【解析】初中数学浙教版八年级下册5.2.2菱形的判定 同步练习

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初中数学浙教版八年级下册5.2.2菱形的判定同步练习

一、单选题

1．（2023八上·宜城期末）如图，四边形ABCD沿直线l对折后重合，如果，则结论①ABCD；②AB=CD；③；④中正确的是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．（2023八上·奎文期末）如图，在中，点D在边BC上，过点D作，，分别交AB，AC于E，F两点．则下列命题是假命题的是（）

A．四边形是平行四边形

B．若，则四边形是矩形

C．若，则四边形是菱形

D．若，则四边形是矩形

3．（2023八上·文登期末）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．添加一个条件，使四边形AEBD是菱形，这个条件是（）

A．B．

C．D．DE平分

4．（2023八上·黄陂开学考）两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，AB=AF，AE=BC.若AB=1，BC=3，则图中重叠（阴影）部分的面积为（）.

A．2B．C．D．

5．（2023八下·防城港期末）某班同学在“为抗疫英雄祈福”的主题班会课上制作象征“平安归来”的黄丝带，如图所示，丝带重叠部分形成的图形是（）

A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形

6．（2023八下·大化期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AB＝4，BC＝3，则四边形CODE的周长是（）

A．5B．8C．10D．12

7．（2023八下·洛宁期末）如图，在ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF＝12，AB＝10，则AE的长为()

A．16B．15C．14D．13

8．（2023八下·醴陵期末）如图，在ABCD中，DE，BF分别是∠ADC和∠ABC的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形BFDE为菱形的是（）

A．∠A=60B．DE=DF

C．EF⊥BDD．BD是∠EDF的平分线

9．（2023八下·原州期末）如图，某同学作线段AB的垂直平分线：分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，D，则直线CD为线段AB的垂直平分线.根据这个同学的作图方法可知四边形ADBC一定是（）

A．菱形B．平行四边形

C．矩形D．一般的四边形

10．（2023八下·曲阜期末）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论错误的是（）

A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形

C．当时，它是矩形D．当时，它是菱形

二、填空题

11．（2023八下·北京期中）如图，在□ABCD中，以点A为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交边AD、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线AP交边CD于点E，过点E作EF∥AD交AB于点F．若AB=5，CE=2，则四边形ADEF的周长为．

12．（2023八下·江都期中）如图，小华剪了两条宽为3的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为60°，则它们重叠部分的面积为.

13．（2023八下·丰县月考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC与BD互相垂直且平分，BD＝10，AC＝24，则四边形周长为，面积为.

14．（2023八下·寿县期末）如图，在ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=8，AB=5，则AE的长为．

三、解答题

15．（2023八下·永春期末）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=13，AC=24，BD=10．求证：四边形ABCD是菱形．

16．（2023八下·八步期末）已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，DF∥AB.求证：四边形AEDF是菱形.

17．（2023八下·定兴期末）老师布置了一个作业，如下：

已知：如图1的对角线的垂直平分线交于点，交于点，交于点．求证：四边形是菱形．

嘉琪同学写出了如图2所示的证明过程，老师说嘉琪同学的作业是错误的．请你解答下列问题：

（1）能找出该同学错误的原因吗？请你指出来；

（2）请你给出本题的符合题意证明过程．

18．（2023八下·曲阳期末）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．

（1）求证：△MBA≌△NDC；

（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？不用证明．

19．（2023八下·海勃湾期末）如图，直线y=﹣2x+8分别交x轴，y轴于点A，B，直线yx+3交y轴于点C，两直线相交于点D．

（1）求点D的坐标；

（2）如图2，过点A作AE∥y轴交直线yx+3于点E，连接AC，BE．求证：四边形ACBE是菱形；

（3）如图3，在（2）的条件下，点F在线段BC上，点G在线段AB上，连接CG，FG，当CG=FG，且∠CGF=∠ABC时，求点G的坐标．

答案解析部分

1．【答案】C

【知识点】菱形的判定与性质；轴对称的性质

【解析】【解答】解：如图所示：

∵直线l是四边形ABCD的对称轴，

∴AB=AD，BC=DC，∠1=∠2，∠3=∠4，

又∵AD∥BC，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠4，

∴AB∥CD，故①正确；

∴四边形ABCD是菱形；

∴AB=CD，故②正确；

∵四边形ABCD是菱形；

∴AO=OC，故④正确.

