河南省郑州市高考数二模试卷(理科)

第6页（共55页）2015年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．1．（5分）（2015•郑州二模）设i是虚数单位，复数z=，则|z|=（）A．1 B． C． D．22．（5分）（2015•郑州二模）集合U={0，1，2，3，4}，A={1，2}，B={x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则∁U（A∪B）=（）A．{0，1，3，4} B．{1，2，3} C．{0，4} D．{0}3．（5分）（2015•郑州二模）已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m、n的比值=（）A．1 B． C． D．4．（5分）（2015•郑州二模）某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A．3种 B．6种 C．9种 D．18种5．（5分）（2015•郑州二模）如图，y=f（x）是可导函数，直线L：y=kx+2是曲线y=f（x）在x=3处的切线，令g（x）=xf（x），g′（x）是g（x）的导函数，则g′（3）=（）A．﹣1 B．0 C．2 D．46．（5分）（2015•郑州二模）有四个关于三角函数的命题：p1：sinx=siny⇒x+y=π或x=y；p2：∀x∈R，sin2+cos2=1；p3：x，y∈R，cos（x﹣y）=cosx﹣cosy；p4：∀x∈[0，]，=cosx．其中真命题是（）A．p1，p2 B．p2，p3 C．p1，p4 D．p2，p47．（5分）（2015•郑州二模）若实数x、y满足且z=2x+y的最小值为4，则实数b的值为（）A．1 B．2 C． D．38．（5分）（2015•郑州二模）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A．8π B．16π C．32π D．64π9．（5分）（2015•郑州二模）已知函数f（x）=函数g（x）=f（x）﹣2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，3） B．[﹣3，﹣1] C．[﹣3，3） D．[﹣1，1）10．（5分）（2015•郑州二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin2A，且c=，C=，则△ABC的面积是（）A． B． C． D．或（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），若|x﹣a|﹣f（x）≤+（a＞0）恒成立，求实数a的取值范围．

2015年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．1．（5分）（2015•郑州二模）设i是虚数单位，复数z=，则|z|=（）A．1 B． C． D．2【考点】复数求模．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵z===i（1﹣i）=i+1，则|z|=．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）（2015•郑州二模）集合U={0，1，2，3，4}，A={1，2}，B={x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则∁U（A∪B）=（）A．{0，1，3，4} B．{1，2，3} C．{0，4} D．{0}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】求出集合B中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出B，求出A与B的并集，找出全集中不属于并集的元素，即可求出所求【解答】解：集合B中的不等式x2﹣5x+4＜0，变形得：（x﹣1）（x﹣4）＜0，解得：1＜x＜4，∴B={2，3}，∵A={1，2}，∴A∪B={1，2，3}，∵集合U={0，1，2，3，4}，∴∁∪（A∪B）={0，4}．故选：C．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．3．（5分）（2015•郑州二模）已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m、n的比值=（）A．1 B． C． D．【考点】茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】根据茎叶图，利用中位数相等，求出m的值，再利用平均数相等，求出n的值即可．【解答】解：根据茎叶图，得；乙的中位数是33，∴甲的中位数也是33，即m=3；甲的平均数是=（27+39+33）=33，乙的平均数是=（20+n+32+34+38）=33，∴n=8；∴=．故选：D．【点评】本题考查了中位数与平均数的计算问题，是基础题目．4．（5分）（2015•郑州二模）某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A．3种 B．6种 C．9种 D．18种【考点】计数原理的应用．【专题】排列组合．【分析】两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门；A类选修课选2门，B类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果【解答】解：可分以下2种情况：①A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C21C32种不同的选法；②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C22C31种不同的选法．∴根据分类计数原理知不同的选法共有C21C32+C22C31=6+3=9种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有9种．故选：C【点评】本小题主要考查分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想，属于基础题．5．（5分）（2015•郑州二模）如图，y=f（x）是可导函数，直线L：y=kx+2是曲线y=f（x）在x=3处的切线，令g（x）=xf（x），g′（x）是g（x）的导函数，则g′（3）=（）A．﹣1 B．0 C．2 D．4【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的概念及应用．【分析】先从图中求出切线过的点，再求出直线L的方程，利用导数在切点处的导数值为切线的斜率，最后结合导数的概念求出g′（3）的值．【解答】解：∵直线L：y=kx+2是曲线y=f（x）在x=3处的切线，∴f（3）=1，又点（3，1）在直线L上，∴3k+2=1，从而k=，∴f′（3）=k=，∵g（x）=xf（x），∴g′（x）=f（x）+xf′（x）则g′（3）=f（3）+3f′（3）=1+3×（）=0，故选：B．【点评】本题考查导数的几何意义，曲线在切点处的导数值为曲线的切线的斜率．6．（5分）（2015•郑州二模）有四个关于三角函数的命题：p1：sinx=siny⇒x+y=π或x=y；p2：∀x∈R，sin2+cos2=1；p3：x，y∈R，cos（x﹣y）=cosx﹣cosy；p4：∀x∈[0，]，=cosx．其中真命题是（）A．p1，p2 B．p2，p3 C．p1，p4 D．p2，p4【考点】命题的真假判断与应用．【专题】三角函数的求值；简易逻辑．【分析】根据三角函数的定义及周期性，可判断p1；根据同角三角函数基本关系的平方关系，可判断p2；根据两角差的余弦公式，可判断p3；根据二倍解的余弦公式，及根式的运算性质，可判断p4．