2021安徽考研数学二真题【含答案】

2021安徽考研数学二真题试卷

一、选择题：I〜10小题，每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选

项是符合题目要求的.

1.当x-0,£(e"T)d，是，的

A.低阶无穷小.B.等价无穷小.C.高阶无穷小.D.同阶但非等价无穷小.

2(e？-1)

lim---------------=lim,2x6°,故选C.

—>xx->o——俅---=lim-

11°7£

2.函数/(x)=《x在x=0处

[1,x=。

A.连续且取极大值B.连续且取极小值

C.可导且导数等于零D.可导且导数不为零

D

v

ex1।-ie-l

因为lim=~=1=/(0),故连续；又因为「％―—ev-l-x21,故可

今o丫lim-----------=--------z------=—

%->0xX22

导，所以选D.

3.有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2CM/S,-3cm/5,当底面半径为

10cm,高为5cm时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为

A.1257rm3/s,407rm2/s

B.125^?m3Is-407rm2Is

C.-100zr,m3/s,40^/722/s

D.-1OO^m3/s-40^,m2/s

C.

drdh,2

=2，=—3；V=R广h，S=2nrh+2兀/.

dtdt

dVdr°dh

211rh_+兀广_=-IOOTI.

drdtdt

dSdrdhdr

=2nh+2〃+4兀〃=40TI.

dzdrdrdr

h

4.设函数/(幻=以一切11双。〉0)有2个零点,则的取值范围

a

A.(e,+oo)B.(0,e)C,(0,)D.(I+oo)

ee

A.

f(x)=ax-b\rvc,^b<0,不满足条件，舍去；若b〉0,令/'(x)=。一"=0,

得x=".在‘()<"oo\(X)>0.

limf(x)-+oo,Zzm/(x)=-Foo,

x->0+x->+oo

令/')4-例电”=/l-叱幻<0,得>1,踮'>e.故选A.

W一I)■■

5.设函数/(x)=secx在x=0处的2次泰勒多项式为1+以+亦，则

A.a=l,8=」,,1

B.a=1,人=

22

C,1C,1

C.a=O,b=-D.a=0,b=

22

D.

D=1+,『+0(尤2).

/(x)=secx=/(O)+/z(O)x+加炉+。

22

所以可得。=0,b=l

2

6.设函数/(x,y)可微，且/(x+l,e')=x(x+l)2j(x,x2)=2x2]nx,则q〃i/)=

A.dx+dyB.dx-d>?C.dyD.-dy

选C

由于/(x+1,e*)=x(x+l)2,两边同时对X求导得

,x2

/1(x+l,e)+力(x+l,e*)ex=(x+1)+2x(x+l).

令工=0得/(1」)+/(1/)=1+0,/z(x,x)+/r(x,x2)2x=4xInx+2x2-;

1212-

令X=1得//(1,1)+2^(1,1)=2.因此力'(1,1)=0；力(U)=1.

所以4〃l,l)=dy,故选C.

7.设函数/(X)在区间［0,1］上连续，则［)(x)dx=

"(2k-1\1

A.lim%-----|_B.limZ/i-----|_

"-*%=］(2〃)2n"T8*=l

2"(k-\}1(ky2

C.|_D.limZ/|一|_

"f8*=i12〃J〃f*=i^2n)n

(b1A

|将［0』］的区间〃等分，每一份取区间中点的函数值/-|B.

、/z2n)

8.二次型f(x,x,x)=(x+x)2+O+x)2-(x—x)2的正惯性指数与负惯性指数依

123122331

A.2,0D.L2

f^X,X,X)=(x+x『+(X+x)2-(1-X)

123，、12/、23，、317

=X2+2XX+x2+x24-2xx+x2-x2+2xx-x2

112222333I31

2x2+2xx+2xx+2xx.

'01?

二次型对应矩阵为121L

、11°>

A-1-12+10-2-1

\^E-A\=-l2-2-1-12-2-1

-1—1Z-1-1A

100

=(2+l)-lA—2—2

-1-12-1

=(2+l)((/l-2)(2-l)-2]

=2(2+1)(2-3)

则p=1q=1.

9.设3阶矩阵A=（四,az,a.：）,5=（4，4,A）,若向量组a3可以由向量组4,夕2,43

线性表出，则（）

A.Ax=0的解均为Bx=0的解.B.4Tx=（）的解均为加工=0的解.

C.Bx=0的解均为Ax=0的解.D.BTx=0的解均为ATx=0的解.

D

由题意，可知A=5C,*x=0的解均为的解，即的解，D

选项正确.

f1of

10.已知矩阵A=2-11，若下三角可逆矩阵尸和上三角可逆矩阵。，使得PAQ为

「125,

对角矩阵，则尸、。分别取（）.

00H1of1o0U100

1001B.2-10I'010

04[o0、-32”1o01

oOV101]fl00V12

-10:013D.01O',0-1

2”10

01,J3”[o0

C

0

通过代入验证-1

5"100J।00

2

A

选c

二、填空题(11-16小题，每小题5分，共30分)

lL「x3*dx=g.

