2021年北京市高考数学模拟试卷（附答案详解）

2021年北京市高考数学模拟试卷

单选题（本大题共9小题，共36.0分）

（2021♦北京市•模拟题）已知集合4={xeN\x>1},B={x\xW3},则4巾B=（）

A.{x|l<x<3}B.{2,3}C.{x|l<x<3}D.{2}

（2021•北京市・模拟题）已知复平面坐标系第三象限内的点Z对应的复数为z=a-3

且|z|=2,则实数a的值为（）

A.1B.—1C.V3D.—V3

（2021•北京市・模拟题）下列函数中，既是奇函数，又满足值域为R的是（）

A.y=：B.y=x+：C.y=x-：D.y=sinx

（2021.北京市.模拟题）已知三棱锥A8CC的四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分

别为4（2,0,0）,8（2,1,0）,C（0,2,0）,0（0,1,2）,则该三棱锥的体积为（）

1248

---D-

A.3333

（2021.北京市•模拟题）在（2x-5）5的展开式中，x的系数是（）

A.10B.-10C.40D.-40

（2021•北京市•模拟题）已知角a的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边与

单位圆交于第二象限的点P,且点尸的纵坐标为a则sing-a）=（）

A.iB.C.苧

（2021.安徽省合肥市・期末考试）如图，每个小正方格的边

长都是1,AD=XAB+nAC（A,fiER）>贝必•〃的值为

（）

A.1

（2021•北京市•模拟题）已知等差数列{aj的前n项和记为%,即+2a2+a3=54+4,

则“为<1”是“{Sn}为单调数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9.（202L北京市・模拟题）已知点/>6｛。,、）|。+2）2+3—77）2=2｝,点。€

n+1

｛（n,an）|an=（-l）-,nG/V*｝,则诃•丽的最大值为（）

A.9B.8C.7D.6

二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）

10.（2021•北京市•模拟题）已知双曲线好一=1的一个焦点与抛物线8%+必=o的焦

m

点重合，则该双曲线的离心率为.

11.（2021•北京市•模拟题）已知等比数列5｝中，a2=或0=-4,则公比q=,

数列｛W｝的前〃项和为.

12.（2021♦北京市•模拟题）已知函数f（x）=若8,0）,使得f（xo）+

（9尢<u

/（-&）=0成立，请写出一个符合条件的函数g（x）的表达式.

13.（2021•北京市・模拟题）魏晋南北朝（公元220-581）时期，中国数学在测量学取得了

长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测，测量

山高水深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步，超越西方约一千年，

关于重差术的注文在唐代成书，因其第一题为测量海岛的高度和距离（图1）,故题

为您岛算经》受此题启发，小清同学依照此法测量奥林匹克公园奥林匹克塔的高

度和距离（示意图如图2所示），录得以下是数据（单位：米）：前表却行DG=1,表

高CD=EF=2,后表却行FH=3,表间。F=244.则塔高力B=米，前表

去塔远近BD=米.

14.（2021•北京市・模拟题）关于任意平面向量可实施以下6种变换，包括2种v变换和4

种w变换

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v1：模变为原来的9倍，同时逆时针旋转90。；

v2：模变为原来的：倍，同时顺时针旋转90。；

wi：模变为原来的近倍，同时逆时针旋转45。；

w2：模变为原来的四倍，同时顺时针旋转45。：

u/3：模变为原来的/倍，同时逆时针旋转135。；

模变为原来的鱼倍，同时顺时针旋转135。

记集合S=W2，W3，W4｝，若每次从集合S中随机抽取一种变换，每次抽取

彼此相互独立，经过〃次抽取，依次将第i次抽取的变换记为由。=0,1,2,…，n),

即可得到一个"维有序变换序列，记为%…,即)，则以下判断中正确的序号

是.

①单位向量7=(1,0)经过奇数次V变换后所得向量与向量方=(0,1)同向的概率为点

②单位向量：=(1,0)经过偶数次W变换后所得向量与向量石=(1,1)同向的概率为点

③若单位向量；=(1,0)经过变换后得到向量丁=(-1,0)，则中有且只有2个V

变换；

④单位向量；=(1,0)经过变换后得到向量3=(-1,0)的概率为攀.

