2021年北京市中考数学试卷及参考答案

2021年北京市中考数学试卷

一、选择题（共16分，每题2分）第L8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1.如图是某儿何体的展开图，该凡何体是（）

A.长方体B.圆柱C.圆锥D.三棱柱

2.党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务.2014-2018年，中央财政

累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元,

将169200000000用科学记数法表示应为（）

A.0.1692X1012B.I.692X1012

C.1.692X1011D.16.92X1O10

3.如图，点。在直线AB上，OCLOD.若NAOC=120°,则NB。。的大小为（）

5.实数”，〃在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）

1

A.a>-2B.\a\>bC.a+b>0D.h-a<0

6.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一一枚硬币反面向上的概率是（)

A.工B.AC.—D.2

4323

7.己知432=1849,442=1936,452=2025,462=2116.若“为整数且“〈42021<〃+1，

则〃的值为（）

A.43B.44C.45D.46

8.如图，用绳子围成周长为10,"的矩形，记矩形的一边长为xm,它的邻边长为矩形

的面积为S户.当》在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则），与x,S与x

满足的函数关系分别是（）

y

X

A.一次函数关系，二次函数关系

B.反比例函数关系，二次函数关系

C.一次函数关系，反比例函数关系

D.反比例函数关系，一次函数关系

二、填空题（共16分，每题2分）

9.若'。在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.

10.分解因式：5/-5/=.

11.方程_2_=上的解为___.

x+3x

12.在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y=K*W0）的图象经过点A（1,2）和点

X

B（-1,“），则m的值为.

13.如图，PA,P3是。0的切线，A,B是切点.若NP=50°,则NAO8=.

14.如图，在矩形A3CO中，点E,尸分别在5C,AO上，AF=EC.只需添加一个条件即

2

可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）.

甲、乙两组数据的方差分别为s，J,s/,则5甲2旌2（填“>，，，“v”或“=

16.某企业有A,B两条加工相同原材料的生产线.在一天内，A生产线共加工。吨原材料,

加工时间为（4〃+1）小时；在一天内，B生产线共加工6吨原材料，加工时间为（26+3）

小时.第一天，该企业将5吨原材料分配到A,8两条生产线，两条生产线都在一天内完

成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比

为.第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生

产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料.若两条生产线都能在一天内加

工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则%的值为.

n

三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第

24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、

演算步骤或证明过程。

17.计算：2sin60°-H/124-I-5|-（TT+%）0.

‘4x-5>x+l

18.解不等式组：,3X-4/•

19.已知/+2y-i=o,求代数式（a-b）2+b（2a+b）的值.

20.《淮南子•天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点

A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点使B,A两点间的距离为10步

（步是古代的一种长度单位），在点3处立一根杆；日落时，在地面上沿着点8处的杆的

影子的方向取一点C,使C,8两点间的距离为10步，在点C处立一根杆.取C4的中

点那么直线。8表示的方向为东西方向.

（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A,B,C的位置如图所示.使用直

3

尺和圆规，在图中作CA的中点。(保留作图痕迹);

(2)在如图中，确定了直线OB表示的方向为东西方向.根据南北方向与东西方向互相

垂直，可以判断直线C4表示的方向为南北方向，完成如下证明.

证明：在△ABC中，BA=,。是C4的中点，

C.CALDB()(填推理的依据).

•••直线QB表示的方向为东西方向，

直线CA表示的方向为南北方向.

21.已知关于x的一元二次方程x2-4/nx+3m2=0.

(1)求证：该方程总有两个实数根；

(2)若〃?>0,且该方程的两个实数根的差为2,求〃?的值.

22.如图，在四边形ABCD中，ZACB^ZCAD=90°，点E在BC上，AE//DC,EF±AB,

垂足为F.

(1)求证：四边形AECD是平行四边形；

(2)若AE平分NR4C,BE=5,cosB=A,求8F和4。的长.

5

23.在平面直角坐标系xQy中，一次函数(kWO)的图象由函数>=▲式的图象向下

2

平移1个单位长度得到.