【解答】解：p1：若sinx=siny⇒x+y=π+2kπ或x=y+2kπ，k∈Z，故错误；p2：根据同角三角函数基本关系的平方关系，可得：∀x∈R，sin2+cos2=1，故正确；p3：x，y∈R，cos（x﹣y）=cosxcosy+sinxsiny，与cosx﹣cosy不一定相等，故错误；p4：∀x∈[0，]，==|cosx|=cosx，故正确．故选：D．【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，全（特）称命题，三角函数，属于基础题．7．（5分）（2015•郑州二模）若实数x、y满足且z=2x+y的最小值为4，则实数b的值为（）A．1 B．2 C． D．3【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对于的平面区域，根据z=2x+y的最小值为4，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对于的平面区域如图：∵z=2x+y的最小值为4，即2x+y=4，且y=﹣2x+z，则直线y=﹣2x+z的截距最小时，z也取得最小值，则不等式组对应的平面区域在直线y=﹣2x+z的上方，由；，解得，即A（1，2），此时A也在直线y=﹣x+b上，即2=﹣1+b，解得b=3，故选：D【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．8．（5分）（2015•郑州二模）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A．8π B．16π C．32π D．64π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，进而可得该几何体外接球的表面积．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，如图所示：由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形，可得底面外接圆的半径为：r=2，由棱柱高为4，可得球心距为2，故外接球半径为：R==2，故外接球的表面积S=4πR2=32π，故选：C【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．9．（5分）（2015•郑州二模）已知函数f（x）=函数g（x）=f（x）﹣2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，3） B．[﹣3，﹣1] C．[﹣3，3） D．[﹣1，1）【考点】函数零点的判定定理；分段函数的应用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】化简g（x）=f（x）﹣2x=，而方程﹣x+3=0的解为3，方程x2+4x+3=0的解为﹣1，﹣3；从而可得，从而解得．【解答】解：∵f（x）=，∴g（x）=f（x）﹣2x=，而方程﹣x+3=0的解为3，方程x2+4x+3=0的解为﹣1，﹣3；若函数g（x）=f（x）﹣2x恰有三个不同的零点，则，解得，﹣1≤a＜3实数a的取值范围是[﹣1，3）．故选：A．【点评】本题考查了分段函数的化简与函数零点的判断，属于基础题．10．（5分）（2015•郑州二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin2A，且c=，C=，则△ABC的面积是（）A． B． C． D．或【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】解三角形．【分析】依题意，可求得B﹣A=﹣2A，利用两角差的正弦可求得sin（2A﹣）=，又A∈（0，），可求得A=或A=，分类讨论即可求得△ABC的面积【解答】解：∵在△ABC中，C=，∴B=﹣A，B﹣A=﹣2A，∵sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin2A∴sinC+sin（﹣2A）=2sin2A，即sinC+cos2A+sin2A=2sin2A，整理得：sin（2A﹣）=sinC=，∴sin（2A﹣）=，又A∈（0，），∴2A﹣=或2A﹣=，解得A=或A=，当A=时，B=，tanC===，解得a=，∴S△ABC=acsinB=××=；当A=时，B=，同理可得S△ABC=；故选：B【点评】本题主要考查正弦定理、两角和差的正弦、余弦公式，二倍角公式的应用，属于中档题11．（5分）（2015•郑州二模）如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（）A．|BM|是定值B．点M在某个球面上运动C．存在某个位置，使DE⊥A1CD．存在某个位置，使MB∥平面A1DE【考点】平面与平面之间的位置关系．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】取CD中点F，连接MF，BF，则平面MBF∥平面A1DE，可得D正确；由余弦定理可得MB2=MF2+FB2﹣2MF•FB•cos∠MFB，所以MB是定值，M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，可得A，B正确．A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，可得C不正确．【解答】解：取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥DA1，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故D正确由∠A1DE=∠MFB，MF=A1D=定值，FB=DE=定值，由余弦定理可得MB2=MF2+FB2﹣2MF•FB•cos∠MFB，所以MB是定值，故A正确．∵B是定点，∴M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，故B正确，∵A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，∴存在某个位置，使DE⊥A1C不正确．故选：C．【点评】掌握线面、面面平行与垂直的判定和性质定理及线面角、二面角的定义及求法是解题的关键．12．（5分）（2015•郑州二模）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P，Q两点，若|PF1|=|F1F2|，且3|PF2|=2|QF2|，则该双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先作出图形，并作出双曲线的右准线l，设P到l的距离为d，根据双曲线的第二定义即可求出Q到l的距离为．过Q作l的垂线QQ1，而过P作QQ1的垂线PM，交x轴于N，在△PMQ中有，这样即可求得d=，根据已知条件及双曲线的定义可以求出|PF2|=2c﹣2a，所以根据双曲线的第二定义即可得到，进一步可整理成，这样解关于的方程即可．【解答】解：如图，l为该双曲线的右准线，设P到右准线的距离为d；过P作PP1⊥l，QQ1⊥l，分别交l于P1，Q1；∵，3|PF2|=2|QF2|；∴，；过P作PM⊥QQ1，垂直为M，交x轴于N，则：；∴解得d=；∵根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|PF2|=2c﹣2a；∴根据双曲线的第二定义，；整理成：；∴解得（舍去）；即该双曲线的离心率为．故选A．【点评】考查双曲线的第二定义，双曲线的准线方程，双曲线的焦距、焦点的概念，以及对双曲线的定义的运用，双曲线的离心率的概念，相似三角形的比例关系．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2015•郑州二模）已知点A（﹣1，1）、B（0，3）、C（3，4），则向量在方向上的投影为2．