三、解答题(本大题共6小题，共85.0分)

15.(2021•北京市•模拟题)已知△力BC中，点。是边8c的中点，

cosB=尊，AD=4近,•/\

从①乙BAD=&②BD=7,这二个条件中任选一个，B'-------D------"

补充在上面问题中并作答.

(1)求sin乙4OC；

(2)求AZBC的面积・

16.(2021•北京市・模拟题)如图，在四棱锥P-ABCD中，

底面ABCO是边长为2的正方形,△PAB为正三角形,

且侧面P4B1底面ABC。，M为尸。的中点.

(1)求证：PB〃平面ACM；

(2)求直线与平面PAO所成角的正弦值;

(3)求二面角C一P力一。的余弦值.

17.(2021•北京市♦模拟题)第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京市和张家

口举行.为了调查学生对冬奥会知识的了解情况，某校对高一、高二年级全体学生

进行了相关知识测试，然后从高一、高二各随机抽取了20名学生成绩(百分制)，

并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析.下面给出了整理的相关信息：

高一年级成绩分布表

成绩(分数)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

人数123410

(1)从高一和高二样本中各抽取一人，这两个人成绩都不低于90分的概率是多少？

(2)分别从高一全体学生中抽取一人，从高二全体学生中抽取2人，这三人中成绩

不低于90分的人数记为X,用频率估计概率，求X的分布列和期望？

(3)若按照得分从高到底分为A、B、C,。、E,学校为提高对冬奥会知识的了解情

况需要在高一或高二进行一场讲座，假设讲座能够使学生成绩普遍提高一个级别，

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那么若要想高一和高二学生的平均分尽可能的高，需要在高一讲座还是高二讲座?

18.(2021•北京市•模拟题)已知函数/'(x)=ex-x2-2ax-l(aeR).

(1)若a=0,求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)若a=求证：当x£(0,1)时，/(x)<0；

(3)若对任意的实数xe(0,+oo),/(%)>0恒成立，求a的最大值.

19.(2021.北京市.模拟题)已知椭圆C：各，=l(a>b>0)焦距为2,一条连接椭圆

的两个顶点的直线斜率为它.

2

(1)求楠圆C的方程；

(2)过椭圆C右焦点尸且不与x轴重合的直线与椭圆C相交于A,B两点,试问x

轴上是否存在点P,使得直线AP,PB斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及

点P的坐标：若不存在，说明理由.

20.(2021.北京市.模拟题)已知无穷数列｛斯｝，若存在常数meR,满足：

①对于也八｝中的任意两项a”ay(i>;),在｛5｝中都存在一项耿，使得以=mat-aj；

②对于｛an｝中的任意一项以(卜23),在｛册｝中都存在两项由，a7(i>；),使得以=

mat—ay；

则称数列｛an｝为0数列，机称为该0数列的特征值.

(1)数列｛/｝：a,b,b,b,其中b#0,判断｛aj是否为0数列,若是。数列，

求出该数列的特征值，若不是，请说明理由；

(2)数列｛斯｝是特征值为3的0数列，且0<的<a?，判断是否存在76R，满足VnG

N*,an<T,并请说明理由；

(3)数列｛an｝单调，且是特征值为2的0数列，求证：数列｛a,J为等差数列.

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答案和解析

1.【答案】B

【知识点】交集及其运算

【解析】解：因为集合4={x€N|x>1},B=(x\x<3},

则4n8={2,3}.

故选：B.

利用集合交集的定义求解即可.

本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义,

属于基础题.

2.【答案】D

【知识点】复数的四则运算

【解析】解：因为复平面坐标系第三象限内的点Z对应的复数为z=a-i,

则a<0,

又|z|=2,则a2+1=4,

解得a=-V3.

故选：D.

利用复数对应的点在第三象限，得到a<0,然后利用模的定义，求解〃即可.

本题考查了复数几何意义的运用以及复数模的计算公式的运用，考查了运算能力，属于

基础题.

3.【答案】C

【知识点】函数的奇偶性

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，y=?是奇函数，但值域为卜氏K0},不符合题意；

对于5,y=x+%是奇函数，但其值域为{X|x22或xW-2},不符合题意；

对于C,y=x-p是奇函数，其值域为R,符合题意；

对于力，y=Sinx,是正弦函数，其值域为[一1,1],不符合题意.

故选：C.

根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和值域，综合可得答案.

本题考查函数奇偶性的判断，涉及函数值域的计算，属于基础题.