(1)求这个一次函数的解析式；

(2)当x>-2时，对于x的每一个值，函数优(加#0)的值大于一次函数y=Ax+b

的值，直接写出机的取值范围.

24.如图，。0是AABC的外接圆，AQ是。。的直径，于点£

4

(1)求证：/BAD=NCAD；

(2)连接BO并延长，交AC于点F,交于点G,连接GC.若。0的半径为5,OE

=3,求GC和。尸的长.

25.为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各

随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入(单位：百万元)的数据，并对数据

进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.

a.甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下(数据分成5组：6Wx<8,

10.010.010.110.911.411.511.611.8

c.甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下:

平均数中位数

甲城市10.8m

乙城市11.011.5

根据以上信息，回答下列问题:

(1)写出表中加的值；

5

(2)在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数

为⑶.在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个

数为P2.比较pi,p2的大小，并说明理由；

(3)若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入(直接写出

结果).

26.在平面直角坐标系xOy中，点(1,瓶)和点(3,〃)在抛物线)，="2+或(a>0)上.

(1)若机=3,n=15,求该抛物线的对称轴；

(2)已知点(-1,yi),(2,yi),(4,”)在该抛物线上.若mn<0,比较yi,yi,”

的大小，并说明理由.

27.如图，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=a,〃为8c的中点，点。在MC上，以点A

为中心，将线段AQ顺时针旋转a得到线段AE,连接BE,DE.

(1)比较NBAE与NCA。的大小；用等式表示线段BE,BM,之间的数量关系，并

证明；

(2)过点M作AB的垂线，交DE于点N,用等式表示线段NE与NQ的数量关系，并

证明.

28.在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为1.对于点A和线段8C,给出如下定义：若

将线段8C绕点A旋转可以得到。。的弦B'C(S',C分别是8,C的对应点)，

则称线段BC是。0的以点4为中心的“关联线段”.

(1)如图，点A,B\,Ci,比，Ci,83,C3的横、纵坐标都是整数.在线段81。，B2c2,

83c3中，OO的以点A为中心的“关联线段”是；

(2)△ABC是边长为1的等边三角形，点A(0,t),其中fWO.若3c是00的以点A

为中心的“关联线段”，求才的值；

(3)在AABC中，AB=\,AC=2.若BC是的以点4为中心的“关联线段”，直接

写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长.

6

7

2021北京中考数学试卷答案

I-右图是某几何体的展开图,读几何体是।~~,

(A)长方体(B)陶柱||

(C)嬲博(D)三检柱O

«•»・・・・・••*■•・・・••・・・

售案:B

解析：•在图。展叶图•近十年内除「2013年川2015年，共号「8次

2党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务.2014-2018年,中央

财政累计投入“全面改善贫困*区义务教育薄弱学校箓本办学条件一专事朴助资金

1692亿元.将169200000000用科学记效法表示应为

(A)a1692xIO11(B)1.692x10a(C)1.692x10"(D)16.92xIO-

答案：c

川析：科学记数法,近十年内除「2017年.共与「9次

3.如图.点0在直线48上.OC10D.若LMC»120",则4300的大小为

答案1D

解析：当边彬内角他.近卜年内除「2013年和2014年.共考「8次.

5.实数明6在数输上的对应点的位置如图所示，下列结论中正■的是

ab

--31-2~0r-i2

(A)a>-2(B)lai>b(C)a^6>0(D)6-a<0

答案:B

解析：敏柏•近L年每年都出现.

6.同时独擦两枚质地均匀的硬币,则一枚硬而正面向上，一牧硬币反面向上的概率是

(A)-J-(B)|(C)y(D),

8

捽案：c

解忻：M率.近I隼除T2016年和2019年.共号了8次.

7.巳知431«IM9.44».1936.451.202，.461>2116.苏i.为“故，

且“<S55T<c♦I.m”的值为

(A)43(B)44(C)43(I))46

拚案：B

网析：Jt抨攻比大小同趣.近十年内与f.次，是个考试新络点.