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】首先分别求出，的坐标，然后利用向量的数量积公式求投影．【解答】解：由已知得到=（1，2），=（4，3），所以向量在方向上的投影为==2；故答案为：2．【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及利用向量的数量积求向量的投影；属于基础题．14．（5分）（2015•郑州二模）已知实数m是2和8的等比中项，则抛物线y=mx2的焦点坐标为（0，±）．【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由等比中项概念求得m的值，代入抛物线方程，分m=4和m=﹣4求得抛物线的焦点坐标．【解答】解：∵实数m是2和8的等比中项，∴m2=16，m=±4，由y=mx2，得，若m=4，则，即2p=，，焦点坐标为（0，）；若m=﹣4，则，即2p=，，焦点坐标为（0，﹣）．∴抛物线y=mx2的焦点坐标为：（0，±）．故答案为：（0，±）．【点评】本题考查了等比中项的概念，考查了抛物线的简单几何性质，属中档题．15．（5分）（2015•郑州二模）执行如图所示的程序框图，输出的S值是﹣1﹣．【考点】程序框图．【专题】三角函数的求值；算法和程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的是s=cos+cos+cos+cos+cos+…+cos的值，由此求出结果即可．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；n=1，s=0，s=0+cos=；n=2，n≥2015？，否，s=+cos=；n=3，n≥2015？，否，s=+cos=0；n=4，n≥2015？，否，s=0+cosπ=﹣1；n=5，n≥2015？，否，s=﹣1+cos=﹣1﹣；n=6，n≥2015？，否，s=﹣1﹣+cos=﹣1﹣；n=7，n≥2015？，否，s=﹣1﹣+cos=﹣1；n=8，n≥2015？，否，s=﹣1+cos2π=0；n=9，n≥2015？，否，s=0+cos=；…；s的值是随n的变化而改变的，且周期为8，又2015=251×8+7，此时终止循环，∴输出的s值与n=6时相同，为s=﹣1﹣．故答案为：﹣1﹣．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，也考查了余弦函数求值的应用问题，是基础题目．16．（5分）（2015•郑州二模）已知偶函数y=f（x）对于任意的x∈[0，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式中成立的有（2）（3）（4）．（1）f（﹣）＜f（）（2）f（﹣）＞f（﹣）（3）f（0）＜f（﹣）（4）f（）＜f（）【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】运用g′（x）=＞0，构造函数g（x）=是单调递增，且是偶函数，根据奇偶性，单调性比较大小．运用得出f（＞f（），可以分析（1），（2），根据单调性得出g（）＞g（0），g（）＞g（），判断（3）（4）．【解答】解：∵偶函数y=f（x）对于任意的x∈[0，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0∴g（x）=，g′（x）=＞0，∴x∈[0，），g（x）=是单调递增，且是偶函数，∴g（﹣）=g（），g（﹣）=g（），∵g（）＜g（），∴，即f（＞f（），（1）化简得出f（﹣）=f（）＜f（），所以（1）不正确．（2）化简f（﹣）＞f（﹣），得出f（）＞f（），所以（2）正确．又根据g（x）单调性可知：g（）＞g（0），∴＞，∴f（0）＜f（），∵偶函数y=f（x）∴即f（0）＜f（﹣），所以（3）正确．∵根据g（x）单调性可知g（）＞g（），∴，f（）＞f（）．所以（4）正确．故答案为：（2）（3）（4）【点评】本题考查了运用导数判断函数的单调性，结合三角函数，偶函数性质，判断函数值的大小比较，关键根据式子确定是哪个函数值，属于中档题．三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）（2015•郑州二模）已知等差数列{an}的各项均为正数，a1=1，且a3，a4+，a11成等比数列．（Ⅰ）求an的通项公式；（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．【考点】数列的求和；等比数列的性质．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（Ⅰ）由题意知（）2=a3a11，从而可得公差，所以；（Ⅱ）将bn=列项为，求和即得Tn的值．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列公差为d，由题意知d＞0，∵a3，，a11成等比数列，∴（）2=a3a11，∴，即44d2﹣36d﹣45=0，解得或（舍去），所以；（Ⅱ）因为bn===，所以数列{bn}的前n项和Tn==．【点评】本题考查数列的通项公式及求前n项和，解题时要认真审题，仔细解答，采用裂项相消法是解题的关键，属中档题．18．（12分）（2015•郑州二模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为2的菱形，平面ABC⊥平面AA1C1C，∠A1AC=60°，∠BCA=90°．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1；（Ⅱ）已知点E是AB的中点，BC=AC，求直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）首先利用面面垂直转化成线面垂直，进一步得出线线垂直．（Ⅱ）根据两两垂直的关系，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进一步利用向量的夹角余弦公式求出线面的夹角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取AC的中点O，连接A1O，由于平面ABC⊥平面AA1C1C，A1O⊥AC，所以：A1O⊥平面ABC，所以：A1O⊥BC，又BC⊥AC，所以：BC⊥平面A1BC所以：A1B⊥AC1．（Ⅱ）以O为坐标原点建立空间直角坐标系O﹣xyz，A（0，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），C1（0，2，），则：，，设=（x，y，z）是平面ABB1A1的法向量，所以：，求得：，由E（1，0，0）求得：，直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值sinθ=cos=．【点评】本题考查的知识要点：线面垂直与面面垂直与线线垂直之间的转化，空间直角坐标系，法向量的应用，线面的夹角的应用，主要考查学生的空间想象能力．19．（12分）（2015•郑州二模）某商场每天（开始营业时）以每件150元的价格购入A商品若干件（A商品在商场的保鲜时间为10小时，该商场的营业时间也恰好为10小时），并开始以每件300元的价格出售，若前6小时内所购进的商品没有售完，则商店对没卖出的A商品以每件100元的价格低价处理完毕（根据经验，4小时内完全能够把A商品低价处理完毕，且处理完后，当天不再购进A商品）．该商场统计了100天A商品在每天的前6小时内的销售量，制成如下表格（注：视频率为概率）．（其中x+y=70）前6小时内的销售量t（单位：件）456频数30xy（Ⅰ）若某该商场共购入6件该商品，在前6个小时中售出4件．若这些产品被6名不同的顾客购买，现从这6名顾客中随机选2人进行回访，则恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是多少？