4.【答案】C

【知识点】圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积

【解析】解：由题意，可知几何体是三棱锥，如图：

三棱锥的体积为：ix(^x2-ixlx2)x2=i

故选：C.

画出图形，结合已知条件求解几何体的体积即可.

本题考查空间几何体的体积的求法，空间空间想象

能力，转化思想以及计算能力，是中档题.

5.【答案】D

【知识点】二项式定理

【解析】解：(2%-5广的展开式中，通项公式为7；+i=C.25-r.(_l)r.x5+，

令5-?=1,求得r=3,可得x的系数为一它•2?=-40,

故选：D.

在二项展开式的通项公式中，令x的累指数等于1,求出r的值，即可求得x的系数.

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题.

6.【答案】D

【知识点】任意角的三角函数

【解析】解：因为角a的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于

第二象限的点P,且点P的纵坐标为也

所以sina=cosa——V1—sin2a=——

22

所以sing—a)=cosa=一苧.

故选：

由任意角的三角函数的定义，诱导公式即可求解.

本题主要考查了任意角的三角函数的定义，诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基

础题.

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7.【答案】C

【知识点】平面向量的基本定理及其应用

【解析】解：由图知前=：0，

•.4D=AB+BD=AB+=AB+彳(4B-AQ=^AB-次,

•*AD=AAB4"p.AC>

故选：C.

由图知前=2而，再利用向量的线性运算法则得到而=1荏后而，最后由向量相对

得到九〃即可.

本题考查了平面向量的线性运算法则，平面向量基本定理，属于基础题.

8.【答案】A

【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断

【解析】解：・・・｛an｝为等差数列,即+2a2+@3=54+4,

-%4-2(%+d)+a1+2d=4al+6d+4,:.d=—2,

2

・•・Sn=nar+"7)x(—2)=—n+(ax4-l)n,

+

①当时，/=3V1,nENf

2

・•・Sn=-n4-(a1+1)几单调递减，

②若Sn=-n2+(%+l)n单调递减，则一/=^i<l,

:.Qi41,

•••%<1是｛S"为单调数列的充分不必要条件，

故选：A.

根据等差数列通项公式，求和公式和性质以及充分必要条件的定义判断即可.

本题考查了充分必要条件，考查等差数列的公式和性质，属于基础题.

9.【答案】A

【知识点】向量的数量积

【解析】解：根据题意，设点P(—2+或cos仇夕+VIsin。)，Q(n,(-l)n+1-

则有前=(-2+V2cos0,V7+V2sin6)，OQ=(n,(-l)n+1

则有赤•OQ=(-2+y/2cos9)-n+(V7+Vicos。)■(-l)n+1-g，

又因为neN*,

所以只有当〃为奇数时，(―1尸+1=1,且若使它取得最大值，则需使n=l,

71

则有当n=1时，OP0Q=-2+V2cos6+V7x(V7+V2sin6)=-2+\[2cos9+7+

y/14sin9=5+4(乎cos。+誉sin。)，

此时令sing=中,cos/?q，

则有丽-OQ=5+4sin(6»+0)，

故可得，当sin(0+S)=1时，诃•丽取得最大值为5+4=9.

故选：A.

根据题意，可得点P位于圆上，因此可以设出点P的参数坐标，然后利用向量数量积的

坐标运算进行求解，从而判定数量积的最大值.

本题主要考查圆的参数方程的使用，以及向量数量积和辅助角公式的使用，属于中档题.

10.【答案】2

【知识点】抛物线的性质及几何意义、双曲线的性质及几何意义

【解析】解：抛物线8x+y2=0的焦点(_2,0),双曲线/一片=i的一个焦点与抛物线

m

8x+y2=0的焦点重合，

可得双曲线的半焦距为c=2,又a=l,所以双曲线的离心率为：e=£=2.

a

故答案为：2.

求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，然后求解双曲线的离心率即可.

本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，抛物线的简单性质的应用，是基础

题.

11.【答案】-近2n-l

【知识点】等比数列的求和

【解析】解：等比数列｛&J中，a2=V2,。5=-4，

则卜”或，

=一4

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解得公比q=—V2,%=-1,

n-1

:.0n=-1x(V2),

:.an=2nt,

•••数列｛W｝的前〃项和为：S=工中=2"-l.

n1—2

故答案为：2n-l.

