因式分解分组分解法教师版

因式分解分组分解法教师版分组分解法是因式分解的一种基本方法，通过对多项式进行适当的分组，将多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式或符合公式的特点，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。例如，对于多项式am+an+bm+bn，由于既没有公因式，也不适用公式法，可以将其分组为am+an和bm+bn，然后应用公因式法得到(m+n)(a+b)。如果一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。举个例子，对于多项式a2-ab+ac-bc，可以分组为a(a-b)+c(a-b)，然后应用公因式法得到(a+c)(a-b)。类似地，对于多项式x3+bx2+ax+ab，可以分组为x2(x+b)+a(x+b)，然后应用公因式法得到(x+b)(x2+a)。总之，分组分解法是一种非常实用的因式分解方法，可以帮助我们快速有效地分解多项式。【点评】此篇文章为数学题目的解答，需要将其中的公式和符号正确地呈现出来。同时，文章中的每个例子都考察了学生的分组分解和提取公因式的能力，需要注意符号的变化和分解的彻底性。【例5】将2ax-10ay+5by-bx分解因式。原式=2a(x-5y)-b(x-5y)=(2a-b)(x-5y)【例6】将6k2-6mn+9km-4kn分解因式。原式=3k(2k+3m)-2n(2k+3m)=(3k-2n)(2k+3m)【例7】将32ac2+15cx2-48ax2-10c3分解因式。原式=16a(2c2-3x2)-5c(2c2-3x2)=(2c2-3x2)(16a-5c)【例8】将ac2+bd2-ad2-bc2分解因式。原式=a(c2-d2)+b(d2-c2)=(c2-d2)(a-b)=(c-d)(c+d)(a-b)【例9】将x2+ax2+x+ax-1-a分解因式。原式=x2(1+a)+x(1+a)-(1+a)=(1+a)(x2+x-1)【例10】将x4+x3+x2-1分解因式。原式=x3(x+1)+(x+1)=(x+1)(x3+1)=(x+1)2(x2-x+1)【例11】将a2b2-a2-b2+1分解因式。原式=a2(b2-1)-(b2-1)=(a2-1)(b2-1)=(a-1)(a+1)(b-1)(b+1)$(2k+1)^2+(2k+3)^2+(2k+5)^2=251$化简得：$12k^2+36k+35=0$解得：$k=-\frac{5}{6}$或$k=-\frac{7}{4}$因为$k$必须为整数，所以$k=-1$，即三个连续奇数为$2k+1=7,9,11$。【点评】考查学生解方程的能力，需要将问题转化为代数方程式并解出正确答案。注意判断解的合理性。2(2k+1)²+(2k+3)²+(2k+5)²=251，即4k²+4k+1+4k+12k+9+4k+2225+k251=0．整理，得：k²+3k-18=0，即(k+6)(k-3)=0．∵k≥0，∴k=3．∴这三个连续奇数为7、9、11．【点评】设三个连续奇数是难点，然后利用完全平方公式将式子化为一元二次方程，再利用因式分解的思路求出方程的解。已知：a=111/(x+20)，b=x+19，c=x+21，求：a²+b²+c²-ab-bc-ac的值。【难度】★★★【答案】3。【解析】由a²+b²+c²-ab-bc-ac，可得：1/2(a²+b²+c²-ab-bc-ac)=1/2(2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac)=1/2[(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²]。把已知代入，可得：a²+b²+c²-ab-bc-ac=1/2(1+4+1)=3。【点评】主要利用系数乘以2后得到的三组完全平方公式，此类题目具有一般性。已知三条线段长分别为a、b、c其中a<b<c，且满足a²+c²<b²+2ac。证明：以a、b、c为三边能构成三角形。【难度】★★★【答案】由a²+c²-2ac<b²，即(a-c)²<b²，故c-a<b，又c最大，可得以a、b、c为三边能构成三角形。【点评】考查学生对于构成三角形的条件判定，以及运用因式分解求解不等式的能力。求方程x-y=xy的整数解。【难度】★★★【答案】x=1，y=2。【解析】由方程可得x-y=xy，x(1-y)=y，y=1/(1-x)。因为x、y均为整数，故1-y=±1，所以y=2或0。当y=0时，x=0，不符合原方程。故y=2，x=1。【点评】本题综合性较强，主要考查利用因式分解求解方程以及如何去求整数解，注意对方法的总结。【习题17】已知：$x^2+10xy+25y^2-1=0$，化简：$x^3+5x^2y+x^2$。【答案】$x^2$或$2x^2$。【解析】由$x^2+10xy+25y^2-1=0$，可得：$(x+5y)^2-1=0$，因此$x+5y=\pm1$。由$x^3+5x^2y+x^2=x^2(x+5y+1)$，因此$x^3+5x^2y+x^2$的值为$x^2$或$2x^2$。【点评】本题主要考查利用因式分解求解方程，以及利用整体代入进行求值的思想。【习题18】把多项式$2a^3+a+1+a^4+a^2+1$分解因式，所得的结果为（）。A.$(a^2+a-1)^2$B.$(a^2-a+1)^2$C.$(a^2+a+1)^2$D.$(a^2-a-1)^2$【答案】C【解析】$2a^3+a+1+a^4+a^2+1=2a^3+2a^2+2a+a^4+a^2+1=a^2(a^2+2a+1)+2a^2+2a+1=(a^2+a)^2+2(a^2+a)+1=(a^2+a+1)^2$。【点评】考查学生分组分解方法的运用，注意先拆再重新分组。【习题19】因式分解：$x^2-2x+8y-16y^2$。【答案】$(x-4y)(x+4y-2)$。【解析】$x^2-2x+8y-16y^2=x^2-2x+1-1+8y-16y^2=(x-1)^2-(1-4y)^2=(x-1+1-4y)(x-1-1+4y)=(x-4y)(x+4y-2)$。【点评】考查学生分组分解方法的运用以及如何添项凑完全平方公式。【习题20】因式分解：$x^2-y^2+2x+4y-3$。【答案】$(x-y+3)(x+y-1)$。【解析】$x^2-y^2+2x+4y-3=x^2+2x+1-(y-2)^2=(x+1)^2-(y-2)^2=(x+1-y+2)(x+1+y-2)=(x-y+3)(x+y-1)$。【点评】考查学生分组分解方法的运用以及如何添项凑完全平方公式。【习题21】已知：$a^2+b^2=1$，$c^2+d^2=1$，且$ac+bd=k$，求$ab+cd$的值。【答案】$ab+cd=\frac{k^2-1}{2}$。【解析】$(ac+bd)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$，即$k^2=1-(ad-bc)^2$。因此$ab+cd=\frac{1}{2}(2abcd)=\frac{1}{2}(2abcd+2a^2c^2-2a^2c^2-2b^2d^2)=\frac{1}{2}((ac+bd)^2-a^2c^2-b^2d^2)=\frac{1}{2}(k^2-1)$。【点评】考查学生分组分解方法以及平方差公式的运用，注意先拆再重