2022-2023学年福建省漳州市八年级（下）期末数学试卷（北师大版A卷）（含解析）

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一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.将长度为的线段向下平移后，所得线段的长是()

A.B.C.D.

2.由得到，则的取值范围是()

A.B.C.D.

3.年月日，“逐梦寰宇问苍穹中国载人航天工程三十年成就展”在中国国家博物馆展出，下列航天图标中，是中心对称图形的是()

A.B.

C.D.

4.下列各多项式中，可以运用提公因式法进行因式分解的是()

A.B.C.D.

5.关于的不等式组解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式组可以是()

A.B.C.D.

6.下列各式从左到右的变形中，正确的是()

A.B.

C.D.

7.如图，在中，是上一点，，，垂足为，是的中点，若，则的长为()

A.

B.

C.

D.

8.数学家斐波那契编写的算经中有如下问题，一组人平分元钱，每人分得若干，若再加上人，平分元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为人，则可列方程为()

A.B.

C.D.

9.如图，在平行四边形中，，，点在上，，则的度数为()

A.B.C.D.

10.如图，在方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是()

A.点B.点C.点D.点

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.使分式无意义的值为______．

12.因式分解：．

13.已知一次函数是常数，且，与的部分对应值如下表所示，那么不等式的解集是__________________．

14.如图，点在正五边形的边上运动若，请写出一个符合条件的的值为______．

15.如图，点为三边垂直平分线的交点，若，则的度数为______．

16.如图，在中，，为的中点，，交于点，，连接以下结论：四边形是平行四边形；；其中正确的结论是______写出所有正确结论的序号

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17.因式分解：．

四、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.本小题分

化简求值：，其中．

19.本小题分

某校体育组准备用元购买个篮球和若干根跳绳，已知篮球每个元，跳绳每根元求最多能购买多少根跳绳？

20.本小题分

某同学制作了一个简易的形分角仪来二等分任意一个角如图，该形分角仪是由相互垂直的两根细棍，组成，是的中点寻找角的平分线时，需要调整位置，使得所分角的顶点在上，同时保证形分角仪的，两点正好落在所分角的两条边，上，此时就会平分为说明制作原理，请结合如图图形，用数学符号语言补全“已知”、“求证”，并写出证明过程．

已知：如图，点，分别在的边上，经过点，______，______．

求证：______．

21.本小题分

如图，在中，平分交于点，于点．

在边上求作一点，使得；尺规作图，保留作图痕迹，不写作法

若，，，求的长．

22.本小题分

已知：关于的分式方程．

若的值为，求该方程的解；

若该方程的解为非负数，求的取值范围．

23.本小题分

如图，在中，，为边上一点，过点，分别作射线的垂线，垂足分别为点，点在的延长线上，且．

求证：四边形为平行四边形；

若，的周长为，求的长．

24.本小题分

如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，延长交的延长线于点．

求的度数；

求的长．

25.本小题分

阅读理解：

例：若是多项式的一个因式，求的值．

解：设，

若时，则有，

将代入，得

，

解得．

仿照上例的解法，解答下列的问题．

若是多项式的一个因式，求的值；

若可化为整式，求化简后的整式；

若和是多项式的两个因式，且直线不经过第二象限，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：平移前后的线段的长度不变，