利用等比数列通项公式列方程组，能求出公比q=—a，%=-1,从而an=-lx

(伪f进而成=2“T,由此能求出数列｛a。的前〃项和.

本题考查等比数列的公比、前〃项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运

算求解能力等数学核心素养，是基础题.

12.1答案］g(x)=x+1

【知识点】函数的解析式

【解析】解：根据=0,g(-l)=0,•・.可写出一个符合条件的函数g(x)=x+1.

故答案为：g(x)=x+l.

通过沏=-1，g(-l)=，nl=0,可写出一个符合条件的函数.

本题考查函数解析式求法，考查数学运算能力及直观想象能力.

13.【答案】246122

【知识点】解三角形的实际应用

【解析】解：根据题意，,=*="2=筋，需=落=|=薪篙，

o

•••2(BD+1)=-(BD+247),解得BD=122(米)，

•••AB=2x(122+1)=246(米).

故答案为：246,122.

可看出△CDGSAABG,4EFHFABH,从而可得出黑=2,篇*=；这样即可求

出BO和AB的值.

本题考查了相似三角形的对应边的比例关系，考查了计算能力，属于中档题.

14.【答案】①②③

［知识点】函数.y=Asin(a)x+(p)的图象与性质

【解析】解：对于①，单位向量7=(i,o)经过奇数次丫变换后，情况如下：

(1)最终状态为逆时针旋转90。，此时单位向量f=(1,0)与向量日=(0,1)同向；

(2)最终状态为顺时针旋转90。，此时单位向量£=(1,0)与向量日=(0,1)逆向；

所以单位向量；=(1,0)经过奇数次V变换后，所得向量与向量为=(0,1)同向的概率为去

故选项①正确；

对于②，单位向量：=(1,0)经过偶数次w变换后，情况如下：

(1)最终状态为逆时针旋转90。，与向量石=(1,1)不同向；

(2)最终状态为顺时针旋转90。，与向量石=(1,1)不同向；

(3)最终状态为逆时针旋转45。，与向量方=(1,1)同向；

(4)最终状态为顺时针旋转945,与向量加=(1,1)不同向.

所以单位向量1=(1,0)经过偶数次卬变换后所得向量与向量(1,1)同向的概率为3

故选项②正确；

对于③，单位向量：=(1,0)经过G6变换后得到向量］=(-1,0).

由于；=(1,0)与j=(一1,0)属于逆向关系，即都是单位向量，

经过G6变换后要保证模长不变，因此只能有2个v变换和4个卬变换，

故选项③正确；

对于④，单位向量：=(1,0)经过G6变换后得到向量了=(-1,0).

经过变换后要保证模长不变，因此只能有2个v变换和4个w变换，

并且经过G6变换后最终要得到单位向量；=(1,0)逆时针旋转180。，

所以其中4次变换要回到单位向量：=(1,0),

由③可知，单位向量：=(1,0)经过G6变换后得到向量j=(-1,0)，

G6中有且只有2个2个v变换，满足题意的这2个2个丫变换的情况有：

(1)%两次变换；

(2)外两次变换；

(3)%和%各一次变换.

据此讨论这3种情况下的w变换，

故选项④错误.

故答案为：①②③.

分别对4个选项进行分类讨论，根据讨论结果判断正确或错误即可.

本题考查了平面向量的变换，概率的理解与应用，解题的关键在于根据题意，分类讨论

各种成立的情况，属于难题.

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15.【答案】解：选择①：

(1)因为在△力BC中，cosB二尊,

所以0<8<a

可得sinB=V1—cos2B=—.

7

所以sinzJlDC=sin^Z.BAD+乙B)=sinZ-BAD•cos乙B+cosZ.BAD-sinz.B=1x手+

Vs2a3VH

—X—=------.

2714

(2)在△ABC中，由正弦定理:

s\nz.BADsinzH

ADxs\nz.BAD4,V?x1

得BD=

所以SAABC=2sAA"=2x^xADxDCXsin^ADC=4«x7x奢=4273.

选择②

(1)在△ABC中，由正弦定理一脸；=」，，

'/sinz.BADsinzB

得sin血0=吧则三=号"

AD4772

因>BD,

所以0</.BAD<ZB<|,

所以/BAD=£

所以sinZJlOC=sin(Z.BAD+4B)=sinz.BAD-cosz.8+cosz.BAD-sinzB=1x吁+

(2)SAABC=2S&ADC=2x^xADxDCxsin/.ADC=4夕x7x誓=42^3.

