2022-2023学年四川省泸州市重点学校高二（下）期中数学试卷（文科）（含解析）

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一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.现要完成下列项抽样调查：从瓶饮料中抽取瓶进行食品卫生检查；某生活小区共有名居民，其中年龄不超过岁的有人，年龄在超过岁不超过岁的有人，岁以上的有人，为了解居民对社区环境绿化方面的意见，拟抽取一个容量为的样本较为合理的抽样方法是()

A.抽签法，分层随机抽样B.随机数法，分层随机抽样

C.随机数法，抽签法D.抽签法，随机数法

2.甲、乙两人在天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则下列结论正确的是()

A.在这天中，甲、乙两人加工零件数的极差相同

B.在这天中，甲、乙两人加工零件数的中位数相同

C.在这天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数

D.在这天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差

3.若函数的图像在处的切线与直线垂直，则的值为()

A.B.或C.D.或

4.函数的图象大致为()

A.B.

C.D.

5.正方形的边长为，以为起点作射线交边于点，则的概率是()

A.B.C.D.

6.已知为实数，则“”是“方程表示的曲线为椭圆”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.用辗转相除法求正整数、的最大公约数的程序框图如图所示，用其计算和的最大公约数时，当第次到达判断框时，、、的值分别是()

A.，，B.，，C.，，D.，，

8.某市年至年新能源汽车年销量单位：百台与年份的数据如表，若根据表中的数据用最小二乘法求得关于的回归直线方程为，则表中的值为()

年份

年份

年销量

A.B.C.D.

9.圆关于直线对称，则的最小值是()

A.B.C.D.

10.正方体，棱长为，是的中点，则三棱锥的体积为()

A.B.C.D.

11.已知圆：，过直线：上一点向圆作切线，切点为，则的面积最小值为()

A.B.C.D.

12.已知，，，则，，的大小关系为()

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.某社区利用分层抽样的方法从户高收入家庭、户中等收入家庭、户低收入家庭中选出户调查社会购买力的某项指标，则中等收入家庭应选______户．

14.已知实数，满足，则的最大值为______．

15.设，分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆于、两点，若，轴，则椭圆的方程为．

16.若对任意的，均有成立，则称函数为和在上的“中间函数”已知函数，，，且是和在区间上的“中间函数”，则实数的取值范围是______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

已知的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系．

求的直角坐标方程，

过作直线交圆于，两点，且，求直线的斜率．

18.本小题分

“天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌”天宫课堂”是结合载人飞行任务，贯穿中国空间站建造和在轨运营系列化推出的，将由中国航天员担任“太空教师”，以青少年为主要对象，采取天地协同互动方式开展年月日时分，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲学校针对这次直播课，举办了”天宫课堂”知识竞赛，有名学生代表参加了竞赛，竞赛后对这名学生的成绩进行统计，将数据分为，，，这组，画出如图所示的频率分布直方图．

求频率分布直方图中的值；

估计这名学生竞赛成绩的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表；

若该校准备对本次知识竞赛成绩较好的的学生进行嘉奖，试问被嘉奖的学生的分数不低于多少？

19.本小题分

已知是函数的极值点，则：

求实数的值．

求函数在区间上的最值．

20.本小题分

如图所示，在直四棱柱中，，，且，，，是的中点．

Ⅰ证明：；

Ⅱ求点到平面的距离．

21.本小题分

已知，．

证明：；

证明：当时，．

22.本小题分

已知，分别是双曲线：的左、右焦点，，是上一点，，且．

求双曲线的标准方程；

经过点的直线与双曲线交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为，过点作为坐标原点，垂足为则在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：从瓶饮料中抽取瓶进行食品卫生检查，样本容量小，宜用抽签法，