∵当四边形ABCD是菱形时，直线l是四边形ABCD的对称轴，但是AB与BC不一定垂直，故③错误.

故答案为：C.

【分析】根据轴对称图形的性质得出AB=AD，BC=DC，∠1=∠2，∠3=∠4，根据平行线的性质得出∠2=∠3，根据等量代换得出∠1=∠4，进而根据内错角相等，二直线平行得出AB∥CD，根据一组邻边相等且两组对边分别平行的四边形是菱形得出四边形ABCD是菱形，进而根据菱形的性质即可一一判断得出答案.

2．【答案】C

【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定

【解析】【解答】

四边形AEDF是平行四边形，故A选项不符合题意；

四边形AEDF是平行四边形，

四边形AEDF是矩形，故B选项不符合题意；

同理

要想四边形AEDF是菱形，只需,则需显然没有这个条件，故C选项符合题意；

,则,,

四边形AEDF是矩形，故D选项不符合题意；

故答案为：C．

【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定逐项判定即可。

3．【答案】D

【知识点】菱形的判定

【解析】【解答】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAB=∠EBA，

∵点F是AB的中点，

∴AF=BF，

∵∠AFD=∠BFE，

∴△ADF≌△BEF，

∴AD=BE，

∵AD∥BE，

∴四边形AEBD是平行四边形，

A、当时，得到AB=BD，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；

B、AB=BE时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；

C、DF=EF时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；

D、当DE平分时，四边形AEBD是菱形，故该选项符合题意；

故答案为：D．

【分析】先证明△ADF≌△BEF，得到AD=BE，推出四边形AEBD是平行四边形，再逐项分析即可。

4．【答案】C

【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质

【解析】【解答】设BC交AE于G，AD交CF于H，如图所示：

∵四边形ABCD、四边形AECF是全等的矩形，

∴AB=CE，∠B=∠E=90°，AD∥BC，AE∥CF，

∴四边形AGCH是平行四边形，

在△ABG和△CEG中，

，

∴△ABG≌△CEG（AAS），

∴AG=CG，

∴四边形AGCH是菱形，

设AG=CG=x，则BG=BC-CG=3-x，

在Rt△ABG中，由勾股定理得：12+(3-x)2=x2，

解得：x=，

∴CG=，

∴菱形AGCH的面积=CGAB=，

即图中重叠（阴影）部分的面积为.

故答案为：C.

【分析】证得四边形AGCH是平行四边形，由△ABG≌△CEG（AAS），证得四边形AGCH是菱形，设AG=CG=x，则BG=BC-CG=3-x，在Rt△ABG中，由勾股定理得出方程，解方程求得CG的长，即可求出菱形AGCH的面积.

5．【答案】B

【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定

【解析】【解答】解：过点A作于E，于F，如图，

两条彩带宽度相同，

，，.

四边形是平行四边形.

.

又.

，

四边形是菱形.

故答案为：.

【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形.

6．【答案】C

【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质

【解析】【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC，

∴四边形CODE是平行四边形，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝BD，OB＝OD，OC＝OA，∠ABC＝90°

∴OC＝OD，

∴四边形CODE是菱形

∵AB＝4，BC＝3

∴OC＝

∴四边形CODE的周长＝4×＝10

故答案为：C.

【分析】由矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，易证得四边形CODE是菱形，又由AB＝4，BC＝3，可求得AC的长，继而求得OC的长，则可求得答案.

7．【答案】A

【知识点】角平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的性质

【解析】【解答】连结EF，AE与BF交于点O，如图，

∵AO平分∠BAD，

∴∠1=∠2，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AF∥BE，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴AB=EB，

同理：AF=BE，

又∵AF∥BE，

∴四边形ABEF是平行四边形，

∴四边形ABEF是菱形，

∴AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，

在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA==8，

∴AE=2OA=16.

故答案为：A.

【分析】首先证明四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长.

