2023年研究生类公共管理硕士数学历年高频考题带答案难题附详解

2023年研究生类公共管理硕士数学历年高频考题带答案难题附详解（图片大小可自由调整）第1卷一.历年考点试题黑钻版(共50题)1.已知某产品产量的变化率是时间t的函数，f(t)=at+b(a，b为常数)，设此产品t时的产量函数为Q(t)，已知Q(0)=0，则Q(t)等于

．

(A)at2+bt

(B)

(C)

(D)at2+bt+C2.(1)，求y'和y''；

(2)设方程，确定了y=y(x)，求y'和y'(1)．3.设，则等于(

)．A.-1B.1C.不存在D.以上结果均不正确4.现有一个半径为R的球体，拟用刨床将其加工成正方体，则能加工成的最大正方体的体积是______

A．

B．

C．

D．

E．5.函数f(x)在(a，b)内有反函数f-1(x)存在，则f(x)必为

．A.有界函数B.严格单调上升C.严格单调下降D.以上结论都不正确6.=______．7.函数z＝xy(1-x-y)的极值点是______．8.若，f(t)可微，且满足，则G(x，y)=______．9.若，则f(x)=______．10.设f(x，y)=x3-4x2+2xy-y2，则下列结论正确的是

．A.(2，2)是极小值点B.(0，0)是极大值点C.(0，0)是极小值点D.(0，0)是f(x，y)的驻点，但不是极值点11.在平面直角坐标系中，已知圆心在直线y=x+4上，半径为的圆C经过原点O，则经过点(0，2)且被圆C所截得弦长为4的直线方程为______A.x=0B.x=1C.x=2D.x=3E.x=412.设，则13.长方体的三个相邻面的面积分别为2、3、6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球面的表面积为______A.28πB.56πC.14πD.64πE.80π14.从长度为3，5，7，9，11的五条线段中，取出三条作三角形，共能作成的不同三角形个数为______A.4B.5C.6D.7E.815.乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后共有______项。A.17B.23C.12D.30E.6016.若直线ax+by+c=O，经过第一、二、三象限，则______A.ab＞0且bc＞0B.ab＞0且bc＜0C.ab＜0且bc＜0D.ab＜0且bc＞0E.以上都不是17.在8名志愿者中，只能做英语翻译的有4人，只能做法语翻译的有3人，既能做英语翻译又能做法语翻译的有1人。现从这些志愿者中选取3人做翻译工作，确保英语和法语都有翻译的不同选法共有______种。A.12B.18C.21D.30E.5118.若关于x的不等式组有解，则实数a的取值范围是______A.a＜4B.a＞4C.a=4D.0＜-4E.a＞-419.求极限．20.求下列不定积分：

21.设x≥-1，则等于

．

22.趣味运动会中，6个人共同参加争夺三个项目的冠军，每项设一个冠军，则冠军归属的可能结果有______．A.60种B.120种C.140种D.186种E.216种23.一元二次函数x(1-x)的最大值为______A.0.05B.0.10C.0.15D.0.20E.0.2524.过原点引抛物线y=x2+x+1的两条切线，试求这两条切线的方程．25.已知p＞0，q＞0，p、q的等差中项为，且，则x+y的最小值为______A.6B.5C.4D.3E.226.求27.若以连续掷两枚骰子分别得到到点数a与b作为点M的坐标，则点M落入圆x2+y2=18内(不含圆周)的概率是______

A．

B．

C．

D．

E．28.如下图，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，矩形ABCD的面积为______

A.98B.96C.280D.284E.24029.讨论函数的增减区间与极值、曲线的凹性与拐点．30.过点M(1，-2)的直线与x轴、y轴分别交于P、Q两点，若M恰为线段PQ的中点，则直线PQ的方程为______A.2x+y=0B.2x-y-4=0C.x+2y+3=0D.x-2y-5=0E.以上都不是31.从装满水的杯子倒出的水装入纯酒精，又倒出的混合溶液装入纯酒精，再倒出的混合溶液装入纯酒精，问现在杯子的酒精浓度是多少?A.60%B.36%C.50%D.40%E.24%32.=______．33.已知等腰三角形ABC三边的长为a、b、c且a=c，若关于x的一元二次方程的两根之差为，则等腰三角形的一个底角是______A.15°B.30°C.45°D.60°E.以上结论均不正确34.已知直线l:y=x+m，m∈R，若以点M(2，0)为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，则该圆的方程为______A.(x-2)2+y2=8B.(x-2)2+y2=4C.x2+(y-2)2=8D.(x-2)2+y2=16E.以上说法均不正确35.函数的向上凸的区间是______．36.设函数f(x)对任意的x均满足f(1+x)=af(x)，且有f'(0)=b，其中a，b为非零常数，则f(x)在x=1处