某生活小区共有名居民，其中年龄不超过岁的有人，年龄在超过岁不超过岁的有人，岁以上的有人，具有明显的层次，宜用分层随机抽样．

故选：．

根据已知条件，结合抽签法、分层随机抽样的特点，即可求解．

本题主要考查抽签法、分层随机抽样的特点，属于基础题．

2.【答案】

【解析】解：对于，甲在天中每天加工的零件的个数为，，，，，

乙在天中每天加工零件的个数为，，，，，

对于，甲加工零件数的极差为，乙加工零件数的极差为，故A错误，

对于，甲加工零件数的中位数为，乙加工零件数的中位数为，故B错误，

对于，甲加工零件的平均数为，

乙加工零件数的中位数为，故C正确，

对于，甲加工零件数的方差为，

乙加工零件数的方程为，故D错误．

故选：．

根据已知条件，结合极差和中位数的定义，以及平均数和方差的公式，即可求解．

本题主要考查极差和中位数的定义，以及平均数和方差的求法，属于基础题．

3.【答案】

【解析】解：函数的导数为，

在处的切线的斜率为，

由切线与直线垂直，

可得，

解得或，

故选：．

求得的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，再由两直线垂直的条件，解方程可得所求值．

本题考查导数的运用：求切线的斜率，以及两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

4.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查函数图象的判断，一般从函数的定义域、值域、对称性、奇偶性、周期性、单调性等角度排除，或利用特殊值排除，考查逻辑推理能力，属于中档题．

利用函数的奇偶性即可判断选项C，由特殊的函数值的正负即可判断选项A，由时，的正负即可判断选项B，，从而得到答案．

【解答】

解：设，则其定义域为，

则，

故函数为奇函数，图象关于原点对称，故选项C错误；

又，故选项A错误；

当时，，所以，故选项D错误，选项B正确．

故选：．

5.【答案】

【解析】解：连接，则，

当时，，

则，

则的概率，

故选：．

根据几何概型的概率公式转化为夹角之间的关系即可．

本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件转化为夹角关系是解决本题的关键，是中档题．

6.【答案】

【解析】解：因为方程表示的曲线为椭圆，

所以且，

解得且，

因为，

所以“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件．

故选：．

先利用椭圆的标准方程的特征求出的范围，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

本题考查了充分条件与必要条件的判断，涉及了椭圆标准方程的理解和应用，解题的关键是掌握充分条件与必要条件的判断方法，属于基础题．

7.【答案】

【解析】解：，，进入循环，，

，，，

，，，

此时，，．

故选：．

根据框图，代入循环结构，依次得到，，的值．

本题考查程序框图的循环结构，里面涉及求余弦数，考查运算求解能力，是基础题．

8.【答案】

【解析】解：由题意，得，

，

因为关于的回归直线方程为，

所以，解得．

故选：．

先求出、，再利用回归直线过进行求解．

本题考查回归直线方程的性质，属于基础题．

9.【答案】

【解析】解：由，得，

圆心坐标为，

圆关于直线对称，

，即，

则

．

当且仅当，即，时上式等号成立．

的最小值是．

故选：．

化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，把圆心坐标代入直线方程，整理后借助于的代换，再由基本不等式求最值．