8．【答案】A

【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定

【解析】【解答】由题意知：四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ADC=∠ABC，∠A=∠C，AD=BC，AB=CD，ABCD

又∵DE，BF分别是∠ADC和∠ABC的平分线，

∴∠ADE=∠FBC，

在△ADE和△CBF中

∴△ADE≌△CBF（ASA）

∴AE=CF，DE=BF

又∵AB=CD，ABCD，AE=CF

∴DF=BE，DFBE、

∴四边形BFDE是平行四边形．

A、∵AB//CD，

∴∠AED=∠EDC，

又∵∠ADE=∠EDC，

∴∠ADE=∠AED，

∴AD=AE，

又∵∠A=60°，

∴△ADE是等边三角形，

∴AD=AE=DE，

无法判断平行四边形BFDE是菱形．

B、∵DE=DF，

∴平行四边形BFDE是菱形．

C、∵EF⊥BD，

∴平行四边形BFDE是菱形．

D、∵BD是∠EDF的平分线，

∴∠EDB=∠FDB，

又∵DF//BE，

∴∠FDB=∠EBD，

∴∠EDB=∠EBD，

∴ED=DB，

∴平行四边形BFDE是菱形．

故答案为：A．

【分析】先证明四边形BFDE是平行四边形，再根据菱形的判定定理逐项进行分析判断即可．

9．【答案】A

【知识点】菱形的判定

【解析】【解答】解：∵分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，

∴AC=AD=BD=BC，

∴四边形ADBC一定是菱形，

故答案为：A.

【分析】根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形.

10．【答案】D

【知识点】菱形的判定；矩形的判定

【解析】【解答】A、当AB＝BC时，平行四边形ABCD为菱形，A选项不符合题意；

B、当AC⊥BD时，平行四边形ABCD为菱形，B选项不符合题意；

C、当∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD为矩形，故C选项不符合题意；

D、当AC＝BD时，平行四边形ABCD为矩形，故D选项符合题意．

故答案为：D．

【分析】根据矩形、菱形、正方形的的判定方法判断即可．

11．【答案】12

【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质

【解析】【解答】∵□ABCD

∴AD∥BC，AB∥CD

∴DE∥AF，∠AED=∠BAE

∵EF∥AD

∴四边形ADEF是平行四边形

∵AE平分∠BAD

∴∠DAE=∠BAE

∴∠AED=∠DAE

∴AD=DE

∴四边形ADEF是菱形

∵AB=5，CE=2，

∴DE=CD-CE=AB-CE=5-2=3

∴四边形ADEF的周长为3×4=12

故答案为：12.

【分析】首先判定四边形ADEF是平行四边形，然后根据角平分线的性质得出AD=DE，进而判定四边形ADEF是菱形，即可求出其周长.

12．【答案】6

【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的判定与性质

【解析】【解答】过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，

根据题意得：AD∥BC，AB∥CD，BE＝BF＝3，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵∠ABC＝∠ADC＝60°，

∴∠ABE＝∠CBF＝30°，

∴AB＝2AE，BC＝2CF，

∵AB2＝AE2+BE2，

∴AB＝2，

同理：BC＝2，

∴AB＝BC，

∴四边形ABCD是菱形，

∴AD＝2，

∴S菱形ABCD＝ADBE＝6.

故答案为：6.

【分析】首先过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，由题意可得四边形ABCD是平行四边形，继而求得AB＝BC的长，判定四边形ABCD是菱形，则可求得答案.

13．【答案】52；120

【知识点】菱形的判定与性质

【解析】【解答】∵AC与BD互相垂直且平分，BD＝10，AC＝24，

∴四边形ABCD是菱形，OD=5，OA=12

∴

∴四边形的周长为AD×4=13×4=52

面积为；

故答案为52，120.

【分析】根据AC与BD互相垂直且平分，BD＝10，AC＝24可知四边形ABCD是菱形，从而可求答案.

14．【答案】6

【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质

【解析】【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，

∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AF，

∴四边形ABEF是菱形，

∴AE⊥BF，OB=BF=4，OA=AE．

∵AB=5，

在Rt△AOB中，AO==3，

∴AE=2AO=6．

故答案为：6．

【分析】由基本作图得到AB=AF，AG平分∠BAD，故可得出四边形ABEF是菱形，由菱形的性质可知AE⊥BF，故可得出OB的长，再由勾股定理即可得出OA的长，进而得出结论．

15．【答案】解：四边形ABCD是平行四边形，，

，

在中，，

，

是直角三角形，且，

，

四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．

【知识点】菱形的判定

【解析】【分析】先根据平行四边形的性质可得，再根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，从而可得，然后根据菱形的判定即可得证．

16．【答案】解：∵DE∥AC，DF∥AB，

∴四边形AEDF是平行四边形，

∵AD平分∠BAC，

∴∠1=∠2（角平分线的定义），

∵DE∥AC，

∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等），

∴∠1=∠3（等量代换），

∴AE=DE，

∴平行四边形AEDF是菱形.