．A.不可导B.可导且f'(1)=aC.可导且f'(1)=bD.可导且f'(1)=ab37.设f'(lnx)=1+x，则f(x)等于

．

(A)

(B)x+ex+C

(C)x+ex

(D)1+ex+C38.求．39.设z=z(x，y)由方程y+x=xf(y2-z2)确定，f可微，则______．40.已知实数a、b、x、y满足和，则3x+y+3a+b=______A.25B.26C.27D.28E.2941.设f(x)的一个原函数是ex2，则等于

．A.eB.1C.e+1D.e-142.如图1—3—6所示，A为固定的一盏路灯，MN为一垂直于x轴的木杆，NP为该杆在路灯下的影子，若该杆沿x轴正向匀速前行，并保持与x轴垂直，则(

)．

A.P点做匀速前移B.P点前移速度逐渐减少C.P点前移速度逐渐增加D.P点前移速度先增加后减少43.由抛物线(y-2)2=x-1和与抛物线相切于纵坐标y0=3处的切线以及x轴所围成的图形面积为______．44.如下图，一块面积为400平方米的正方形土地被分割成甲、乙、丙、丁四个小长方形作为不同的功能区域，它们的面积分别为128，192，48和32平方米。乙划出一块正方形区域(阴影)作为公共区域，这块小正方形的面积为______平方米。

A.16B.17C.18D.19E.2045.政府现有15万元的预算用于修整道路，据测算，修整一公里城市道路费用为5000元，修整一公里乡村道路费用为1000元，考虑到城乡平衡的因素，计划修整乡村道路的长度不少于修整城市道路的2倍，也不多于城市道路的3倍，这笔预算最多可修整道路的长度为______．A.75千米B.74千米C.72千米D.70千米E.66千米46.设：y=|x-a|+|x-10|+|x-a-10|，其中0＜a＜10，则对于满足a≤x≤10的x值，y的最小值是______A.5B.10C.15D.20E.3047.求48.如下图，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和6cm，四边形OEFG的面积是4cm2，则阴影部分的面积为______

A.30cm2B.28cm2C.24cm2D.20cm2E.16cm249.3x2+bx+c=0(c≠0)的两个根为α、β。如果又以α+β、αβ为根的一元二次方程是3x2-bx+c=0。则b和c分别为______A.2，6B.3，4C.-2，-6D.-3，-6E.以上结论均不正确50.设函数z=f(t，x，y)可微，x=x(t)，y=y(t)可导，试求第1卷参考答案一.历年考点试题黑钻版1.参考答案：B[解析]即已知Q'(t)=f(t)=at+b，由Q(0)=0，知积分以0为下限，所以

2.参考答案：[解](1)

(2)方程两边取对数，然后两边对x求导．

，解得．3.参考答案：C[解析]，故有不存在．

所以应选(C)．4.参考答案：B[考点]正方体的外接球

[解析]已知球体为所求正方体的外接球，球的直径为正方体的体对角线，设正方体的边长为a，球半径为R，故有于是所求体积

正方体的外接球的直径为正方体的体对角线。5.参考答案：D[解析]首先可知(A)不正确，例如，x∈(0，1)无界，但它有反函数，x∈(1，+∞)．其次，(B)，(C)也不正确，试看反例：有反函数存在，但显然f(x)在(0，2)上无单调性．6.参考答案：1．[解析]这是“∞0”型未定式的极限，可用洛必达法则计算，即

而由此可得

7.参考答案：[解析]因为

令解得而当时

且A＜0，因此点是函数的极大值点．

容易验证，点(0，0)，(0，1)和(1，0)都不是函数的极值点．8.参考答案：x-y．[解析]

则可化为

x2yf-xy2f=xyfG，由此得G(x，y)=x-y．9.参考答案：[解析]对等式两边求导，由不定积分的定义，有，由此可知10.参考答案：B[解析]由于的解为(0，0)，(2，2)．计算得