&如图.用*子阴成周长为IOE的期影.记始出的一边长为，叫------------

它的郭边长为ym.惬形的面枳为Sm).当x在一定然僭内受化时,’

，知S部闰I的变化而变化,则y与x.S与*扃足的话数关系分别是-----*-----

(A)一次函岐关系,二次雨数关系(B)反比例函数关系,二次雨故关系

(C)一次I*”关系,反比例隔数关系(D)反比例南数关系,一次函数关系

答案:A

3折，也数.与2020年图#类似.近I"，了7次.

9.若在实数落网内有意义,剜实数X的取值应朋是.

答案：x>7

解析：代数式行息义.近I年除T2012(I和2015年.共考了7次.

IQ分・因式：.

答案：Xx+yXx-/)

X析：因式分解,在17年、18年、19年和20年未r年内能考广7次・

II.方程工■工的■为

«*3*-

答案：x=3

解析：分式方悭.近卜五年除了2016年和2019年,共考广H次.

II在平面直角坐标累MOy中,若反比例函数y=的图象修过点4(1.2)和

点8(-I.m).9im的值为.

存案：-2

解析：反比例由«(.近I年共号(4次,分别比2014年、2019年、2020”和2021年.连号3年.

9

13.如图./M.P8是。。的切线,4.8是切点.若4P・50%则LAOB•

*BUfflMi4an

130-

端析，利用切线定理1«中求角度.也十年件」了4次.分别是2014年、2017年*2018年和2021距.

14.如图.在矩形48CO中.点E.F分别在8C,40上.4F=£C.只需靖加一个条件

BP可证明四边形4£CF是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）.

答案：AF=FC（答案小啡）

解折：四边膨证明.在2013年,2019年出戏.2020年与•:用形全等证明.是•个新写法-

IX有甲,乙两组数据，如下表所示：

甲1112131415

乙1212131414

甲.乙两组数据的方差分别为M44（填成”一）.

答案：＞

解折：数据分析，新号法.

|&票企亚有A.B两条加工相同原材料的生产煌.在一天内，A生产线共加工。吨

原材料,HO1时间为（4a♦1）小时；在一天内.B生产线共加工6吨原材料.

馆工时间为（乃+3）小时.笫一天,谀企业将5吨原材料分配到A.B两条生产线.

两条生产段都在一天内完成了加工.旦加工时间相同,剜分配到A生产线的吨数与

分配到B生产线的幌数的比为.第二天开工前.慎企业按第一天的分配结果

分配了5吨原材料后.又蜡A生产线分配了所吨原材料,给B生产线分配了“吨

原材料.若网条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间

相同.则二的值为.

n

杵案：2:3.■

解析：方程应用、推理何恩.连片4年.分别比20程年.9隼.2020年和20n年.

10

17.计算：2.in6O°♦JU♦|-5|-

答案：3&4

♦析:实新计算.

41-5>M4I,

13,-4<X

忤案：2<x<4

MVr>不等式组计算.

19.已知1♦%'-】»0.求代数式(。+6(2®♦6)的值.

答案：1

解析：化简求值.

2Q《淮南子•天文训》中记栽了一料・定东西方向的方法,大意是：日出时,在地面上

点4处立一根杆,在地面上沿看杆的影子的方向取一点8.使8.4两点间的距离

为10步(步是古代的一科长度单位).在点8处立一根杆；日落时,在地面上沿着

点8处的杆的影子的方向取一点C,使C.8两点间的距离为10步,在点C处立

-Wff.取CA的中点D.那么直线DB程示的方向为东西方向.

(I)上述方法中，杆在地面上的影子所在1［段及点4.B.C的位置如图所示.

使用宜尺和陶规,在图中作C4的中点0(保留作用痕迹)；

(2)在上图中.■定了直线。8表示的方向为东西方向.根据南北方向与东西方向

互相重直,可以判断直线。(表示的方向为南北方向.完成如下证明.

证明：在AABC中,BA•.。是C4的中点.

CAJ.DB()(填搀理的依据)

•••直fit08表示的方向为东西方向.

真城C4覆示的方向为南北方向.

答案：图略।BC：等腰三角形三线合一

解析：作图写依据.

11

2!.巳知关于x的一元二次方程M1-4«u♦3m1-0.