本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．

10.【答案】

【解析】解：如图所示：

取中点，连接，，

由题意可得，，，

所以，，

所以可得，，

所以，

所以，，

又因为，

所以，平面，

所以．

故选：．

取中点，连接，，通过计算证明平面，再根据求解即可．

本题主要考查锥体体积的计算，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．

11.【答案】

【解析】解：由圆：，得圆心，半径，

圆心到直线：的距离为，

则，

，

当直线与垂直，即时，最小，故，

．

故选：．

当圆心与点的距离最小，即距离为圆心到直线的距离时，切线长最小，可求的面积最小值．

本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属中档题．

12.【答案】

【解析】解：设，，则，，

当时，；当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

，，，中最大，

又，即，，

故．

故选：．

构造函数，并利用导数研究其单调性，再通过函数单调性比较大小．

本题考查利用函数的单调性比较大小，导数的应用，属基础题．

13.【答案】

【解析】解：由题知共有户家庭，设应选中等收入家庭为户，由分层抽样的定义知，解得

故答案为：

由分层抽样的定义直接利用比的关系得出结果．

本题主要考查的是分层抽样，是道基础题．

14.【答案】

【解析】解：画出实数，满足的可行域，如图：，解得，

将变形为作直线将其平移至时，直线的纵截距最大，最大为：．

故答案为：．

画出可行域，将目标函数变形画出相应的直线，将直线平移至时纵截距最大，最大．

利用线性规划求函数的最值时，关键是将目标函数赋予几何意义．

15.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的标准方程，椭圆的性质及几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．

求出，代入椭圆方程，结合，即可求出椭圆的方程．

【解答】

解：由题意，，，轴，，

不妨设在轴上方，

点坐标为，

设，，

，

，

代入椭圆方程可得，

，

，，

．

故答案为．

16.【答案】

【解析】解：依题意得：已知条件等价为：在区间上恒成立，

对于在区间上恒成立，变形为：，

令，易知单调递增，

，；

对于在区间上恒成立，变形为：，

令，

则，

，，

为增函数，，

在单调递增，

，

，

综上所述：，即，

故答案为：．

根据“中间函数”的定义列出不等式，将问题转化成不等式恒成立问题，利用参变分离以及构造函数的方法来解决函数最值，从而求出的取值范围．

本题考査了用参变分离的方法解决恒成立的问题，考查了用导数求函数单调性、极值、最值以及恒成立的等价形式，对学生分析问题和解决问题的能力有一定的要求，属于难题．

17.【答案】解：因为的极坐标方程为：，且，，

所以，，

故的直角坐标方程为．

设直线的倾斜角为，

则直线的参数方程为为参数，与联立，得，

设点对应的参数为，点对应的参数为，

则，

因为，

所以，联立可得，解得，

所以直线的斜率为或．

【解析】利用极坐标与直角坐标互化公式即可求解．

设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为为参数，代入圆方程中化简，利用根与系数的关系，结合已知和参数的几何意义即可求解．

本题主要考查极坐标公式，以及参数方程的应用，属于中档题．

18.【答案】解：由图可得，解得；

估计这名学生竞赛成绩的平均数；

设被嘉奖的学生的分数不低于，

因为第四组的频率为，第三组的频率为，

所以，所以，

得，

即被嘉奖的学生的分数不低于分．

【解析】利用频率组距直方图各个小长方形的面积之和为进行计算；

根据直方图数据和平均数的计算公式进行计算求解；

根据题意，从高分往低分统计，计算出小长方形的面积之和为时即可．

本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．

19.【答案】解：，

由题意知，或，

时，，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

所以为函数的极值点，满足要求；

时，，

因为，当且仅当时，，

所以函数在上单调递增，

不是函数的极值点，不符合题意．

则．

由知，

则，令，解得或，

故在单调递减，在单调递增，

又，，，

则，．

【解析】由求得的值，代入检验即可；

结合函数的单调性，求得函数在区间上的最值．

本题考查了函数的单调性，极值点，最值问题，考查导数的应用，是中档题．

20.【答案】Ⅰ证明：建立如图所示的空间直角坐标系，

则：，

则，

故BC；

Ⅱ解：由于，

设平面的法向量为，

则，据此可得，

且，

故点到平面的距离．

【解析】Ⅰ建立空间直角坐标系，求得两条直线的方向向量，利用方向向量的数量积为即可证得题中的结论；

Ⅱ分别求得平面的法向量和向量，然后利用点面距离公式可得点到平面的距离．

本题主要考查异面直线垂直的证明，点面距离的计算，空间向量及其应用等知识，属于中等题．

21.【答案】解：不等式，即不等式，分

设，则，，分

再次构造函数，则在时恒成立，

所以函数在上单调递增，

所以，

所以在上恒成立，

所以函数在上单调递增，

所以，

所以，

所以，即成立．分

由的解析可知，当时，且，

所以，分

当对