空间向量的应用专题训练卷(含解析)

34/34空间向量的应用专题训练卷一、单选题1．（2020·江苏如东�高一期末）在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（）A． B． C． D．2．（2020·河北新华�石家庄二中高一期末）在正方体中，分别为，的中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为A． B． C． D．3．（2020·辽宁高三其他（文））如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A． B． C． D．4．（2020·黑龙江道里�哈尔滨三中高三二模（理））已知四面体中，，，两两垂直，，与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（）A． B． C． D．5．（2020·山东省济南市莱芜第一中学高二月考）在棱长为1的正方体中，点为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（）A． B． C． D．6．（2018·浙江高三其他）如图，在长方体中，，，，分别是，，的中点，记直线与所成的角为，平面与平面所成二面角为，则（）A． B．C． D．7．（2020·浙江镇海中学高三三模）在三棱柱中，是棱上的点（不包括端点），记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（）A． B． C． D．8．（2020·浙江衢州�高二期末）在底面为锐角三角形的直三棱柱中，是棱的中点，记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则（）A． B． C． D．9．（2020·浙江省杭州第二中学高三其他）空间线段，，且，设与所成的角为，与面所成的角为，二面角的平面角为，则（）A． B． C． D．10．（2020·四川高三三模（理））如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC＝4，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为半圆弧的中点，若异面直线BD和AB1所成角的余弦值为，则该几何体的体积为（）A．16+8π B．32+16π C．32+8π D．16+16π二、多选题11．（2019·江苏徐州�高二期末）下列命题中正确的是（）A．是空间中的四点，若不能构成空间基底，则共面B．已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为12．（2020·山东平邑�高二期末）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（）A． B．C．向量与的夹角是60° D．与AC所成角的余弦值为13．（2020·福建厦门�高二期末）正方体中，E、F、G、H分别为、BC、CD、BB、的中点，则下列结论正确的是（）A． B．平面平面C．面AEF D．二面角的大小为14．正三棱柱中，，则（）A．与底面的成角的正弦值为B．与底面的成角的正弦值为C．与侧面的成角的正弦值为D．与侧面的成角的正弦值为三、单空题15．（2020·四川省南充市白塔中学高二月考（理））已知平面的一个法向量，，，且，则直线与平面所成的角为______．16．（2019·河南高二竞赛）等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于．17．（2019·安徽埇桥�北大附宿州实验学校高二期末（理））若平面，的法向量分别为，，则这两个平面所成的锐角的二面角的余弦值为________.四、双空题18．（2020·浙江宁波�高二期末）在正四面体中，，分别为棱、的中点，设，，，用，，表示向量______，异面直线与所成角的余弦值为______.19．（2018·北京海淀�高二期末（理））已知棱长为的正四面体，为在底面上的正射影，如图建立空间直角坐标系，为线段的中点，则点坐标是__________，直线与平面所成角的正弦值是__________．20．（2020·山东德州�高二期末）如图，在直三棱柱中，，，则异面直线与所成角为______；二面角的余弦值是______.21.如图，在三棱锥中，，且，M、N分别是AB和SC的中点，则异面直线SM与BN所成的角的余弦值为________，二面角大小为________.五、解答题22．（2020·上海高三专题练习）如图，在棱长为1的立方体中，是棱的中点，为平面内的点.（1）若平面，确定点的位置；（2）求点到平面的距离.23．（2020·全国高二课时练习）在直三棱柱中，，，是的中点.（1）求证：平面；（2）求直线到平面的距离.24．（2019·天津南开�崇化中学高二期中）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面底面，且，，分别为棱，的中点.（1）求证：；（2）求异面直线与所成角的余弦值；（3）求点到平面的距离.25．（2020·河南高三其他（理））《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qiandu);阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(bienao)指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵中,.(1)求证:四棱锥为阳马;(2)若,当鳖膈体积最大时,求锐二面角的余弦值.26．（2019·浙江衢州�高二期中）四棱锥中，，底面为等腰梯形，，，为线段的中点，.（1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角正弦值.27.（2020·武威第六中学高三其他（理））如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，为的中点．（Ⅰ）求证：平面（Ⅱ）若平面平面，异面直线与所成角为60°，且是钝角三角形，求二面角的正弦值一、单选题1．（2020·江苏如东高一期末）在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】以点为坐标原点，以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，