（Ⅱ）若商场每天在购进5件A商品时所获得的平均利润最大，求x的取值范围．【考点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．【专题】概率与统计．【分析】（1）根据排列组合，可以求出总的事件的个数和满足条件的基本事件的个数，根据概率公式计算即可；（2）设销售A商品获得利润为X，则商店每天购进的A商品的件数取值可能为4件，5件，6件，分别求出其利润，根据题意列出不等式解得即可．【解答】解：（1）恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是A，则P（A）==；（2）设销售A商品获得利润为X，（单位，元），以题意，视频率为概率，为追求更多的利润，则商店每天购进的A商品的件数取值可能为4件，5件，6件，当购进A商品4件时，EX=150×4=600，当购进A商品5件时，EX=（150×4﹣50）×0.3+150×5×0.7=690，当购进A商品6件时，EX=（150×4﹣2×50）×0.3+（150×5﹣50）×+150×6×=780﹣2x，由题意780﹣2x≤690，解得x≥45，又知x≤100﹣30=70，所以x的取值范围为[45，70]．x∈N*．【点评】本题考查了古典概型概率问题，以及数学期望的问题，属于中档题．20．（12分）（2015•郑州二模）设椭圆C：+=1（a＞b＞0），F1、F2为左右焦点，B为短轴端点，且S=4，离心率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，且满足|+|=|﹣|？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．【专题】计算题；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）由题意可得方程=•2c•b=4，e==，且a2=b2+c2；从而联立解出椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆x2+y2=r2，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，则可得•=0；再设M（x1，y1），N（x2，y2），当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为y=kx+m，联立方程组可得x1+x2=﹣，x1x2=；y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=；从而再由x1x2+y1y2=0可得3m2﹣8k2﹣8=0，从而可解得m≥或m≤﹣；从而解出所求圆的方程为x2+y2=；再验证当切线的斜率不存在时也成立即可．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0），由题意可得，=•2c•b=4，e==，且a2=b2+c2；联立解得，；故椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆x2+y2=r2，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，∵|+|=|﹣|，∴•=0；设M（x1，y1），N（x2，y2），当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为y=kx+m，解方程组得，（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，则△=（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0；即8k2﹣m2+4＞0；∴x1+x2=﹣，x1x2=；y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=；要使•=0，故x1x2+y1y2=0；即+=0；所以3m2﹣8k2﹣8=0，所以3m2﹣8≥0且8k2﹣m2+4＞0；解得m≥或m≤﹣；因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r=，r2===；故r=；即所求圆的方程为x2+y2=；此时圆的切线y=kx+m都满足m≥或m≤﹣；而当切线的斜率不存在时切线为x=±与椭圆+=1的两个交点为（，±），（﹣，±）；满足•=0，综上所述，存在圆心在原点的圆x2+y2=满足条件．【点评】本题考查了圆锥曲线的应用，化简很复杂，应用到了根与系数的关系以简化运算，属于难题．21．（12分）（2015•郑州二模）已知函数f（x）=ax+ln（x﹣1），其中a为常数．（Ⅰ）试讨论f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=时，存在x使得不等式|f（x）|﹣≤成立，求b的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）先求函数f（x）的定义域及f′（x）=，再分a≥0时、a＜0时两种情况考虑即可；（Ⅱ）由（I）可得f（x）max=+ln（e﹣1）＜0，令，求出g（x）的单调区间，从而可得g（x）max=g（e）=，所以原不等式成立只需﹣≤，解之即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知易得函数f（x）的定义域为：{x|x＞1}，f′（x）=a+=，当a≥0时，f′（x）＞0在定义域内恒成立，f（x）的单调递增区间为（1，+∞），当a＜0时，由f′（x）=0得x=1﹣，当x∈（1，1﹣）时，f′（x）＞0，当x∈（1﹣，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）的单调递增区间为（1，1﹣），递减区间为（1﹣，+∞）；（Ⅱ）由（I）知当a=时，f（x）的单调增区间为（1，e），减区间为（e，+∞），所以f（x）max=f（e）=+ln（e﹣1）＜0，所以|f（x）|≥﹣f（e）=恒成立，当x=e时取等号．令，则，当1＜x＜e时，g（x）＞0；当x＞e时，g（x）＜0，从而g（x）在区间（1，e）上单调递增，在区间（e，+∞）上单调递减，所以g（x）max=g（e）=，所以，存在x使得不等式|f（x）|﹣≤成立，只需﹣≤，即：b≥﹣2ln（e﹣1）．【点评】本题主要考查函数的单调性及与不等式的综合，比较复杂的函数的单调性，一般用导数来研究，将其转化为函数方程不等式综合问题解决，研究不等式时一定要先确定函数的单调性才能求解．22．（10分）（2015•郑州二模）如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AC•BC=AD•AE；（Ⅱ）若AF=2，CF=2，求AE的长．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】推理和证明．【分析】（I）如图所示，连接BE．由于AE是⊙O的直径，可得∠ABE=90°．利用∠E与∠ACB都是所对的圆周角，可得∠E=∠ACB．进而得到△ABE∽△ADC，即可得到．（II）利用切割线定理可得CF2=AF•BF，可得BF．再利用△AFC∽△CFB，可得AF：FC=AC：BC，进而根据sin∠ACD=sin∠AEB，AE=，即可得出答案．【解答】证明：（I）如图所示，连接BE．∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°．又∠E与∠ACB都是所对的圆周角，∴∠E=∠ACB．∵AD⊥BC，∠ADC=90°．∴△ABE∽△ADC，∴AB：AD=AE：AC，∴AB•AC=AD•AE．又AB=BC，∴BC•AC=AD•AE．解：（II）∵CF是⊙O的切线，∴CF2=AF•BF，∵AF=2，CF=2，∴（2）2=2BF，解得BF=4．∴AB=BF﹣AF=2．∵∠ACF=∠FBC，∠CFB=∠AFC，∴△AFC∽△CFB，∴AF：FC=AC：BC，∴AC==．