天津青年路中学高三数学文上学期摸底试题含解析

天津青年路中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则=___________.参考答案：

6

2.设a，b是实数，则“ab＞0”是“a+b＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件已知参考答案：D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；试验法；简易逻辑．【分析】利用特例集合充要条件的判断方法，判断正确选项即可．【解答】解：a，b是实数，如果a=﹣1，b=2则“a+b＞0”，则“ab＞0”不成立，不是充分条件，如果a=﹣1，b=﹣2，ab＞0，但是a+b＞0不成立，不是必要条件，所以设a，b是实数，则“ab＞0”是“a+b＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．【点评】本题考查充要条件的判断与应用，基本知识的考查．3.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折起，使面BAC⊥面DAC，则四面体A﹣BCD的外接球的体积为（）A．π B．π C．π D．π参考答案：C【考点】球的体积和表面积．【分析】矩形ABCD中，由AB=4，BC=3，DB=AC=5，球心一定在过O且垂直于△ABC的直线上，也在过O且垂直于△DAC的直线上，这两条直线只有一个交点O因此球半径R=2.5，由此能求出四面体ABCD的外接球的体积．【解答】解：矩形ABCD中，∵AB=4，BC=3，∴DB=AC=5，设DB交AC与O，则O是△ABC和△DAC的外心，球心一定在过O且垂直于△ABC的直线上，也在过O且垂直于△DAC的直线上，这两条直线只有一个交点O因此球半径R=2.5，四面体ABCD的外接球的体积：V=×π×（2.5）3=．故选：C．4.若，则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C略5.曲线在点A（0,1）处的切线斜率为（

）

A.1

B.2

C.

D.参考答案：A略6.若实数满足条件，则的最大值是（

）A.8

B.7

C.4

D.2参考答案：B.试题分析：首先根据题意画出约束条件所表示的区域如下图所示，然后令，则，要求的最大值，即是求的截距最大，由图可知，当直线过点C时，其截距最大，联立直线方程，解之得，即点C的坐标为，将其代入得，.考点：线性规划.7.下面是函数f(x)在区间[1，2]上的一些点的函数值x11.251.3751.40651.4381.51.611.8752f(x)-2-0.9840.260-0.0520.1650.625-0.3154.356由此可判断：方程f(x)=0的一个近似解为（

）(精确度0.1，且近似解保留两位有效数字)A.1.2

B.1.3

C.1.4

D.1.6参考答案：C略8.△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a=2csinA，则C为（）A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°参考答案：C【考点】正弦定理．【分析】已知等式利用正弦定理化简，根据sinA不为0，求出sinC的值，即可确定出C的度数．【解答】解：已知等式a=2csinA，利用正弦定理化简得：sinA=2sinAsinC，∵sinA≠0，∴sinC=，则C=30°或150°．故选：C．9.设等差数列的前项和为，、是方程的两个根，则等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略10.下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数是A.

B.

C.

D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若圆：x2＋y2－4x＋8＝0，直线l1过点(－1，0)且与直线l2：2x－y＝0垂直，则直线l1截圆所得的弦长为

参考答案：12.已知实数满足线性约束条件，目标函数，若取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数的取值范围是

．参考答案：13.数据的标准差是______________。参考答案：

解析：

14.若直线与函数（的图像有两个公共点，则的取值范围是

.参考答案：略15.几何证明选讲选做题）如图，是圆的切线，为切点,是圆的割线．若，则______．参考答案：略16.在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则__________

参考答案：117.已知一个几何体的三视图及其长度如图所示，则该几何体的体积为

.

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）

如图，在三棱柱中，侧面底面ABC，，点S是侧棱延长线上一点，EF是平面SBC与平面的交线．

(I)求证：；

(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值．参考答案：19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知．（Ⅰ）若为的中点，求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．参考答案：略20.设正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=+an，n∈N*．正项等比数列{bn}满足：b2=a2，b4=a6．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）设cn=，数列{cn}的前n项和为Tn，求所有正整数m的值，使得恰好为数列{cn}中的项．参考答案：考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用递推式、等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）由题意得cn=，可得T2m=（a1+a3+…+a2m﹣1）+（b2+b4+…+b2m）=3m+m2﹣1．T2m﹣1=T2m﹣b2m=3m﹣1+m2﹣1，可得≤3，故若使得恰好为数列{cn}中的项，只能为c1，c2，c3．分类讨论即可得出．解答：解：（1）∵an＞0，当n=1时，a1=+，解得a1=1．由Sn=+an，当n≥2，Sn﹣1=，两式相减，得=0．又∵an＞0，∴an+an﹣1≠0，∴an﹣an﹣1=1，∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1，∴an=1+（n﹣1）=n．由b2=a2，b4=a6．∴q2===3，q＞0．∴q=，∴bn==．（2）由题意得cn=，∴T2m=（a1+a3+…+a2m﹣1）+（b2+b4+…+b2m）=+=3m+m2﹣1．T2m﹣1=T2m﹣b2m=3m+m2﹣1﹣2×3m﹣1=3m﹣1+m2﹣1，∴==3﹣≤3，故若使得恰好为数列{cn}中的项，只能为c1，c2，c3．（i）若3﹣=1，则3m﹣1=0，∴m无解．（ii）若3﹣=2，可得3m﹣1+1﹣m2=0，显然m=1不符合题意，m=2符合题意．当m≥3时，即f（m）=3m﹣1+1﹣m2，则f′（m）=3m﹣1ln3﹣2m，设g（m）=3m﹣1ln3﹣2m，则g′（m）=3m﹣1（ln3）2﹣2＞0，即f′（m）为增函数，故f′（m）≥f′（3）＞0，即f（m）为增函数，故f（m）＞f（3）=1＞0，故当m≥3时，方程3m﹣1+1﹣m2=0无解，即m=2是方程唯一解．（iii）若3﹣=3，则m2=1，即m=1．综上所述：m=1或m=2．点评：本题考查了递推式、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．21. 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为。现有甲、乙两人从袋中轮流、不放回地摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……直到袋中的球取完即终止。若摸出白球，则记2分，若摸出黑球，则记1分。每个球在每一次被取出的机会是等可能的。用x表示甲四次取球获得的分数之和． (Ⅰ)求袋中原有白球的个数； (Ⅱ)求随机变量x的概率分布列及期望Ex．参考答案：解：（Ⅰ）设袋中原有n个白球，由题意知：， 解之得n=3或n=-2（舍去），即袋中原有3个白球； (Ⅱ)由上得。袋中有3个白球、4个黑球。甲四次取球可能的情况是：4个黑球、3黑1白、2黑2白、1黑3白。相应的分数之和为4分、5分、6分、7分，即x可能的取值是4,5,6,7。 ；； ；x4567P 所以x的概率分布列为：

略22.已知函数．（Ⅰ）若，求实数的取值范围；（Ⅱ）若不等式恒成立，求实数的取值范围．参考答案：（Ⅰ）∵，∴，……………1分

①当时，得，，∴；