A=f''xx=6x-8，B=f''xy=2，

C=f''yy=-2．在点(2，2)处，AC-B2＜0，所以点(2，2)不是极值点．在点(0，0)处，AC-B2＞0，且A=-8＜0，所以点(0，0)是极大值点．11.参考答案：A[考点]直线和圆相交的问题

[解析]如下图所示：

设圆心C的坐标为(a，b)，则b=a+4，且圆经过原点O，故联立解得a=-2，b=2，故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8。当所求直线的斜率不存在时，y轴(即x=0)与圆的两个交点为(0，4)、(0，0)．弦长为4，符合题意，故所求直线方程为x=0。

在根据题意画出图象后，可通过数形结合的方法，直接从图中找出答案。12.参考答案：2(z-y)．[解析]把行列式按第一列展开得

f(x，y，z)=x2(z-y)+g1(x)，其中g1(x)为x的一次多项式，则13.参考答案：C[考点]长方体的外接球

[解析]设长方体长、宽、高分别为a、b、c，则ab=6，ac=3，bc=2于是a=3，b=2，c=1，题中的球体为长方体的外接球，则长方体的体对角线为此球的直径，即于是球体表面积S=4πR2=14π。

本题的关键是根据长方体的各面面积求出长方体的棱长，进而求出外接球的表面积。14.参考答案：D[考点]分类相加思想

[解析]分情况讨论：

如果最长边是11，则另外两条边可以为3和9，5和9，7和9，7和5，共四种。

如果最长边为9，则另外两边可为3和7，5和7，共两种。

如果最长边是7，另外两条边只能是3和5，只有一种情况。

因此，可构成不同的三角形个数为1+2+4=7(种)。

枚举法，注意全面无重复无遗漏。15.参考答案：E[考点]乘法计数原理

[解析]求项的个数，第一个乘积项中有3项，第二个乘积中有4项，第三个乘积项中有5项。(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)要展开需要经过三步，第一步要含有a，有3种选法，第二步要含有b，有4种选法，第三步要含有c，有5种选法，所以需要运用乘法计数原理：则(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)的展开项的个数有3×4×5=60项。16.参考答案：C[考点]直线过象限问题

[解析]当b=0时，直线方程为不满足题意；当b≠0时，直线方程为若直线过一、二、三象限，应有斜率且直线在y轴上的截距因此ab＜0且bc＜0。

对于直线过象限的问题，注意数形结合，通过图象来解决。17.参考答案：E[考点]先分类再分步思想

[解析]一共可以分为三类：

包含既能做英语翻译又能做法语翻译的志愿者，则只需要从剩下的7个人中选出2个即可，则有种选法。

不含既能做英语翻译又能做法语翻译的志愿者，则从只能做英语英语翻译的4个志愿者中选出1个，从3个只能做法语翻译的志愿者中选出2个，则有种选法。

不含既能做英语翻译又能做法语翻译的志愿者，则从4个只能做英语翻译的志愿者中选出2个人，从3个只能做法语翻译的志愿者中选出1个人，则有种。

所以不同选法一共有21+12+18=51种。

(1)特殊元素优先考虑，(2)分类注意要全面无重复。18.参考答案：B[考点]普通不等式

[解析]整理不等式组得因为x有解，所以可得，即a＞4。19.参考答案：[解]先应将函数化为可用幂指函数求极限的形式，即

于是，由

可得20.参考答案：[解](1)

(2)

(3)

(4)

(5)21.参考答案：D[解析]当-1≤x≤0时，

当x＞0时，

22.参考答案：E[解析]这是一个允许有重复元素的排列问题，分三步完成：第一步，获得第1项冠军，有6种可能情况；第二步，获得第2项冠军，有6种可能情况；第三步，获得第3项冠军，有6种可能情况；由乘法原理，获得冠军的可能情况的种数是6×6×6=216．所以答案选E．23.参考答案：E[考点]一元二次函数求最值问题