∴cos∠ACD=，∴sin∠ACD==sin∠AEB，∴AE==【点评】本题考查了圆的性质、三角形相似、切割线定理，属于中档题．23．（2015•郑州二模）在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（α为参数），若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）=t（t为参数）．（Ⅰ）求曲线M和N的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）平方得x2=2cos2α，代入第二个式子化简得出ρsinθ+ρcosθ=t，根据y=ρsinθ，x=ρcosθ，化简得出x+y=t．（2）t=5，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时仍只有一个公共点，联立利用判别式问题求解．【解答】解：（1）由x=，得x2=2cos2α，所以曲线M可化为y=x2﹣1，x∈[﹣2，2]，由ρsin（）=t，得ρsinθρcosθ=t，所以ρsinθ+ρcosθ=t，所以N可化为x+y=t，（2）若曲线N与曲线M有公共点，则当直线N过点（2，3）时，满足要求，此时t=5，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时仍只有一个公共点，联立得x2+x﹣1﹣t=0，△=1+4（1+t）=0，解得t=，综上可得t的取值范围≤t≤5．【点评】本题考查了参数方程的与普通方程的转化问题，曲线的公共点问题，利用方程有解问题，转化为判别式求解，思路简单，属于中档题．24．（2015•郑州二模）已知函数f（x）=|3x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|；（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），若|x﹣a|﹣f（x）≤+（a＞0）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由条件利用基本不等式求得+≥4，结合题意可得|x﹣a|﹣|3x+2|≤4恒成立．令g（x）=|x﹣a|﹣|3x+2|，利用单调性求得它的最大值，再由此最大值小于或等于4，求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|，即|3x+2|+|x﹣1|＜4，∴①，或②，或③．解①求得﹣＜x＜﹣，解②求得﹣≤x＜，解③求得x∈∅．综上可得，不等式的解集为（﹣，）．（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），∴+=（m+n）（+）=2++≥2+2=4，当且仅当m=n=时，取等号．再根据|x﹣a|﹣f（x）≤+（a＞0）恒成立，可得|x﹣a|﹣f（x）≤4，即|x﹣a|﹣|3x+2|≤4．设g（x）=|x﹣a|﹣|3x+2|=，故函数g（x）的最大值为g（﹣）=+a，再由+a≤4，求得0＜a≤．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．

参与本试卷答题和审题的老师有：孙佑中；whgcn；742048；cst；翔宇老师；maths；lgh；刘长柏；wkl197822；changq；sxs123；sdpyqzh；chenzhenji；caoqz（排名不分先后）菁优网2015年11月20日

考点卡片1．交、并、补集的混合运算【知识点的认识】集合交换律A∩B=B∩A，A∪B=B∪A．集合结合律（A∩B）∩C=A∩（B∩C），（A∪B）∪C=A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律Cu（A∩B）=CuA∪CuB，Cu（A∪B）=CuA∩CuB．集合吸收律A∪（A∩B）=A，A∩（A∪B）=A．集合求补律A∪CuA=U，A∩CuA=Φ．【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．2．命题的真假判断与应用【知识点的认识】判断含有“或”、“且”、“非”的复舍命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1=0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．【解题方法点拨】1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．3．函数奇偶性的性质【知识点的认识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）=﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）=f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）=0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）=﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）=f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．例题：函数y=x|x|+px，x∈R是（）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶D．与p有关解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．因为f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣px=﹣x|x|﹣px=﹣f（x），所以f（x）是奇函数．故选B．【命题方向】函数奇偶性的应用．本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．4．函数零点的判定定理【知识点的知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=O，这个c也就是f（x）=0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）=x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1=0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；②函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）=0的实数根．5．分段函数的应用【分段函数的应用】分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的．这个在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分段函数．【具体应用】正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现．下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法．例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0＜p＜100，即销售100元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件．（Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；（Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？（Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？解：（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8﹣p）万件，年销售收入为（11.8﹣p）万元，政府对该商品征收的税收y=（11.8﹣p）p%（万元）故所求函数为y=（11.8﹣p）p由11.8﹣p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜11.8…（4分）（II）由y≥16得（11.8﹣p）p≥16化简得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于16万元．…（9分）（III）第二年，当税收不少于16万元时，厂家的销售收入为g（p）=（11.8﹣p）（2≤p≤10）∵在[2，10]是减函数∴g（p）max=g（2）=800（万元）故当税率为2%时，厂家销售金额最大．这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不分段其实无关．我们重点看看分段函数要注意的地方．第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值；第三，注意累加的情况和仅仅某段函数的讨论．【考查预测】修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答．6．利用导数研究函数的单调性【知识点的知识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）=0的根；（4）用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【典型例题分析】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：设g（x）=f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）=f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）=2，∴g（﹣1）=f（﹣1）+2﹣4=4﹣4=0，则由g（x）＞g（﹣1）=0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B题型二：导数很函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：．解：（Ⅰ）（2分）当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a=0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）得a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=﹣2∴由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（10分）（Ⅲ）令a=﹣1此时f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以f（1）=﹣2，由（Ⅰ）知f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴∴【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）=0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．7．利用导数求闭区间上函数的最值【知识点的知识】一、利用导数求函数的极值1、极大值一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数的一个极大值，记作y极大值=f（x0），是极大值点．2、极小值一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），是极小值点．3、极大值与极小值统称为极值在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值．请注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f（x4）＞f（x1）．（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点4、判别f（x0）式极大值、极小值的方法：若x0满足f′（x0）=0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．5、求可导函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）=0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f（x）在这个根处无极值．二、利用导数求函数的最大值与最小值1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）=在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．8．简单线性规划【概念】线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．【例题解析】例：若目标函数z=x+y中变量x，y满足约束条件．（1）试确定可行域的面积；（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），则可行域的面积S==．（2）由z=x+y，得y=﹣x+z，则平移直线y=﹣x+z，则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y=﹣x+z得截距最小，此时z最小为z=2+3=5，当直线经过点B（4，3）时，直线y=﹣x+z得截距最大，此时z最大为z=4+3=7，故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．【考点预测】线性规划在实际中应用广泛，因此具有很高的实用价值，所以也成为了高考的一个热点．大家在备考的时候，需要学会准确的画出可行域，然后会平移目标曲线．9．数列的求和【知识点的知识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差数列前n项和公式：Sn=na1+n（n﹣1）d或Sn=②等比数列前n项和公式：③几个常用数列的求和公式：（2）错位相减法：适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．（3）裂项相消法：适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即=（）．（4）倒序相加法：推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．（5）分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．【典型例题分析】典例1：已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn=（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：．解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26，∴，解得a1=3，d=2，∴an=3+2（n﹣1）=2n+1；Sn==n2+2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=2n+1，∴bn====，∴Tn===，即数列{bn}的前n项和Tn=．