1

ln3

“叼J2a+8Nr1)I

原式=2x3«dLr=f3.'4-=-L=—

J。J。In3”In3

[x=2e，+/+l,2

12.设函数y=y(x)由参数方程4确定，则。?_________.

[y=4(I)e，+产d『.

2

3

dy/(/)4e'+4(…l)e'+2f

===为

drx'(t)2/+1-5

d2y=3g=2J一=2

声drdx2e'+l«3

dz

13.设函数z=z(x,y)由方程(%+l)z+ylnz-arctan(2xy)=l确定，则丁二

&(0,2)

1

将x=0,y=2代入得z=l,

又对(x+l)z+yInz-arctan(2xy)=1两边同时求x的导数得

,dz1dz2v

z+(x+l)+y-=0

dxzdx1+(2x>')2

Qz

将X=0,y=2,Z=1代入上式得=1.

dx

’14.已知函数f(t)=Pdx\'sin⑦，则

y(2厂

兀2

cos.

2兀

12

rf-Xt/X(yx、

1呵J〃丫"‘=』町si〃芦=[I1sindr|dy,则

Jijyj

⑴2

“)=[%产，所以d#仍小及=一兀2x4兀2

—cos——=—cos—.

2兀12兀

-2

15.微分方程y'—y=0的通解y=_____.

Cer+e21Csin"费x+Jcos®],

其中C,C,C为任意常数.

।I222)123

-1+^z;r故其通解为

设其特征方程为尸—1=0,则r=l；r=

1222322

1x2-1

16.多项式/(x)=c,,中x3项的系数为

21x1

2-11x

-5

/项为(—1"Zd+L1)'/=—51,因此/项系数为—5

三、解答题：17〜22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本题满分10分）

曝极限■!?”」)

—>ex-1sin尤

[1+产出、v

sinx+xtz-e+1

lim'0-一l=limsinx£edr

v

DIe'-1sinx1-TO(e-Ijsinx

IJA''

sin-e"+l”

-sinxfed/..sinx-e+isinx|edr

lim---------------h-----------------=hm,+lim——与-----

10]X]XT。x%->0x~

33>22x,2

X-~X+O(^Xj-l-X-~x+o(x)pedr

1।1

=lim---------------------------------------------blim_____=--4-1=-

2

.v->0XKTOx22

18.(本题满分12分)

已知/(x)=WU,求/(X)的凹凸区间及渐近线.

1+X

f-x2

,।------x<0,x^-1

f(x)=<11+x

1匚x>0

[l+x'

X2___0

f(O)=lim山一=0

XT°X

-X2-0

/(0)=limJ£2—=0

DX

所以

1

x<0,xw—1

।。十小

=<|o,x=0

1-1x>0

[(l+x)3

_L-o

/■(0)=lim(l+x)-=2

ZX

-1+1-0

/(0)=lim(l+x)2=-2

XTOx

一i<x<o时，r<o

元>o时，r>o

因此，凹区间（一8,-1）,（0,+8）,凸区间（一1,0）

lim----=+oo,lim----=+oo,因此没有水平渐近线；

581+XXTF14-X

x=-l,x+l=0,且lim—x=-8.lim=+oo,因此存在铅直渐近线x=-l；

XT-l+l+XXT-11+X

人2

A

lim1+x=l,lim-x=~i,因此存在斜渐近线y=xT；

A'->+OCXXf+81+X

lim~X1殉m____x1，因此存在斜渐近线y=-x+1；

1+x=__+=

X+B'XIB1+X

19.(本题满分12分)

/(X)满足J学公=；f—x+C，L为曲线y=/(x)(4Wx<9),L的弧长为S,

L绕x

轴旋转一周所形成的曲面面积为A,求S和A.

/(x)1

解：I-二一九一1

yjX3

/(x)=l2-i2

9Ifl'l-'V2

s=[+1-X7-_xr\dx

」4VI22J

,=1[9(xi+,

2小、2M

=22

-T

20.(本题满分12分)

y=y(x)微分方程xy'-6y=-6,满足/)=10

(i)求y(x)

(2)P为曲线y=y(x)上的一点，曲线y=y(九)在点P的法线在y轴上截距为I。,为使Ip

最小，求P的坐标。

,66

解(1)y--y=-

xx

J6-J6*、

y=ex|-_e、+C

=x，［『-x^dx+c］

=1+Cx6.

根据由初始条件得C=L所以y=1+Jx6.

33

x,l+If।的法线为y-11+1/

(2)设在1

°3J°I3J°0

在y轴上的截距为I=1+1x6+1=%(x),

p至一300

〃'(x)=—2/+2/=0,得*=±1,得p点坐标为。,41「一1,41

0000——

IJIoI

【3八3)

21.（本题满分12分）

曲线（7+炉彳二月一丁。'。4N。）与X轴围成的区域D,求JJ巧.

4

'=r2cos2—=cos2。

1M

/=jj