则,

为平面的一个法向量．

．

∴直线与平面所成角的正弦值为.故选：D．2．（2020·河北新华石家庄二中高一期末）在正方体中，分别为，的中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为，则，∴．则．∴异面直线与所成角的余弦值为,故选A．3．（2020·辽宁高三其他（文））如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】以D点为坐标原点，以DA、DC、所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），（0，2，1）∴=（-2，0，1），=（-2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．∴．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为4．（2020·黑龙江道里哈尔滨三中高三二模（理））已知四面体中，，，两两垂直，，与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示：设，，，，，.，，.设平面的法向量，则，令，得，，故.因为直线与平面所成角的正切值为，所以直线与平面所成角的正弦值为.即，解得.所以平面的法向量，故到平面的距离为.故选：D5．（2020·山东省济南市莱芜第一中学高二月考）在棱长为1的正方体中，点为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为则令可得，所以设直线与平面所成角为，故选：B6．（2018·浙江高三其他）如图，在长方体中，，，，分别是，，的中点，记直线与所成的角为，平面与平面所成二面角为，则（）A． B．C． D．【答案】B【解析】连接,如图，在长方体内知,所以为异面直线与所成的角为，易知为等边三角形，所以，因为平面,平面，所以又，所以平面，同理可得平面，则，可分别视为平面，平面的一个法向量，又因为在长方体内易知，而故与的夹角为，所以或，即，故选：B7．（2020·浙江镇海中学高三三模）在三棱柱中，是棱上的点（不包括端点），记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设三棱柱是棱长为的正三棱柱，是棱的中点，以为原点，在平面中，过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，直线与直线所成的角为，,直线与平面所成的角为，平面的法向量，，，设平面的法向量，则，取，得，二面角的平面角为，，，故选：D8．（2020·浙江衢州高二期末）在底面为锐角三角形的直三棱柱中，是棱的中点，记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题可知，直三棱柱的底面为锐角三角形，是棱的中点，设三棱柱是棱长为的正三棱柱，以为原点，在平面中，过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，直线与直线所成的角为，，，直线与平面所成的角为，，平面的法向量，，，设平面的法向量，则，取，得，二面角的平面角为，由图可知，为锐角，即，，，由于在区间上单调递减，，则.故选：A.9．（2020·浙江省杭州第二中学高三其他）空间线段，，且，设与所成的角为，与面所成的角为，二面角的平面角为，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为空间线段，，所以可将其放在矩形中进行研究，如图，绘出一个矩形，并以点为原点构建空间直角坐标系：因为，所以可设，，，则，，，，，，，故与所成的角的余弦值，因为根据矩形的性质易知平面平面，平面，所以二面角的平面角为，，，所以即与面所成的角，故，因为，所以，故选：A.10．（2020·四川高三三模（理））如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC＝4，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为半圆弧的中点，若异面直线BD和AB1所成角的余弦值为，则该几何体的体积为（）A．16+8π B．32+16π C．32+8π D．16+16π【答案】A【解析】设在底面半圆上的射影为，连接交于，设.依题意半圆柱体底面直径，为半圆弧的中点，所以且分别是下底面、上底面半圆的圆心.连接，则与上下底面垂直，所以，以为轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为，则，所以，由于异面直线和所成的角的余弦值为，所以，即.所以几何体的体积为.故选：A二、多选题11．（2019·江苏徐州高二期末）下列命题中正确的是（）A．是空间中的四点，若不能构成空间基底，则共面B．已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为【答案】ABD【解析】对于A，是空间中的四点，若不能构成空间基底，则共面，则共面，故A对；对于B，已知为空间的一个基底，则不共面，若，则也不共面，则也是空间的基底，故B对；对于C，因为，则，若，则，但选项中没有条件，有可能会出现，故C错；对于D，∵，则则直线与平面所成角的正弦值为，故D对；故选：ABD．12．（2020·山东平邑高二期末）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（）A． B．C．向量与的夹角是60° D．与AC所成角的余弦值为【答案】AB【解析】以顶点A为端点的三条棱长都相等,它们彼此的夹角都是60°，可设棱长为1,则而，所以A正确.=0,所以B正确.向量,显然为等边三角形，则.所以向量与的夹角是,向量与的夹角是,则C不正确又，则，所以，所以D不正确.故选：AB13．（2020·福建厦门高二期末）正方体中，E、F、G、H分别为、BC、CD、BB、的中点，则下列结论正确的是（）A． B．平面平面C．面AEF D．