2022-2023学年山东省济宁市嘉祥县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列二次根式中化简后等于的是()

A.B.C.D.

2.一组数据，，，，，的中位数是()

A.B.C.D.

3.在直角三角形中，若股为，弦为，则勾为()

A.B.C.或D.

4.一次函数的图象大致是()

A.B.C.D.

5.，两名射击运动员进行了相同次数的射击，下列关于他们射击成绩的平均数和方差的描述中，能说明成绩较好且更稳定的是()

A.且B.且

C.且D.且

6.下列命题，其中是假命题的是()

A.对角线互相垂直的矩形是正方形B.对角线相等的菱形是正方形

C.有一组邻边相等的矩形是正方形D.对角线相等的平行四边形是正方形

7.已知等边三角形一边上的高为，则它的面积为()

A.B.C.D.

8.如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，若，则的长度为()

A.B.C.D.

9.如图，在方格纸中，点，，的坐标分别记为，，若，则点的坐标可能是()

A.

B.

C.

D.

10.如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点，的坐标分别为()

A.，B.，

C.，D.，

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是______．

12.已知一组数据，、的平均数为，则______．

13.如图，在中，，，，点，分别为，的中点，则______．

14.如图，在四边形中，，，，，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点若点是的中点，则的长为______．

15.把直线先向左平移个单位，再向下平移个单位后解析式变成______．

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分

计算：；

；

17.本小题分

如图，在中，是边上一点，若，，，，求的长．

18.本小题分

如图，在中，，交于点，点，在上，．

求证：四边形是平行四边形；

若，求证：四边形是菱形．

19.本小题分

在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离与他所用的时间的关系如图所示：

小明家离体育场的距离为______，小明跑步的平均速度为______；

当时，请直接写出关于的函数表达式；

当小明离家时，求他离开家所用的时间．

20.本小题分

“防溺水”是校园安全教育工作的重点之一某校为确保学生安全，开展了“远离溺水珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩百分制进行整理和分析成绩得分用表示，共分成四组：，，，，下面给出了部分信息：

七年级名学生的竞赛成绩是：，，，，，，，，，．

八年级名学生的竞赛成绩在组中的数据是：，，．

七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表

年级七年级八年级

平均数

中位数

众数

方差

根据以上信息，解答下列问题：

上述图表中______，______，______．

根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由一条理由即可；

该校七、八年级共人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩不低于的学生人数是多少？

21.本小题分

某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共台，已知甲型平板电脑进价元，售价元；乙型平板电脑进价为元，售价元．

设该商店购进甲型平板电脑台，请写出全部售出后该商店获利与之间函数表达式．

若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过元，全部售出所获利润不低于元，请设计出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润．

22.本小题分

如图，菱形的边长为，，点是边上任意一点端点，除外，线段的垂直

平分线交，分别于点，，，的中点分别为，．

求证：；

请直接写出的最小值为______；

当点在上运动时，的大小是否变化？如果不变，请进行证明；如果变化，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：．，因此选项A不符合题意；

B.，因此选项B不符合题意；

C.，因此选项C不符合题意；

D.，因此选项D符合题意；

故选：．

根据二次根式的性质将各个选项进行化简即可．

本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是正确解答的前提．

2.【答案】

【解析】解：从小到大排列此数据为：、、、、、，

这组数据的中位数为：．

故选：．

找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．

本题考查了中位数，掌握中位数的定义是关键．

3.【答案】

【解析】解：勾，

故选：．

题中已知一直角边分，弦为，即为求直角三角形中的另一直角边长度；然后根据勾股定理可知，斜边的平方等于两直角边平方的和，据此代入数据计算即可．

本题考查的是勾股定理，关键是掌握勾股定理计算方法．

4.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查的是一次函数的图象，先根据一次函数的系数判断出函数图象所经过的象限，由此即可得出结论．熟知当，时，一次函数的图象在二、三、四象限是解答此题的关键．

【解答】

解：在一次函数中，

，，

此函数的图象经过二、三、四象限，

故选：．

5.【答案】

【解析】解：根据平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定．

故选：．

根据平均数、方差的定义，平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定解答即可．

此题考查平均数、方差的定义，解答的关键是理解平均数、方差的定义，熟知方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小表明该组数据分布比较集中，即波动越小数据越稳定．

