2023年全国高三数学联赛吉林赛区预赛试题（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023年全国高三数学联赛吉林赛区预赛试题一、单选题（本大题共6小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知等腰梯形ABCD中，AD//BC，BCA.−212 B.−10 C.−2.边长为a的正方形ABCD和正方形ABEF所在的两个半平面所成的二面角为120∘，M，N分别是对角线AC和BA.(22a,a] B.3.下列关于方程4x2+A.方程没有负实数根 B.方程没有有理根

C.方程有两个实数根 D.方程只有一个实数根4.已知数列{an}满足a7=16A.不存在m∈N*，使得当n≥m时，an<2;

B.不存在m∈N*，使得当n≥m时，an>5.已知函数f(x)=x2A.4 B.72 C.3 D.6.已知函数f(x)=A.在[−π,π]内有两个零点; B.f(x)的图象关于点(π,二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）7.已知如下的两组数据：第一组：20，21，22，25，24，23第二组：22，24，23，25，a，26若两组数据的方差相等，则实数a的值为

．8.已知集合M={x|x2−9>0}，N9.已知△ABC为锐角三角形，b=2c，且sinB10.前100个正整数中，能写成两个正整数平方差的数的总和为

．11.若在1，2，3，⋯，18的任意一个排列中，总能找到连续6个数之和不小于m，则实数m的最大值为

．12.若不等式ab+b2+c2≥λ(a+b)c三、解答题（本大题共4小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）13.(本小题15.0分)已知椭圆M:x2a2(Ⅰ)求椭圆M的方程;(Ⅱ)过点Q(−2,−1)作直线l与椭圆M的下半部分相交于两个不同点AB，连接PA，PB

14.(本小题15.0分)

已知函数f(x)=ex−1+15.(本小题15.0分)

已知四边形ABCD内接于圆O，圆O在A、C处的两条切线相交于点P.若点P不在BO的延长线上，且PA216.(本小题15.0分)设n为给定的正整数，Sn⊆{a|a=(p1,p2,⋯,p ①若β=γ，则 ②若β≠γ(Ⅰ)当n=5时，求集合S(Ⅱ)当n≥6时，求集合Sn答案和解析1.【答案】B

【解析】解：以B为坐标原点，为BC为xB(0,0)，∴CA∴C故正确选项为B．2.【答案】D

【解析】解：作MP⊥AB于点P，连P设AM=FN=∴M即MN由题意0≤∴当x=当x=0或2∴MN的取值范围是[323.【答案】D

【解析】解：⇔⇔∴∴故正确选项为D．4.【答案】C

【解析】解：首先，由a7=163及递推公式，可得∵an−2=3∵a9=−8，其次，由递推关系易得a10∵an−an−1=3an−1又由递推关系式可得an∴a∵n≥10时，7−∴故正确选项为C．5.【答案】A

【解析】解：P(x2P到直线y=x+P到点M(2,当M，P，Q共线时，IP最小值为M(2,−2∵∴∴f(x)的最小值为4，在故正确选项为A．6.【答案】C

【解析】解：(1)根据y1=2sinx和y2=sin{f(所以f(π+x)+(3)因为f(x+2π)=f当0<x<2π3时，2cosx当2π3<x<4π3时，2当4π3<x<2π时，2cos所以f(x)故正确选项为C．7.【答案】27或21

【解析】解：将两组数据重新排列：第一组：20，21，22，23，24，25第二组：22，23，24，25，26，a再将两组数据重新排列：第一组：20，21，22，23，24，25第二组：a，22，23，24，25，26根据D(X+m)=DX(又由a满足如下的方程：1=+知a最多有两个值．综上，a=27或8.【答案】{a【解析】解：由题意，M∩N为二元集合，M=设f(x解得12≤所以实数a的取值范围是{a9.【答案】(1【解析】解：由sinB−sin又b=2于是2sinC−sinC=2sinCcos于是cosA=12，因为因为C=(====因为△ABC是锐角三角形，所以2所以(cosB10.【答案】3795

【解析】解：1不能写成两个正整数平方差对于大于1的奇正整数2k+1可以写成两个正整数平方差．对于大于4的被4整除的偶数4k，有4k=(k+1对于被4除余2的正整数4k+2(k=0,1,2当x，y奇偶性相同时，(x+y)(x−y)被4整除，与4k+2不能被所以形如4k综上，所求总和为(111.【答案】57

【解析】解：将1，2，3，⋯，18的任意一个排列a1，a2，a3，⋯(a1,a则三组和的平均值为1+2+又对1，2，3，⋯，18的如下排列：18，17，16，3，2，1，15，14，13，6，5，4，12，11，10，9，8，7，易知任意连续6个数之和最大为57．所以m的最大值为57．12.【答案】2【解析】解：由题意b+a≥≥2=当b+c=a且ca+b=∴ab+b2+c13.【答案】解：(Ⅰ)由题意得a=2,2c=2(Ⅱ)设直线l:由x+2=设A(x1,y1)由题设，可设C(xC由P(−2,0)，从而xc同理x0所以1=−即QC+Q

【解析】略14.【答案】解：(1)当A≥所以f(x)故f(x(2)当A<−即f′(x故f′从而f(x)故f(综上，实数A的取值范围是{

【解析】略15.【答案】证明：设PB交圆O于点E，则P故PD从而△O所以∠O所以∠又PA2=故△APD从而A由APDP得△APB∽从而A由(1)(于是S故S△从而对角线BD平分对角线A

【解析】略16.【答案】解：(Ⅰ)显然S5中的每个元素含奇数个1{a|a=(p1,p2,⋯,p5)，第一组：(1,0,0,第二组：(0,1,第三组：(0,0,第四组：(0,0,第五组：(0,0,显然每组中至多只有一个在S5中，所构造S5={(1,0,0综上，所求最大值为5．(Ⅱ)对于Sn中的任意元素β=(x1一方面，当Sn={(1,0,0,0另一方面，用反证法，假设Sn含m个元素，m>对于