元月元日

—01A=136_16222.55—01A=136_16222.55°]=60cm，由勾股定理得01G2=100cm]【连结bc,zadc=28°80【由题意知NBCD=25°,NOEC=NB+NBCD=80°]4【连结CE,,・,CF=2,・•・CG=4,・•・FD=6.又•・•△ADFs△CEF,・•・AF=FD，・•・EFCFEF2X2X6=4]30°【连接OC,那么BC=2gP=OB,AAOBC是等边三角形，・・・/：0=30°]乙^^ ^^ ^^69°【：B、C分别是劣弧AD的三等分点，.，.AB=BC=CD.又知NBOC=46°,・'.ZAODZAOD=3X46°=138°,azaed=2zaod=69°]乙8.6【设大圆圆心为点0,8.6【设大圆圆心为点0,作连心线交AB于点E,根据圆的对称性40AE为直角三角形，那么0A2=〔PE—0P〕2+〔；AB〕2,即52=〔AB+3—5〕2+gAB〕2,解得AB=6]三、解答题1.〔11.〔1〕证明：连接0M.证OM〃AC.〔2〕连接AM.由题意可得0M=1,MB=MC=3 3 31MN3 3 31MN=2，CN=2,AN=aC—CN=2—2=2,S梯形anmo〔AN+OM〕・MNS=——扇形S=——扇形0AM36060n•12n9\；3-4n242.〔1〕解法一：如图①所示，过O作OELAB于点E,那么AE=2aB=2\.'3.在RtA乙AE AEAEO中,NBAC=300,cos300=OA..・.OA=c^=4.又•・.OA=OB'..・NABO=TOC\o"1-5"\h\z^^ ^^30°.AZBOC=60°.VAC±BD,ABC=CD.AZCOD=ZBOC=60°.AZBOD=120°.，S阳昌,=”•OA2=照n-42=学冗.解法二：如图②所示，连结AD.VACX阴影360 360 3^^ ^^BD,AC是直径..•・AC垂直平分BD..'.AB=AD,BF=FD.VBC=CD,AZBAD=2一 一 1l一AF 一ZBAC=60。，.・.NBOD=120°.：BF=5AB=2\3,sin60°=,AF=AB•sin60°=2 ABL/ 14.；3X七=6..'.OB2=BF2+OF2,即〔2、.；3〕2+〔6—OB〕2=OB2.AOB=4.AS=zS， 2 ， 阴影316n.解法三：如图③所示，连结BC.VAC为。O的直径，••.NABC=90°.：AB=4\i,3,AAC=AB43cos30° 第2=8.VZ=4\i,3,AAC=AB43cos30° 第2=8.VZA=30°,AC±BD,AZBOC=60°,AZBOD=120°16n.AS阴影=360n・OA2=gx42・n① ② ③〔2〕设圆锥的底面圆半径为r,2nr：1^n-4.解得r=4.180 3.〔1〕连结OA.^DA平分NBDE,ANBDA=NEDA.：OA=OD,ANODA=NOAD,AZOAD=ZEDA,AOA#CE.VAE±DE,AZAED=90°,AZOAE=ZDEA

=90°.AAEXOA.AAE是。O的切线.〔2〕•BD是直径，.•.ABCD=NBAD=90°.•

ZDBC=30°,AZBDC=60°,AZBDE=120°.VDA平分NBDE,A/BDAm/EDA

=60°.A/ABD=/EAD=30°.在RtAAED中，/AED=90°,/EAD=30°,AAD

创作；朱本晓

2022年元月元日创作；朱本晓创作；朱本晓2022年元月元日创作；朱本晓创作；朱本晓2022年元月元日创作；朱本晓

2022年元月元日

=2DE.在Rt^ABD中，NBAD=90°,NABD=30°,.'.BD=2AD=4DE.：DE的长是1cm,ABD的长是4cm.13.〔1〕当NPOA=90°时，点P运动的路程为。O周长的4或者4.设点P运动的时间是为ts.当点P运动的路程为。O周长的4时，2n・t=；-2n・12.解得t=3；当点P运动33的路程为。O周长的4时，2n・t=4・2冗・12.解得t=9.・•・当NPOA=