[解析]设y=x(1-x)，令y=0可得x=0或1，即函数y=x(1-x)与x轴的交点为0和1，则对称轴为，即当取最大值，此时

此题的关键在于理解函数图象和方程根之间的关系，令方程等于0时所得到的根即为函数图象和x轴的交点，进而得到函数图象的对称轴，也就得到了函数的最值。24.参考答案：[解]先设切点为(x0，x20+x0+1)，则过此点的曲线的切线斜率为

y'|x=x0=(x2+x+1)'|x=x0=2x0+1，故过切点(x0，x20+x0+1)的切线方程为．

y-(x20+x0+1)=(2x0+1)(x-x0)．因为它通过原点，故有

0-(x2+x0+1)=-x0(2x0+1)，即x20=1，由此可得x0=±1，所以两切点为M1(-1，1)及M2(1，3)．这时，过M1点与M2点的切线斜率分别为

k1=(2x0+1)|x0=-1=-1与k2=(2x0+1)|x0=1=3．可得所求两切线方程为

y-1=-(x+1)；y-3=3(x-1)，即x+y=0与3x-y=0．25.参考答案：B26.参考答案：[解]因为初等函数在点(1，2)处有定义，函数在(1，2)点连续，所以

27.参考答案：D[考点]加法公式、点和圆的位置关系

[解析]点M的坐标为(a，b)，总情况数共有6×6=36种，而满足条件的情况需要分情况讨论：

当a=1时，b=1，2，3，4，有四种情况；

当a=2时，b=1，2，3，有三种情况；

当a=3时，b=1，2，有两种情况；

当a=4时，b=1，有一种情况；

所以，所求概率为

要能利用“两点之间距离公式”判断某点在不在圆内，再分类，求出各个满足条件的相斥事件的概率，最终运用加法公式得出总概率。28.参考答案：C[考点]矩形的周长、面积

[解析]设小矩形的长和宽分别为x、y则有解得从而S矩形ABCD=7xy=280，因此选C。

本题的关键是根据图形找出关于小长方形长和宽的等量关系。29.参考答案：[解]利用一阶二阶导数来讨论．

驻点为，导数不存在的点为x=0，且f(x)在x=0点连续．令y''=0，得，故有：

所以，如图1—3—17，(-∞，0)∪(，+∞)为函数的增区间，(0，)是减区间，y(0)=0是极大值，y()=-0.33是极小值．在(-∞，)上曲线是下凹的，其余部分曲线是上凹的，点(，-0.41)是曲线的拐点．再考虑无穷远处的性态：

30.参考答案：B[考点]直线与坐标轴相交问题

[解析]设P(x0，0)、Q(0，y0)，由于M(1，-2)为线段PQ中点，由线段中点的坐标公式，可知因此直线PQ的截距式方程为即2x-y-4=0。

根据中点的坐标，找到直线与坐标轴的交点，再写出直线的截距式方程。31.参考答案：A[考点]多步溶液混合问题

[解析]假设杯子里共有水60份，倒出装入纯酒精，相当于装进20份纯酒精，又倒出装入纯酒精，倒出，相当于倒出5份纯酒精，倒进纯酒精，相当于倒进15份纯酒精，则杯子里现有30纯酒精，再倒出装入纯酒精，则杯子里有36份纯酒精，故现在酒精浓度为32.参考答案：0．[解析]这是“0·∞”型的未定式的极限，若立即化为“”型或“”型未定式，用洛必达法则很难计算，应先用等价无穷小，再用洛必达法则，即

33.参考答案：B[考点]一元二次方程的根结合三角形

[解析]设方程的两个根为x1、x2则解得又因为a=c，可解得底角为30°。

记住关于一元二次方程ax2+bx+c=0的结论34.参考答案：A[考点]直线和圆的位置关系

[解析]如下图所示．

依题意，点P的坐标为(0，m)，因为MP⊥l，所以这两条直线斜率乘积为-1，即解得m=2，即点P的坐标为(0，2)，从而圆的半径故所求圆的标准方程为(x-2)2+y2=8，因此选A。

已知圆心，要求出圆的方程，只需找到半径即可。35.参考答案：(0，2)．[解析]通过求导可以知道，在(-∞，0)∪(2，+∞)，y''＞0，在(0，2)内，y''＜0．故在(0，2)内函数是向上凸的．36.参考答案：D[解析]在f(1+x)=af(x)中，令x=0，得f(1)=af(0)．

37.参考答案：B[解析]由f'(lnx)=1+x=1+elnx知，f'(x)=1+ex，则

38.参考答案：[解]39.参考答案：y．[解析]令F(x，y，z)=y+z-xf(y2-z2)，所以

所以

40.参考答案：D[考点]绝对值方程

[解析]得出即，由于|x-2|≥0，，a2≥0，b2≥0，所以，解得x=2，a=b=0，将x=2，a=b=0代入y-1=|x-2|+b2中，解得y=1