【知识点】菱形的判定

【解析】【分析】先证明四边形AEDF是平行四边形，再根据角平分线的定义求出∠1=∠2，根据两直线平行，内错角相等求出∠2=∠3，然后求出∠1=∠3，根据等角对等边的性质可得AE=DE，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形判定.

17．【答案】（1）解：能；嘉琪同学错在和并不是互相平分的，垂直平分，

但未证明垂直平分，需要通过证明得出

（2）证明：∵四边形是平行四边形，

∴．

∴．

∵是的垂直平分线，

∴．

∵∠AOF=∠EOC．

∴．

∴．

∴四边形AECF是平行四边形．

∵垂直平分．

∴与互相垂直平分．

∴四边形是菱形

【知识点】菱形的判定

【解析】【分析】（1）题目中只说对角线的垂直平分线是，所以，只能得到EF垂直平分AC，并不能得到AC是平分EF的，所以不能说明四边形是平行四边形，故后面的结论不对，由此可知嘉琪的不符合题意；（2）根据是的垂直平分线，所以，由．推出，再结合对顶角，证明，可证四边形是平行四边形，最后根据对角线互相垂直，可证明菱形．

18．【答案】（1）证明∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，

∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，

∴AM=AD，CN=BC，

∴AM=CN，

在△MAB和△NDC中，

∵AB＝CD，∠A＝∠C＝90°，AM＝CN

∴△MBA≌△NDC（SAS）

（2）解：四边形MPNQ是菱形．

理由如下：连接AP，MN，

则四边形ABNM是矩形，

∵AN和BM互相平分，

则A，P，N在同一条直线上，

易证：△ABN≌△BAM，

∴AN=BM，

∵△MAB≌△NDC，

∴BM=DN，

∵P、Q分别是BM、DN的中点，

∴PM=NQ，

∵DM=BN，∠MDQ=∠NBP，DQ=BP，

∴△MQD≌△NPB（SAS）．

∴四边形MPNQ是平行四边形，

∵M是AD中点，Q是DN中点，

∴MQ=AN，MQ=BM，

∵MP=BM

∴MP=MQ，

∴平行四边形MQNP为菱形．

【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；菱形的判定；矩形的性质

【解析】【分析】(1)根据矩形的性质和中点的定义，利用SAS判定△MBA≌△NDC；(2)四边形MPNQ是菱形，连接AN，由(1)可得到BM=DN，再有中点得到PM=NQ，再通过证明△MQD≌△NPB得到MQ=PN，从而证明四边形MPNQ是平行四边形，利用三角形中位线的性质可得：MP=MQ，进而证明四边形MQNP是菱形．

19．【答案】（1）解：根据题意可得：，

解得：，

∴点D坐标(2，4)

（2）解：∵直线y=﹣2x+8分别交x轴，y轴于点A，B，

∴点B(0，8)，点A(4，0)．

∵直线yx+3交y轴于点C，

∴点C(0，3)．

∵AE∥y轴交直线yx+3于点E，

∴点E(4，5)

∵点B(0，8)，点A(4，0)，点C(0，3)，点E(4，5)，

∴BC=5，AE=5，AC5，BE5，

∴BC=AE=AC=BE，

∴四边形ACBE是菱形

（3）解：∵BC=AC，

∴∠ABC=∠CAB．

∵∠CGF=∠ABC，∠AGF=∠ABC+∠BFG=∠AGC+∠CGF，

∴∠AGC=∠BFG，且FG=CG，∠ABC=∠CAB，

∴△ACG≌△BGF(AAS)，

∴BG=AC=5，

设点G(a，﹣2a+8)，

∴(﹣2a+8﹣8)2+(a﹣0)2=52，

∴a=±，

∵点G在线段AB上，

∴a，

∴点G(，8﹣2)

【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；菱形的判定

【解析】【分析】(1)两个解析式组成方程组，可求交点D坐标；(2)先求出点A，点B，点E，点C坐标，由两点距离公式可求BC=AE=AC=BE=5，可证四边形ACBE是菱形；(3)由“AAS”可证△ACG≌△BGF，可得BG=AC=5，由两点距离公式可求点G坐标．

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初中数学浙教版八年级下册5.2.2菱形的判定同步练习

一、单选题

1．（2023八上·宜城期末）如图，四边形ABCD沿直线l对折后重合，如果，则结论①ABCD；②AB=CD；③；④中正确的是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C

【知识点】菱形的判定与性质；轴对称的性质

【解析】【解答】解：如图所示：

∵直线l是四边形ABCD的对称轴，

∴AB=AD，BC=DC，∠1=∠2，∠3=∠4，

又∵AD∥BC，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠4，

∴AB∥CD，故①正确；

∴四边形ABCD是菱形；

∴AB=CD，故②正确；

∵四边形ABCD是菱形；

∴AO=OC，故④正确.