【知识点】正弦定理

【解析】选择①：

(1)由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin8的值，进而根据两角和的正弦公式即

可求解.

(2)在△力BC中，由正弦定理可得8。，进而根据三角形的面积公式即可求解.

选择②

(1)在A/IBC中，由正弦定理可求sin/B4D,进而可求NBA0的值，根据两角和的正弦公

式即可求解.

(2)利用三角形的面积公式即可求解.

本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦公式，正弦定理，三角形的面

积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

16.【答案】(1)证明：连接BD,与AC交于。，在APBO中，

v0,M分别为BO,PO的中点，BP〃OM,

•••BP,平面ADE,OMu平面CAM,

BP〃平面CAM.

(2)取AB的中点E,•••△P4B为正三角形，E是A8的中点，PE14B.

又•••面PABJ■底面ABC£>,ABC。是正方形，

PEJL平面ABCD.

过E作EF平行于CB与CD交于F.

以E为原点，分别以E2,EF,EP为x,y,z轴，

建立空间直角坐标系E-xyz,

则E(0,0,0),B(l,0,0),4(一1,0,0),

P(0,0,V3),C(l,2,0),D(-l,2,0).M(-1,1岁,

■■PA=(-1,0,一6),同=(0,2,0),丽=(一|,1,4)，

设平面PAD的法向量为ri=(%,y,z),则，令z=1.则％=—旧，得元=(―8,0,1).

设直线8M与平面幺。所成角的正弦值为明

•••sina=Icos伍，询〉|=疆=言=今

即直线与平面PAO所成角的正弦值勺.

2

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(3)由(2)可知方=(2,2,0).设平面PAC的法向量为沅=(xi.ypZi),

(m-AC~2x+2y=0*.厂(一

则，一_,xx.令Zi=1.则mil/=-V3,yi=V3.

{m-PA=—xr—v3z1=0

rn=(-73,73,1).

l一nm2-77

1，-cos<n-7nn>=^=—

由题知，二面角c-PA-。为锐二面角，

.•・二面角C-24—。的余弦值为竺.

7

【知识点】利用空间向量求线线、线面和面面的夹角

【解析】(1)连接B。，与AC交于0,证明BP〃OM,然后证明BP〃平面CAM.

(2)过E作所平行于CB与C。交于尸.以E为原点，分别以E8,EF,EP为x,y,z轴，

建立空间直角坐标系E-xyz,求出平面尸AD的法向量，利用空间向量的数量积求解直

线8M与平面PAD所成角的正弦值即可.

(3)求出平面P4C的法向量利用空间向量的数量积求解二面角C-PA-。的余弦值即可.

本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，二面角的平面

角的求法，是中档题.

17.【答案】解：(1)设从高一样本中抽取一人成绩不低于90分为事件A,从高二抽取一

人成绩不低于90分为事件B：

两人成绩都不低于90分的概率为：PG4)P(B)=啜x0.025x10=

ZUo

(2)由题意可知从高一年级中抽取一人此人成绩不低于90分的概率为会从高二年级中

抽取一人此

人成绩不低于90分的概率为;；X的可取值为0,1,2,3,

4

P(X=0)=(l-1)x(l-i)2=^

P(X=l)=ix(1-^+(l-l)Cixlx(l-l)=l|)

P(X=2)=：x6x；x#(l—河)2=*

P(X=3)=NG)2=M

X的分布列如下表

所以以X)=0xV+lxH+2x5+3x2=1.

(3)需要在高二讲座.

【知识点】离散型随机变量的期望与方差、离散型随机变量及其分布列

【解析】(1)设从高一样本中抽取一人成绩不低于90分为事件A,从高二抽取一人成绩

不低于90分为事件B；然后求解概率即可.

(2)X的可取值为0,1,2,3,求出概率，得到分布列，然后求解期望.

(3)利用已知条件判断讲座所在位置.

本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查分析问题解决问题的能力，是

中档题.