6.【答案】

【解析】解：对角线互相垂直的矩形是正方形，故A是真命题，不符合题意；

对角线相等的菱形是正方形，故B是真命题，不符合题意；

有一组邻边相等的矩形是正方形，故C是真命题，不符合题意；

对角线相等的平行四边形是矩形；故D是假命题，符合题意；

故选：．

根据正方形的判定逐项判断即可．

本题考查命题与定理，解题的关键是掌握正方形的判定定理．

7.【答案】

【解析】解：如图等边三角形中，于，，

，，

，

，

，

，

，

的面积．

故选：．

由等边三角形的性质得到，由勾股定理得到，求出，因此，于是的面积．

本题考查等边三角形的性质，勾股定理，关键是由等边三角形的性质得到，由勾股定理求出的长．

8.【答案】

【解析】解：由折叠补全图形如图所示，

四边形是矩形，

，，，

由第一次折叠得：，，

，

，

在中，根据勾股定理得，，

由第二次折叠知，，

．

故选：．

先判断出，进而判断出，利用勾股定理即可得出结论．

此题主要考查了折叠问题，等腰直角三角形的性质及矩形的性质，掌握折叠前后的对应边，对应角相等是解本题的关键

9.【答案】

【解析】解：如下图所示，

，，

，

．

故选：．

由平移得到，横坐标加，纵坐标加；因此要平移得到点，也是横坐标加，纵坐标加，得到点的坐标为．

本题主要考查用坐标来表示平移．

10.【答案】

【解析】解：作点关于直线的对称点，连接，关于轴的对称点，则；

由题意知，

，，即是等腰直角三角形，

，关于对称，

，

轴，，

，

则的周长，

根据两点之间线段最短可得，当，，，在同一直线上时，三角形周长最小，

此时，

设直线的解析式为，

则，解得，

直线的解析式为，

与直线联立得，

，

解得，，

，

当时，，即，

故选：．

作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，则，通过轴对称的性质可求出，待定系数法可求出的直线方程，结合轴对称的性质可得当，，，在同一直线上时三角形周长最小，从而可求出的坐标，与联立可求出的坐标．

本题考查了一次函数解析式的求解、轴对称的性质．求一次函数的解析式时常用待定系数法．本题的解题关键是作定点的两个对称点．

11.【答案】且

【解析】解：根据题意，得，

解得且，

故答案为：且．

根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零，列不等式组，解出即可．

本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握这两个知识点的应用，列出不等式组是解题关键．

12.【答案】

【解析】解：依题意有，

解得．

故答案为：．

平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．

本题考查了算术平均数，正确理解算术平均数的意义是解题的关键．

13.【答案】

【解析】解：，是中点，

，

，

是等边三角形，

，

，分别为，的中点，

是的中位线，

，

，

故答案为：．

由直角三角形的性质求出的长，由三角形中位线定理求出的长，即可得到答案．

本题考查了三角形的中位线定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，掌握以上知识点是解题的关键．

14.【答案】

【解析】解：连接，则．

，

．

在与中，

，，，

≌，

，

，．

在中，

，

，

，

．

故答案为：．

根据作图过程可得，是的垂直平分线，然后证明≌，得，再根据勾股定理即可求出的长．

本题考查了作图基本作图、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．

15.【答案】

【解析】解：把直线先向左平移个单位，再向下平移个单位后解析式变成为，即．

故答案为：．

直接根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．

本题考查一次函数图象与几何变换，熟知“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．

16.【答案】解：

；

．

【解析】先化简括号内的式子，再算括号外的乘法即可；

根据平方差公式和二次根式的除法化简，然后再算减法即可．

本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式的应用．

17.【答案】解：，，，

，，

，

为直角三角形，即，

，

在中，，，

由勾股定理得：．

【解析】首先根据已知条件计算得出，从而可判定为直角三角形，然后在中，又勾股定理即可求出的长．

此题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握实数的运算、勾股定理及其逆定理是解答此题的关键．

18.【答案】证明：在中，，，

．

，

四边形是平行四边形．

四边形是平行四边形，

，

，

，

，

，

，

，

平行四边形是菱形．

【解析】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．

根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；

根据平行四边形的性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得，进而可以证明四边形是菱形．

19.【答案】，；

如图，，，

设的解析式为：，

则，

解得：，

的解析式为：，

当时，关于的函数表达式为：；

当时，，

，

，

当小明离家时，他离开家所用的时间为或．

【解析】解：小明家离体育场的距离为，小明跑步的平均速度为；

故答案为：，；

如图，，，

设的解析式为：，

则，

解得：，

的解析式为：，

当时，关于的函数表达式为：；

当时，，

，

，

当小明离家时，他离开家所用的时间为或．

根据图象可以直接看到小明家离体育场的距离为，小明跑步的平均速度为：路程时间；

是分段函数，利用待定系数法可求；

小明离家时，有两个时间，第一个时间是小明从家跑步去体育场的过程中存在离家，利用路程速度可得此时间，第二个时间利用段解析式可求得．

本题考查了函数的图象，能够从函数的图象中获取信息是解题的关键，注意他所用的时间单位是．

20.【答案】

【解析】解：，

八年级名学生的竞赛成绩的中位数是第和第个数据的平均数，

；

在七年级名学生的竞赛成绩中出现的次数最多，

，

故答案为：，，；

八年级学生掌握防溺水安全知识较好，

理由：虽然七、八年级的平均分均为分，但八年级的众数高于七年级；

八年级组人数为人

估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是：人，

答：估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是人．

根据中位数和众数的定义即可得到结论；

根据八年级的众数高于七年级，于是得到八年级学生掌握防溺水安全知识较好；

利用样本估计总体思想求解可得．

本题考查读扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

21.【答案】解：由题意得：，

全部售出后该商店获利与之间函数表达式为；

由题意得：，

解得，

为正整数，

、、、，

共有四种采购方案：

甲型电脑台，乙型电脑台，

甲型电脑台，乙型电脑台，

甲型电脑台，乙型电脑台，

甲型电脑台，乙型电脑台，

，且，

随的增大而减小，

当取最小值时，有最大值，

即时，，

采购甲型电脑台，乙型电脑台时商店获得最大利润，最大利润是元．

【解析】此题考查了一次函数的实际应用，不等式组的应用，方案问题的解决方法，正确理解题意，根据题意列出对应的函数关系式或是不等式组解答问题是解题的关键．

根据利润等于每台电脑的利润乘以台数列得函数关系式即可；

根据题意列不等式组，求出解集，根据解集即可得到四种采购方案，由的函数关系式得到当取最小值时，有最大值，将代入函数解析式求出结果即可．

22.【答案】

【解析】证明：连接交于，连接，如图：

垂直平分，

，

四边形是菱形，

，，

垂直平分，