∵当四边形ABCD是菱形时，直线l是四边形ABCD的对称轴，但是AB与BC不一定垂直，故③错误.

故答案为：C.

【分析】根据轴对称图形的性质得出AB=AD，BC=DC，∠1=∠2，∠3=∠4，根据平行线的性质得出∠2=∠3，根据等量代换得出∠1=∠4，进而根据内错角相等，二直线平行得出AB∥CD，根据一组邻边相等且两组对边分别平行的四边形是菱形得出四边形ABCD是菱形，进而根据菱形的性质即可一一判断得出答案.

2．（2023八上·奎文期末）如图，在中，点D在边BC上，过点D作，，分别交AB，AC于E，F两点．则下列命题是假命题的是（）

A．四边形是平行四边形

B．若，则四边形是矩形

C．若，则四边形是菱形

D．若，则四边形是矩形

【答案】C

【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定

【解析】【解答】

四边形AEDF是平行四边形，故A选项不符合题意；

四边形AEDF是平行四边形，

四边形AEDF是矩形，故B选项不符合题意；

同理

要想四边形AEDF是菱形，只需,则需显然没有这个条件，故C选项符合题意；

,则,,

四边形AEDF是矩形，故D选项不符合题意；

故答案为：C．

【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定逐项判定即可。

3．（2023八上·文登期末）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．添加一个条件，使四边形AEBD是菱形，这个条件是（）

A．B．

C．D．DE平分

【答案】D

【知识点】菱形的判定

【解析】【解答】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAB=∠EBA，

∵点F是AB的中点，

∴AF=BF，

∵∠AFD=∠BFE，

∴△ADF≌△BEF，

∴AD=BE，

∵AD∥BE，

∴四边形AEBD是平行四边形，

A、当时，得到AB=BD，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；

B、AB=BE时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；

C、DF=EF时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；

D、当DE平分时，四边形AEBD是菱形，故该选项符合题意；

故答案为：D．

【分析】先证明△ADF≌△BEF，得到AD=BE，推出四边形AEBD是平行四边形，再逐项分析即可。

4．（2023八上·黄陂开学考）两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，AB=AF，AE=BC.若AB=1，BC=3，则图中重叠（阴影）部分的面积为（）.

A．2B．C．D．

【答案】C

【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质

【解析】【解答】设BC交AE于G，AD交CF于H，如图所示：

∵四边形ABCD、四边形AECF是全等的矩形，

∴AB=CE，∠B=∠E=90°，AD∥BC，AE∥CF，

∴四边形AGCH是平行四边形，

在△ABG和△CEG中，

，

∴△ABG≌△CEG（AAS），

∴AG=CG，

∴四边形AGCH是菱形，

设AG=CG=x，则BG=BC-CG=3-x，

在Rt△ABG中，由勾股定理得：12+(3-x)2=x2，

解得：x=，

∴CG=，

∴菱形AGCH的面积=CGAB=，

即图中重叠（阴影）部分的面积为.

故答案为：C.

【分析】证得四边形AGCH是平行四边形，由△ABG≌△CEG（AAS），证得四边形AGCH是菱形，设AG=CG=x，则BG=BC-CG=3-x，在Rt△ABG中，由勾股定理得出方程，解方程求得CG的长，即可求出菱形AGCH的面积.

5．（2023八下·防城港期末）某班同学在“为抗疫英雄祈福”的主题班会课上制作象征“平安归来”的黄丝带，如图所示，丝带重叠部分形成的图形是（）

A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形

【答案】B

【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定

【解析】【解答】解：过点A作于E，于F，如图，

两条彩带宽度相同，

，，.

四边形是平行四边形.

.

又.

，

四边形是菱形.

故答案为：.

【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形.