点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．【解题方法点拨】数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．10．等比数列的性质【知识点的知识】等比数列的常用性质（1）通项公式的推广：an=am•qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}为等比数列，且k+l=m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al=am•an（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q=1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．11．平面向量数量积的运算【平面向量数量积的运算】平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2=2±2•+2．②（﹣）（+）=2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．【例题解析】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn=nm”类比得到“”②“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（）•=”；③“t≠0，mt=nt⇒m=n”类比得到“⇒”；④“|m•n|=|m|•|n|”类比得到“||=||•||”；⑤“（m•n）t=m（n•t）”类比得到“（）•=”；⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是①②．解：∵向量的数量积满足交换律，∴“mn=nm”类比得到“”，即①正确；∵向量的数量积满足分配律，∴“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（）•=”，即②正确；∵向量的数量积不满足消元律，∴“t≠0，mt=nt⇒m=n”不能类比得到“⇒”，即③错误；∵||≠||•||，∴“|m•n|=|m|•|n|”不能类比得到“||=||•||”；即④错误；∵向量的数量积不满足结合律，∴“（m•n）t=m（n•t）”不能类比得到“（）•=”，即⑤错误；∵向量的数量积不满足消元律，∴”不能类比得到，即⑥错误．故答案为：①②．向量的数量积满足交换律，由“mn=nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（）•=”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt=nt⇒m=n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|=|m|•|n|”不能类比得到“||=||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t=m（n•t）”不能类比得到“（）•=”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．【考点分析】本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．12．复数求模【知识点的知识】1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b=0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a=0，b≠0，则a+bi为纯虚数．2、复数相等：a+bi=c+di⇔a=c，b=d（a，b，c，d∈R）．3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a=c，b+d=0（a，b，c，d∈R）．4、复数的模：的长度叫做复数z=a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|=．13．茎叶图【知识点的认识】1．茎叶图：将样本数据有条理地列出来，从中观察样本分布情况的图称为茎叶图．例：某篮球运动员在某赛季各场比赛的得分情况：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50得分表示成茎叶图如下：2．茎叶图的优缺点：优点：（1）所有信息都可以从茎叶图上得到（2）茎叶图便于记录和表示缺点：分析粗略，对差异不大的两组数据不易分析；表示三位数以上的数据时不够方便．【解题方法点拨】茎叶图的制作步骤：（1）将每个数据分为“茎”（高位）和“叶”（低位）两部分（2）将最小的茎和最大的茎之间的数按小大次序排成一列（3）将各个数据的叶按大小次序写在茎右（左）侧第1步中，①如果是两位数字，则茎为十位上的数字，叶为个位上的数字，如89，茎：8，叶：9．②如果是三位数字，则茎为百位上的数字，叶为十位和个位上的数字，如123，茎：1，叶：23．对于重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，同一数据出现几次，就要在图中体现几次．14．古典概型及其概率计算公式【考点归纳】1．定义：如果一个试验具有下列特征：（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．则称这种随机试验的概率模型为古典概型．*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．2．古典概率的计算公式如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）==．【解题技巧】1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．因此要注意清楚以下三个方面：（1）本试验是否具有等可能性；（2）本试验的基本事件有多少个；（3）事件A是什么．2．解题实现步骤：（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；（4）利用公式P（A）=求出事件A的概率．3．解题方法技巧：（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．15．离散型随机变量的期望与方差【知识点的知识】1、离散型随机变量的期望数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为x1x2…xn…Pp1p2…pn…则称Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1=p2=…=pn，则有p1=p2=…=pn=，Eξ=（x1+x2+…+xn）×，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．期望的一个性质：若η=aξ+b，则E（aξ+b）=aEξ+b．2、离散型随机变量的方差；方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．方差的性质：．方差的意义：（1）随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；（2）随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．16．计数原理的应用【知识点的认识】1．两个计数原理（1）分类加法计数原理：N=m1+m2+…+mn（2）分步乘法计数原理：N=m1×m2×…×mn2．两个计数原理的比较分类加法计数原理分步乘法计数原理共同点都是计数原理，即统计完成某件事不同方法种数的原理．不同点分类完成，类类相加分步完成，步步相乘n类方案相互独立，且每类方案中的每种方法都能独立完成这件事n个步骤相互依存，每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整【解题方法】1．