(I)求证：该方程总有傍个实数粮；

(2)若m>0.且读方程的两个实效粮的船为2.求"•的值

答案：(1)A-4mJ>0,(2)m-i

稣析：一兀.次方程.

22.如图，在四边影ABCD中,4AC8=Z.C4D・90•，点£在8c上‘AE"

EF1AB,垂足为F.

(I)求证：四边形A£C。是平行四边形；

(2)若4£平分LBAC,BE•5.(•“

答案：(1)易证：(2)8尸=4..4。=3

川析：四边膨综4、用平分线性斯.

21在平面直布坐标系xOy中.一次函数》«b*6(i**0)的图象由

的数y旧，的图象向下平移I个，位长度得到.

(1)求这个一次函数的解析式；

(2)当x>・2时.财于■的每一个值.而数，・《*(题~0)的值大于

一次的数y・b♦6的值.直接写出m的取值值BL

答案：(1)y^x-1»(2)0<m<l

川析：次踽数,与2020年号也雷同.

12

24.如图，。。是△ABC的外接RI.40是。。的直径,AD工BC于点E.

(1)求证：LBAD-Z.C4Q；

(2)连接80井窿氏,交4c于点匕交。。于点C,连接GC.若。。的半粒为S.

。£=3.求GC和0f的长.

答案：(1)坊证，(2)GC=6.OF

网折：圈绘合、相似.

13

25.为了*甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况,从这两座城市的■政企业中.

各随机抽取了25*龊政企业,获得了它们4月份收入(柒位：百万元)的数据.

并对数据进行整理、描述和分析.下面始出了部分信息.

«.甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下(数据分成5组:

6<x<8.8Cx<10,10C«<12,12<«<14.14<«<>6):

b.甲城市修政企业4月份收入的数据在10<«<12这一飨的是：

iaoiaoia।ia9n.411.5n.6n.s

e.甲、乙两座城市■政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下：

平均数中位数

甲城市1Q8m

乙城市11.011.5

桢据以上信息，回答下列向♦:

(1)写出表中m的值；

(2)在甲城市抽取的邮政企业中.记4月份收入高于它们的平均收入的趣政企业的个数为PL

在乙城市抽取的岫及企业中.记4月份收入高于它们的平均收入的如改企业的个数为丹.

比较Pi,p,的大小，并说明理由；

(3)若乙城市共有200家修政企业,估计乙城市的•政企业4月份的总收入(直接写出

itJR).

猝案：(1)10.1,(2)科<小,因为中城巾中位数低十中均数,八地大为12个।乙城中中位数岛于个均数.

p2至少为13个.(3)2200臼方兀.

解析：统计.

14

24在平面I［角啜标系xOy中，点(1,•)和点(3.H)在抛物线y・a?♦kx(a>0)±.

(I)若m=3.“=15,求谟发物线的对称轴；

(2)已知点(・1,力).(2.y,).(4.y>)在该Mt物税上.若一<0,比较力，力，y,

的大小.并说明理由.

答案：(1)x-It<2)<y(<y,

川析：二次函数标价.与察点和对称轴的67置判断函数值的大小.

①当雨<0.”>0时.由二次函数恒过(0.0)点如此时抛物线开口向下,o<0.与。>0矛盾：

②当用>0."<0时,对称轴为！vx<3.-<x(-1)<-•-<2-x<-.-<4-x<^.

22222222

2x<x-(-l)<4-x

Va>0

27.如图.在中,AB-AC,CBAC-a.M为8c的中点.点0在MC上，以点4

为中心，将线段ADm时纣旋转a得到线段AE.连接BE.DE.

(I)比较CBAE与LCAD的大小।用等式表示线段8E.BM,MO之间的

数量关系，井证明：

4

(2)过点M作48的基线,交0£于点M用等式袭示找段代£与NO的效■关系.

并证明.

15

（I）/BAE/CM.BE十皿BM

解析，易滋&狂5工氏（手拉手模型）

/

BM，KC

（2）NEND

解析t方法1:过点E作EH_LABf

IjSuEflHB£-CD=>DMHM

2面MN“EHnAD.W-SDHE

nN是DE中点.得证.///、方、A