6．（2023八下·大化期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AB＝4，BC＝3，则四边形CODE的周长是（）

A．5B．8C．10D．12

【答案】C

【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质

【解析】【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC，

∴四边形CODE是平行四边形，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝BD，OB＝OD，OC＝OA，∠ABC＝90°

∴OC＝OD，

∴四边形CODE是菱形

∵AB＝4，BC＝3

∴OC＝

∴四边形CODE的周长＝4×＝10

故答案为：C.

【分析】由矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，易证得四边形CODE是菱形，又由AB＝4，BC＝3，可求得AC的长，继而求得OC的长，则可求得答案.

7．（2023八下·洛宁期末）如图，在ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF＝12，AB＝10，则AE的长为()

A．16B．15C．14D．13

【答案】A

【知识点】角平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的性质

【解析】【解答】连结EF，AE与BF交于点O，如图，

∵AO平分∠BAD，

∴∠1=∠2，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AF∥BE，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴AB=EB，

同理：AF=BE，

又∵AF∥BE，

∴四边形ABEF是平行四边形，

∴四边形ABEF是菱形，

∴AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，

在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA==8，

∴AE=2OA=16.

故答案为：A.

【分析】首先证明四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长.

8．（2023八下·醴陵期末）如图，在ABCD中，DE，BF分别是∠ADC和∠ABC的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形BFDE为菱形的是（）

A．∠A=60B．DE=DF

C．EF⊥BDD．BD是∠EDF的平分线

【答案】A

【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定

【解析】【解答】由题意知：四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ADC=∠ABC，∠A=∠C，AD=BC，AB=CD，ABCD

又∵DE，BF分别是∠ADC和∠ABC的平分线，

∴∠ADE=∠FBC，

在△ADE和△CBF中

∴△ADE≌△CBF（ASA）

∴AE=CF，DE=BF

又∵AB=CD，ABCD，AE=CF

∴DF=BE，DFBE、

∴四边形BFDE是平行四边形．

A、∵AB//CD，

∴∠AED=∠EDC，

又∵∠ADE=∠EDC，

∴∠ADE=∠AED，

∴AD=AE，

又∵∠A=60°，

∴△ADE是等边三角形，

∴AD=AE=DE，

无法判断平行四边形BFDE是菱形．

B、∵DE=DF，

∴平行四边形BFDE是菱形．

C、∵EF⊥BD，

∴平行四边形BFDE是菱形．

D、∵BD是∠EDF的平分线，

∴∠EDB=∠FDB，

又∵DF//BE，

∴∠FDB=∠EBD，

∴∠EDB=∠EBD，

∴ED=DB，

∴平行四边形BFDE是菱形．

故答案为：A．

【分析】先证明四边形BFDE是平行四边形，再根据菱形的判定定理逐项进行分析判断即可．

9．（2023八下·原州期末）如图，某同学作线段AB的垂直平分线：分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，D，则直线CD为线段AB的垂直平分线.根据这个同学的作图方法可知四边形ADBC一定是（）

A．菱形B．平行四边形

C．矩形D．一般的四边形

【答案】A

【知识点】菱形的判定

【解析】【解答】解：∵分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，

∴AC=AD=BD=BC，

∴四边形ADBC一定是菱形，

故答案为：A.

【分析】根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形.

10．（2023八下·曲阜期末）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论错误的是（）

A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形

C．当时，它是矩形D．当时，它是菱形

【答案】D

【知识点】菱形的判定；矩形的判定

【解析】【解答】A、当AB＝BC时，平行四边形ABCD为菱形，A选项不符合题意；

B、当AC⊥BD时，平行四边形ABCD为菱形，B选项不符合题意；

C、当∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD为矩形，故C选项不符合题意；

D、当AC＝BD时，平行四边形ABCD为矩形，故D选项符合题意．

故答案为：D．

【分析】根据矩形、菱形、正方形的的判定方法判断即可．

二、填空题

11．（2023八下·北京期中）如图，在□ABCD中，以点A为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交边AD、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线AP交边CD于点E，过点E作EF∥AD交AB于点F．若AB=5，CE=2，则四边形ADEF的周长为．

【答案】12

【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质

【解析】【解答】∵□ABCD

∴AD∥BC，AB∥CD

∴DE∥AF，∠AED=∠BAE

∵EF∥AD

∴四边形ADEF是平行四边形

∵AE平分∠BAD

∴∠DAE=∠BAE

∴∠AED=∠DAE

∴AD=DE

∴四边形ADEF是菱形

∵AB=5，CE=2，

∴DE=CD-CE=AB-CE=5-2=3

∴四边形ADEF的周长为3×4=12

故答案为：12.