二面角的大小为【答案】BC【解析】由题可知，在底面上的射影为，而不垂直，则不垂直于，则选项不正确；连接和，E、F、G、H分别为、BC、CD、BB、的中点，可知，所以平面，则平面平面，所以选项正确；由题知，可设正方体的棱长为2，以为原点，为轴，为轴，为轴，则各点坐标如下：，设平面的法向量为，则，即，令，得，得平面的法向量为，所以，所以平面，则选项正确；由图可知，平面，所以是平面的法向量，则.得知二面角的大小不是，所以不正确.故选：BC.14．正三棱柱中，，则（）A．与底面的成角的正弦值为B．与底面的成角的正弦值为C．与侧面的成角的正弦值为D．与侧面的成角的正弦值为【答案】BC【解析】如图，取中点，中点，并连接，则，，三条直线两两垂直，则分别以这三条直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系；设；则；，，，，1，，，，，，1，；，0，，．底面的其中一个法向量为：，与底面的成角的正弦值为，；错对．的中点的坐标为，，；侧面的其中一个法向量为：；与侧面的成角的正弦值为：，；故对错；故选：．三、单空题15．（2020·四川省南充市白塔中学高二月考（理））已知平面的一个法向量，，，且，则直线与平面所成的角为______．【答案】【解析】设直线与平面所成的角为，则，∴直线与平面所成的角为．故答案为：．16．（2019·河南高二竞赛）等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于．【答案】【解析】设AB=2,作CO⊥面ABDEOH⊥AB，则CH⊥AB，∠CHO为二面角C−AB−D的平面角，，OH=CHcos∠CHO=1，结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，故EM,AN所成角的余弦值。17．（2019·安徽埇桥北大附宿州实验学校高二期末（理））若平面，的法向量分别为，，则这两个平面所成的锐角的二面角的余弦值为________.【答案】【解析】两个平面，的法向量分别为，，则这两个平面所成的锐二面角的大小是，，这两个平面所成的锐二面角的余弦值为.故答案为：.四、双空题18．（2020·浙江宁波高二期末）在正四面体中，，分别为棱、的中点，设，，，用，，表示向量______，异面直线与所成角的余弦值为______.【答案】..【解析】画出对应的正四面体,设棱长均为1则(1).(2)由(1),又.又.设异面直线与所成角为则.故答案为：(1)..(2).19．（2018·北京海淀高二期末（理））已知棱长为的正四面体，为在底面上的正射影，如图建立空间直角坐标系，为线段的中点，则点坐标是__________，直线与平面所成角的正弦值是__________．【答案】【解析】由题意易得：，，，的法向量为，，,．故答案为，20．（2020·山东德州高二期末）如图，在直三棱柱中，，，则异面直线与所成角为______；二面角的余弦值是______.【答案】【解析】直三棱柱中，，，，如图以为坐标原点，分别以，，为、、轴建立空间直角坐标系，则，，,，，,，所以异面直线与所成角为；设平面的法向量为则即令，则显然平面的一个法向量为故二面角的余弦值是故答案为：；21.如图，在三棱锥中，，且，M、N分别是AB和SC的中点，则异面直线SM与BN所成的角的余弦值为________，二面角大小为________.【答案】【解析】因为，所以以S为坐标原点，SA,SB,SC所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设，则所以异面直线SM与BN所成的角的余弦值为，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则由得可取，因为二面角为锐角，所以二面角大小为故答案为：，五、解答题22．（2020·上海高三专题练习）如图，在棱长为1的立方体中，是棱的中点，为平面内的点.（1）若平面，确定点的位置；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）是的中点；（2）1【解析】以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图：由棱长为1可得，，，，，，由是棱的中点可得，（1）由为平面内的点可设，则，，，若平面，则，解得即，所以是的中点；（2）由（1）知平面的一个法向量为，连接，可得，所以到平面的距离.23．（2020·全国高二课时练习）在直三棱柱中，，，是的中点.（1）求证：平面；（2）求直线到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：连接交于点，连接，则点为中点，又是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）解：因为平面，所以到平面的距离就等于点到平面的距离.以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，.设平面的法向量为，所以，即，即令，则.所求距离为.24．（2019·天津南开崇化中学高二期中）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面底面，且，，分别为棱，的中点.（1）求证：；（2）求异面直线与所成角的余弦值；（3）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）（3）【解析】（1）证明：由题意可得：侧面底面，取中点，因为，则交线，所以底面，如图，以，所在直线分别为轴和轴建立空间直角坐标系，则，，，，1，，，1，，，，，，0，，，，，则，则，所以；（2）解：设异面直线与所成角为，则.所以异面直线与所成角的余弦值为；（3）解：因为.设平面的一个法向量为，，，由，得，取，得，.所以，又，所以点到平面的距离.25．（2020·河南高三其他（理））《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qiandu);阳马指底面为矩形,一侧棱垂直