平移后的线段的长为，

故选：．

利用平移的性质解决问题即可．

本题考查平移变换的性质，平移前后的图象的形状不变，大小相同．

2.【答案】

【解析】解：由得到，

不等号的方向改变了，

；

故选：．

因为不等号的方向改变了，所以根据不等式的性质，即可求得的取值范围．

特别注意：不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．

3.【答案】

【解析】解：由题意知，图形是中心对称图形，

故选：．

根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形得出结论即可．

本题主要考查中心对称的知识，熟练掌握中心对称的概念是解题的关键．

4.【答案】

【解析】解：无法因式分解，则不符合题意；

，它是利用提公因式法进行因式分解的，则符合题意；

，它是利用平方差公式进行因式分解的，则不符合题意；

，它是利用完全平方公式进行因式分解的，则不符合题意；

故选：．

将各项因式分解后进行判断即可．

本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．

5.【答案】

【解析】解：由数轴表示不等式解集的方法可知，这个不等式组的解集为，

故选：．

根据数轴表示不等式组解集的方法进行判断即可．

本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握在数轴上表示不等式组解集的方法是正确判断的前提．

6.【答案】

【解析】解：，若、异号，同时平方比值就发生改变，故错误，不符合题意；

，分式分子分母同乘，分式的值不变，正确，符合题意；

，分式分子和分母同时加，分式值改变，错误，不符合题意；

，随意改变的符号分式的值改变，错误，不符合题意．

故选：．

根据分式的基本性质进行逐项判断即可．

本题考查了分式的性质，分式的分子与分母同乘除同一个不为的数，分式的值不变．

7.【答案】

【解析】解：在中，，，

为的中点，

又是的中点，

为的中位线，

，

，

故选：．

根据等腰三角形的性质证得为的中点，由是的中点，可得为的中位线，从而求得结论．

本题考查了三角形中位线定理和等腰三角形的性质．三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．

8.【答案】

【解析】解：设第二次分钱的人数为人，则第一次分钱的人数为人，

依题意得：．

故选：．

设第二次分钱的人数为人，则第一次分钱的人数为人，根据两次每人分得的钱数相同，即可得出关于的分式方程，此题得解．

本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

9.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，

，

．

，

．

，

．

，

．

在中，．

故选：．

根据平行四边形的性质求出，再根据等腰三角形的性质求出，进而求出，最后根据三角形内角和定理得出答案．

本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，确定各角之间的数量关系是解题的关键．

10.【答案】

【解析】解：如图，连接两组对应顶点，作对应顶点所连线段的垂直平分线，交于点，

故选：．

连接两组对应顶点，作对应顶点所连线段的垂直平分线，交于点，即可求解．

本题考查了旋转的性质，掌握旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上是解题的关键．

11.【答案】

【解析】解：依题意得

，

解得．

故答案为：．

分式无意义时，分母等于零．

本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：

分式无意义分母为零；

分式有意义分母不为零；

分式值为零分子为零且分母不为零．

12.【答案】

【解析】

【分析】

此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．

直接利用平方差公式分解因式得出答案．

【解答】

解：．

故答案为：．

13.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数的解析式等知识点，解此题的关键是能根据图象确定一元一次不等式的解集．用的数学思想是数形结合的思想．

首先求出一次函数的解析式，由的值确定图象经过一二四象限，根据与轴交点的坐标即可求出答案．

【解答】

解：把，代入得：，

解得：，，

，由表可知与轴交于，

，图象经过一二四象限，

不等式的解集是．

14.【答案】答案不唯一

【解析】解：连接，，

五边形是正五边形，

，，，

，

，

点在正五边形的边上运动，，

，

．

故答案为：答案不唯一．

由正多边形的性质和平行线的性质求得，可得的取值范围，即可得到答案．

本题主要考查了正多边形和圆，根据正多边形的性质和平行线的性质求得，得到的取值范围是解决问题的关键．

15.【答案】

【解析】解：连接并延长到，

点为三边垂直平分线的交点，

，

，，

，

，

，

，，

，

故答案为：．

连接并延长到，根据线段垂直平分线的性质可得，从而利用等腰三角形的性质可得，进而可得，然后利用三角形的外角性质可得，进行计算即可解答．

本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

16.【答案】

【解析】解：为的中点，

，

，，

，

，

，

≌，

，

，

，

四边形是平行四边形，故正确；

≌，

，

，

四边形是平行四边形，

，故正确；

四边形的面积四边形的面积的面积

，

，故正确，

综上所述：正确的结论是，

故答案为：．

证明≌，得，再根据平行四边形的判定和性质进行证明即可．

本题考查了平行四边形的判定和性质，中点的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．

17.【答案】解：原式

．

【解析】先提公因式，然后利用公式法分解因式．

本题考查了提公因式法与公式法的综合运用：熟练掌握因式分解的方法．

18.【答案】解：

，

当时，

原式

．

【解析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．

本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

19.【答案】解：设购买根跳绳，

根据题意得：，

解得：，

的最大值为．

答：最多能购买根跳绳．

【解析】设购买根跳绳，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．

本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．

20.【答案】点是的中点平分

【解析】已知：如图，点，分别在的边上，经过点，点是的中点，．

求证：平分．

证明：点是的中点，

，

，

，

在和中，

，

≌，

，

即平分．

故答案为：点是的中点；；平分；

根据题意写出已知、求证，然后利用可证得和全等，得出，即平分．

本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

21.【答案】解：如图：点即为所求；

设，

平分，，，

，

，

即：，

解得：，

．

【解析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法作图；

根据三角形的面积公式求解．

本题考查了复杂作图，掌握三角形的面积公式是解题的关键．

22.【答案】解：把代入方程得：

，

方程两边都乘，得，

解得：，

检验：当时，，

所以分式方程的解是；

，

方程两边都乘，得，

解得：，

方程的解为非负数，

，

解得：，

把代入方程得：，

解得：，

即当时，分式方程无解，

的取值范围是且．

【解析】把代入方程得，方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可；

方程两边都乘得出，求出，根据方程的解为非负数得出，求出的范围即可．

本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键，注意：解分式方程一定要进行检验．

23.【答案】证明：，，

，

，

，

，

，

，

四边形为平行四边形；

解：，，

，

在与中，

，

≌，

，

四边形为平行四边形，

，

，

设，则，

，，

的周长为，

，

在中，，

即，

解得：或舍去，

．

【解析】根据垂直的定义得出，进而利用平行线的判定和性质得出，进而利用平行四边形的判定解答即可；

根据证明三角形全等，进而利用全等三角形的性质和勾股定理解答即可．

此题是四边形综合题，考查平行四边形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质解答．

24.【答案】解：将绕点按逆时针方向旋转得到，

，

，

，

；

作于，

，，

，

在中，由勾股定理得，，

，

，

，

．

【解析】根据旋转的性质得，再利用三角形内角和定理求出的度数，进而得出的度数；

作于，由含角的直角三角形的性质得，在中，由勾股定理得，，再利用等腰直角三角形的性质得，进而得出答案．

本题主要考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形内角和定理，含特殊角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的