计数原理的应用（1）如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类加法计数原理；（2）如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步乘法计数原理．2．解题步骤（1）指明要完成一件什么事，并依事件特点确定是“分n类”还是“分n步”；（2）求每“类”或每“步”中不同方法的种数；（3）利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法总数；（4）作答．【命题方向】分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法．常见考题类型：（1）映射问题（2）涂色问题（①区域涂色②点的涂色③线段涂色④面的涂色）（3）排数问题（①允许有重复数字②不允许有重复数字）17．程序框图【知识点的知识】1．程序框图（1）程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形；（2）构成程序框的图形符号及其作用程序框名称功能起止框表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不可缺少的．输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置．处理框赋值、计算．算法中处理数据需要的算式、公式等，它们分别写在不同的用以处理数据的处理框内．判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时在出口处标明则标明“否”或“N”．流程线算法进行的前进方向以及先后顺序连结点连接另一页或另一部分的框图注释框帮助编者或阅读者理解框图（3）程序框图的构成．一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的流程线；程序框内必要的说明文字．18．两角和与差的正弦函数【知识点的认识】（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=．【命题方向】（1）第一类常考题型：（2）第二类常考题型：【解题方法点拨】19．椭圆的标准方程【知识点的认识】椭圆标准方程的两种形式：（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|=2c；（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|=2c．两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2=b2+c2两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．标准方程（a＞b＞0）中心在原点，焦点在x轴上（a＞b＞0）中心在原点，焦点在y轴上图形顶点A（a，0），A′（﹣a，0）B（0，b），B′（0，﹣b）A（b，0），A′（﹣b，0）B（0，a），B′（0，﹣a）对称轴x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b焦点在长轴长上x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b焦点在长轴长上焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）焦距|F1F2|=2c（c＞0）c2=a2﹣b2|F1F2|=2c（c＞0）c2=a2﹣b2离心率e=（0＜e＜1）e=（0＜e＜1）准线x=±y=±20．椭圆的简单性质【知识点的认识】1．椭圆的范围2．椭圆的对称性3．椭圆的顶点顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，线段A1A2，B1B2分别为拖圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．4．椭圆的离心率①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e=，且0＜e＜1．②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a=b时，c=0，椭圆变为圆，方程为x2+y2=a2．5．椭圆中的关系：a2=b2+c2．21．抛物线的简单性质【知识点的知识】抛物线的简单性质：22．双曲线的简单性质【知识点的知识】双曲线的标准方程及几何性质标准方程（a＞0，b＞0）（a＞0，b＞0）图形性质焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）焦距|F1F2|=2ca2+b2=c2范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称关于x轴，y轴和原点对称顶点（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）轴实轴长2a，虚轴长2b离心率e=（e＞1）准线x=±y=±渐近线±=0±=023．由三视图求面积、体积【知识点的认识】1．三视图：观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形，包括：（1）主视图：物体前后方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和长度；（2）左视图：物体左右方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和宽度；（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，反映物体的长度和宽度．2．三视图的画图规则：（1）高平齐：主视图和左视图的高保持平齐；（2）长对正：主视图和俯视图的长相对应；（3）宽相等：俯视图和左视图的宽度相等．3．常见空间几何体表面积、体积公式（1）表面积公式：（2）体积公式：【解题思路点拨】1．解题步骤：（1）由三视图定对应几何体形状（柱、锥、球）（2）选对应公式（3）定公式中的基本量（一般看俯视图定底面积，看主、左视图定高）（4）代公式计算2．求面积、体积常用思想方法：（1）截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题，常用轴截面进行分析求解；（2）割补法：求不规则图形的面积或几何体的体积时常用割补法；（3）等体积转化：充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点，灵活求解三棱锥的体积；（4）还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法．【命题方向】三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容．解答此类问题，必须熟练掌握三视图的概念，弄清视图之间的数量关系：正视图、俯视图之间长相等，左视图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之间高相等（正俯长对正，正左高平齐，左俯宽相等），要善于将三视图还原成空间几何体，熟记各类几何体的表面积和体积公式，正确选用，准确计算．例：某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.8﹣2πB.8﹣πC.8﹣D.8﹣分析：几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．解答：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积