陕西省西安市东城第一中学2022-2023学年高二数学文上学期期末试卷含解析

陕西省西安市东城第一中学2022-2023学年高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，，则A等于（

）A．60°

B．45°

C．120°

D．30°参考答案：A2.已知为的导函数，则的图像是

参考答案：D

3.已知四棱锥S﹣ABCD的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内．当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于，则球O的体积等于（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】当此四棱锥体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥，根据该四棱锥的表面积等于，确定该四棱锥的底面边长和高，进而可求球的半径为R，从而可求球的体积．【解答】解：由题意，当此四棱锥体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥，∵该四棱锥的表面积等于，

设球O的半径为R，则AC=2R，SO=R，如图，∴该四棱锥的底面边长为AB=，则有+4××=，∴R=∴球O的体积是=．故选B．【点评】本题考查球内接多面体，球的体积，解题的关键是确定球的半径，再利用公式求解．4.函数有（

）A．极大值，极小值

B．极大值，极小值C．极大值，无极小值

D．极小值，无极大值参考答案：C5.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含个小正方形．则等于（

）A．39B．40

C．41

D．42参考答案：C略6.如果一个三位数的各位数字互不相同，且各数字之和等于10，则称此三位数为“十全十美三位数”（如235），任取一个“十全十美三位数”，该数为奇数的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】先利用枚举法确定总事件数，再从中确定奇数个数，最后根据古典概型概率公式得结果.【详解】任取一个“十全十美三位数”，包含的基本事件有：109，190，901，910，127，172，271，217，721，712，136，163，316，361，613，631，145，154，451，415，514，541，208，280，802，820，235，253，352，325，523，532，307，370，703，730，406，460，604，640，共40个，其中奇数有20个，∴任取一个“十全十美三位数”，该数为奇数概率为.故选：C．【点睛】本题考查古典概型概率，考查基本分析求解能力，属中档题.7.我校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N（90，a3）（a＞0），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（）A．600 B．400 C．300 D．200参考答案：D【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】由已恬得考试成绩在70分到110分之间的人数为600，落在90分到110分之间的人数为300人，由此能求出数学考试成绩不低于110分的学生人数．【解答】解：∵我校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N（90，a3）（a＞0），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，∴考试成绩在70分到110分之间的人数为1000×=600，则落在90分到110分之间的人数为300人，故数学考试成绩不低于110分的学生人数约为500﹣300=200．故选：D．8.如图，在圆O中，若弦AB＝3，弦AC＝5，则·的值（

）A．－8

B．－1

C．1

D．8参考答案：D9.已知直线及平面,其中,那么在平面内到两条直线距离相等的点的集合可能为①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集.其中正确的是（

）.(A)①②③；

(B)①②④；

(C)①④；

(D)②④．参考答案：B10.已知﹣1，a，b，c，﹣4成等比数列，则实数b为（）A．4 B．﹣2 C．±2 D．2参考答案：B【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的性质求得b=±2，验证b=2不合题意，从而求得b=﹣2．【解答】解：∵﹣1，a，b，c，﹣4成等比数列，∴b2=（﹣1）×（﹣4）=4，则b=±2，当b=2时，a2=（﹣1）×2=﹣2，不合题意，舍去．∴b=﹣2．故选：B．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f(x)＝x3＋ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是________．参考答案：(－∞，0)12.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱垂直底面的四棱锥称之为阳马．现有一阳马的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为▲cm3，表面积为▲cm2．参考答案：16；13.计算：+=_________．（用数字作答）参考答案：略14.设F1、F2是椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：设x=交x轴于点M，∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形∴∠PF2F1=120°，|PF2|=|F2F1|，且|PF2|=2|F2M|∵P为直线x=上一点，∴2（﹣c）=2c，解之得3a=4c∴椭圆E的离心率为e==故答案为：【点评】本题给出与椭圆有关的等腰三角形，在已知三角形形状的情况下求椭圆的离心率．着重考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．15.若以直角坐标系的轴的非负半轴为极轴，曲线的极坐标系方程为，直线的参数方程为（为参数），则与的交点A的直角坐标是

；

参考答案：16.数列的前项和则它的通项公式是__________参考答案：17.设圆的圆心为，是圆内一定点，为圆周上任一点，线段的垂直平分线与的连线交于点，则的轨迹方程为

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题14分）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，AB＝5，AA1＝BC＝4，点D是AB的中点．(1)求证：AC⊥BC1；(2)求证：AC1∥平面CDB1；(3)求三棱锥A1－B1CD的体积．参考答案：(1)证明：在△ABC中，AC＝3，AB＝5，BC＝4，∴AB2＝AC2＋BC2，∴AC⊥BC.又CC1⊥底面ABC，AC?底面ABC，∴AC⊥CC1.∵CC1∩BC＝C，CC1，BC?平面BB1C1C，∴AC⊥平面BB1C1C，而BC1?平面BB1C1C，∴AC⊥BC1.---------------5分(2)设B1C交BC1于E点，连结DE.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形BB1C1C是平行四边形，∴E是BC1的中点，又D是AB的中点，∴AC1∥DE，而DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1.----9分(3)连接A1D，A1C，过点C作CF⊥AB，垂足为F.19.（本小题满分12分）数列满足,且.（1）求（2）是否存在实数t,使得,且{}为等差数列?若存在,求出t的值;若不存在，说明理由.参考答案：（1）（2）设存在t满足条件，则由为等差，设（2），，。20.如图：已知常数，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点，建立如图坐标系，求P点的轨迹方程。

参考答案：解析：按题意有A（-2，0），B（2，0），C（2，4a），D（-2，4a）。设由此有E（2，4ak），F（2-4k，4a），G（-2，4a-4ak）。直线OF的方程为：

①直线GE的方程为：

②从①，②消去参数k，得点P（x，y）坐标满足方程，(矩形内部)21.二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．（1）求矩阵M；（2）设直线l在变换M作用下得到了直线m：x－y＝4，求l的方程．参考答案：（1）设M=，则有=，=，所以且

M=．（8分）（2）任取直线l上一点P(x，y)经矩阵M变换后为点P’(x’，y’)．因为，所以又m：，所以直线l的方程(x+2y)－(3x+4y)=4，即x+y+2=0．（16分）略22.正三棱锥V﹣ABC的底面边长是a，侧面与底面成60°的二面角．求（1）棱锥的侧棱长；（2）侧棱与底面所成的角的正切值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角．【分析】（1）过顶点V做VO⊥平面ABC，过O做OD⊥AB，垂足为D，连接VD，则∠VDO为侧面与底面成的二面角，从而∠VDO=60°，分别求出OD、VD的长，由此利用勾股定理能求出棱锥的侧棱长．（2）连结BO，∠VBO是侧棱与底面所成的角，由此能求出侧棱与底面所成的角的正切值．【解答】解：（1）过顶点V做VO⊥平面AB