【分析】首先判定四边形ADEF是平行四边形，然后根据角平分线的性质得出AD=DE，进而判定四边形ADEF是菱形，即可求出其周长.

12．（2023八下·江都期中）如图，小华剪了两条宽为3的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为60°，则它们重叠部分的面积为.

【答案】6

【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的判定与性质

【解析】【解答】过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，

根据题意得：AD∥BC，AB∥CD，BE＝BF＝3，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵∠ABC＝∠ADC＝60°，

∴∠ABE＝∠CBF＝30°，

∴AB＝2AE，BC＝2CF，

∵AB2＝AE2+BE2，

∴AB＝2，

同理：BC＝2，

∴AB＝BC，

∴四边形ABCD是菱形，

∴AD＝2，

∴S菱形ABCD＝ADBE＝6.

故答案为：6.

【分析】首先过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，由题意可得四边形ABCD是平行四边形，继而求得AB＝BC的长，判定四边形ABCD是菱形，则可求得答案.

13．（2023八下·丰县月考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC与BD互相垂直且平分，BD＝10，AC＝24，则四边形周长为，面积为.

【答案】52；120

【知识点】菱形的判定与性质

【解析】【解答】∵AC与BD互相垂直且平分，BD＝10，AC＝24，

∴四边形ABCD是菱形，OD=5，OA=12

∴

∴四边形的周长为AD×4=13×4=52

面积为；

故答案为52，120.

【分析】根据AC与BD互相垂直且平分，BD＝10，AC＝24可知四边形ABCD是菱形，从而可求答案.

14．（2023八下·寿县期末）如图，在ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=8，AB=5，则AE的长为．

【答案】6

【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质

【解析】【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，

∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AF，

∴四边形ABEF是菱形，

∴AE⊥BF，OB=BF=4，OA=AE．

∵AB=5，

在Rt△AOB中，AO==3，

∴AE=2AO=6．

故答案为：6．

【分析】由基本作图得到AB=AF，AG平分∠BAD，故可得出四边形ABEF是菱形，由菱形的性质可知AE⊥BF，故可得出OB的长，再由勾股定理即可得出OA的长，进而得出结论．

三、解答题

15．（2023八下·永春期末）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=13，AC=24，BD=10．求证：四边形ABCD是菱形．

【答案】解：四边形ABCD是平行四边形，，

，

在中，，

，

是直角三角形，且，

，

四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．

【知识点】菱形的判定

【解析】【分析】先根据平行四边形的性质可得，再根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，从而可得，然后根据菱形的判定即可得证．

16．（2023八下·八步期末）已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，DF∥AB.求证：四边形AEDF是菱形.

【答案】解：∵DE∥AC，DF∥AB，

∴四边形AEDF是平行四边形，

∵AD平分∠BAC，

∴∠1=∠2（角平分线的定义），

∵DE∥AC，

∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等），

∴∠1=∠3（等量代换），

∴AE=DE，

∴平行四边形AEDF是菱形.

【知识点】菱形的判定

【解析】【分析】先证明四边形AEDF是平行四边形，再根据角平分线的定义求出∠1=∠2，根据两直线平行，内错角相等求出∠2=∠3，然后求出∠1=∠3，根据等角对等边的性质可得AE=DE，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形判定.

17．（2023八下·定兴期末）老师布置了一个作业，如下：

已知：如图1的对角线的垂直平分线交于点，交于点，交于点．求证：四边形是菱形．

嘉琪同学写出了如图2所示的证明过程，老师说嘉琪同学的作业是错误的．请你解答下列问题：

（1）能找出该同学错误的原因吗？请你指出来；

（2）请你给出本题的符合题意证明过程．

【答案】（1）解：能；嘉琪同学错在和并不是互相平分的，垂直平分，

但未证明垂直平分，需要通过证明得出

（2）证明：∵四边形是平行四边形，

∴．

∴．

∵是的垂直平分线，

∴．

∵∠AOF=∠EOC．

∴．

∴．

∴四边形AECF是平行四边形．

∵垂直平分．

∴与互相垂直平分．

∴四边形是菱形

【知识点】菱形的判定

【解析】【分析】（1）题目中只说对角线的垂直平分线是，所以，只能得到EF垂直平分AC，并不能得到AC是平分EF的，所以不