18.【答案】解：(1)当a=0时，/(x)=ex-x2-l,

则1(x)=-2x,<(0)=1,又f(0)=0,

二切线方程为y=%；

(2)证明：(证法1)当a=［时，/(x)=ex-x2-x-1,

当XG(0,1)时，/(X)<0=〃</+%+1=1<

设9(x)=胃11/€(0,1).

则g'(x)=3+】)U『+i)e、=蓼

当0<x<1时，g'(x)>0,g(x)单调递增，注意到g(0)=1,

.•.当xG(0,1)时，g(x)>g(0)=1,结论成立.

二当x6(0,1)时，/(x)<0；

(证法2)当Q=3时，f(x)=ex-x2-x—1,xe(0,1).

则/'(x)=ez—2x—1,f"(x)=ex-2；

令/〃(x)=0,解得x=，n2.

当0<x<ln2,f"(x)<0；当，n2<x<1时，f"(x)>0.

故x=ln2是/'(x)的极小值点,f'(ln2)=eln2-2ln2-1=1-2ln2<0.

注意到f'(0)=0,/'(l)=e-3<0.

.•.当xe(0,l),f(x)<0,同时〃0)=0；

二当％e(0,1),y(x)<o；

(3)由(2)可知，当a2g时，e"—7—2a%—1We*—/—%—i<。在。<%<1上恒

成立;

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・,・当a>［时，/(x)>0不可能恒成立，Q<5

Vx6(0,4-oo),ex—x2—2ax—1>0

等价于蜻>x2+2ax+1等价于1>立誓；

ex

设9(乃=立等±1(》>0),

g|.i_(2x+2a)ex-(x2+2ax+l)ex_-x2+(2-2a)x+(2a-l)

人jg=(e/)2=>

令g'(x)=0，解得=1-2a,x2=1.

由于题目探寻a的最大值，我们先来研究0<a<3的情形:

当x变化时，g'(x)与g(x)的变化情况如下表所示:

X(0,1-2a)1-2a(l-2a,l)1(1,+<»)

九'(%)—0+0—

h(x)极小值T极大值

由于g(o)=L要使g(%)工1恒成立，只需g(l)Wl即可；

：•5(1)=刃色<l=>a<j-l,vj-l>0,Q的最大值不可能在Q<0取到,

・•・对任意的实数％6(0,4-co),/(%)>0恒成立，。的最大值是:一1.

【知识点】函数的最值、不等式的恒成立问题

【解析】(1)对函数/(%)求导，求出切线的斜率，再得到切线的方程；

(2)证法1：利用“%)V0=靖<产+%+1=1<应泸，证明g(x)=次泸>1即

可；

证法2：直接求出f(x)=e"--一工一1的单调性，再证明f(%)v0；

(3)先由(2),判断出a<3将/(x)20转化为12立等，得到awg-l,再得到a

的最大值.

本题考查了函数恒成立的问题，利用导数研究函数的切线方程，利用导数求函数最值的

问题，计算量较大，是中档题.

(2c=2

19.【答案】解：⑴由题意易知：］”苧，解得：a=2,b=遮，

(Q2=ft24-C2

椭圆c方程为：立+尤=1.

43

(2)由(1)知糊圆C右焦点F坐标为(1,0),

设直线AB：x=my4-1,A(x1,y1),B(x2,y2^P(n,O),

由+4?121]2'得(3m2+4)y2+6my-9=0；

显然△>(),且%+刈=一焉,为力=一七,

止匕时々P/kpB=----------=--------------四2---------------

PAPB

心口」%1-nx2-n(myx+l-njCmyz+l-n)

=________________71y2________________

2

M2yly2+(1—n)m(yx+y2)4-(1-n)

9

=______________一3-2+4______________

_3nJ+4—(1-n)m+(1-n)2

_9

9m2+6m2(l—n)—(1—n)2(3m2+4)

____________9__________

3m2(4-n2)-4(l-n)2'

由上式知：无论相取何值，当污=4,

即n=±2时，々p.kpB是一个与相无关的定值，

91

=;

当n=-2时，kPAkPB=3m2(4-M)-4(IF)2~4

99

当71=21时，kpAkpB=3m2(4-n2)-4(l-n)2=~4

综上，存在定点，当定点为P(-2,0)时，直线AP,PB斜率之积部/PB=-$

当定点为P(2,0)时，直线AP,PB斜率之积kp.kpB=-，

【知识点】直线与椭圆的位置关系、椭圆的概念及标准方程

【解