线性代数-非齐次线性方程组

第二节(非)齐次线性方程组Ch3矩阵的秩与线性方程组对于m个方程n个未知数的线性方程组b=0,齐次线性方程组b≠0,非齐次线性方程组一、非齐次线性方程组有解的判定条件定理1不妨设r(A)=r,利用初等行变换把增广矩阵化为行阶梯形

证明：必要性:若（*）有解，则dr+1=0,即得r(A)=r(A|b)

充分性:若r(A)=r(A|b)

，即dr+1=0,则（*）有解。并令个自由未知量任意取值，rn-即可得方程组的一个解．

其余个作为自由未知量,

把这

行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量,推论解.可逆时,方程组有唯一，即AnAr=)()1(时，方程组无解或无穷多解.）（nAr<)(2定理1’此乃第三章的精华所在(Cramer法则)例1求解非齐次线性方程组解对增广矩阵进行初等变换，故方程组无解．为求解非齐次线性方程组，只需将增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解．若有解，再将行阶梯形矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解。二、线性方程组的解法例2求解非齐次方程组的通解解对增广矩阵进行初等变换为什么选为非自由未知量？选行最简形矩阵中非零行首非零元1所在列！所以方程组的通解为例3

证方程组的增广矩阵为对增广矩阵进行初等变换，由此得通解：定理1’而且通解中有n-r(A)个任意常数.结论：两方程组同解，则系数矩阵的秩相同例4设有线性方程组解一且其通解为这时又分两种情形：对非齐次线性方程组下面我们来看齐次线性方程组解的情况定理2

对于n元齐次线性方程组nAr<Û)(2有非零解））方程组有无穷解（即（推论2

当m<n时，齐次线性方程组必有非零解.推论1

m=n时，对方程组

为求齐次线性方程组的解，只需将系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解。齐次线性方程组的解法例1

求解齐次方程组的通解解对系数矩阵A进行初等变换故方程组有非零解，且有为什么选为非自由未知量？选行最简形矩阵中非零行首非零元1所在列！得方程组的通解为解法一因为系数矩阵为含参数的方阵，故可考虑使用“行列式”法，而例2当取何值时，下述齐次线性方程组有非零解，并且求出它的通解．通解为解法二用“初等行变换”（法）把系数矩阵化为阶梯形例3已知三阶非零矩阵B的每一列都为齐次线性方程组求Ax=0的解，其中(1)的值；(2)(3)一个矩阵B解：(1)由题意可知，Ax=0有非零解，因此即因此，(2)将A化为行最简形矩阵相应的线性方程组为因此，通解为所以B的任两列对应成比例，从而(3)由B的列为Ax=0的解向量，可得B可取为本章概要一、矩阵的秩二、齐次线性方程组的解三、非齐次线性方程组的解一矩阵的秩1.

矩阵秩的概念2.

矩阵秩的结论非零子式的最高阶数行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数．(1)(2)(3)(4)(5)(6)说明若A为n阶可逆矩阵，则1.(非奇异矩阵或非退化矩阵)2.(满秩阵)3.A的标准形是单位阵In.4.(2)初等变换法3.

矩阵秩的计算(1)利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);定理二齐次线性方程组的解1.解的理论2.解法把系数矩阵化成行阶梯形矩阵，由定理1分析齐次线性方程组解的情况，若r(A)<n，则将行阶梯形矩阵化为行最简形矩阵，写出相应的齐次线性方程组，然后选取自由未知量，并求出其通解.三非齐次线性方程组的解1.解的理论对非齐次线性方程组把增广矩阵化成行阶梯形矩阵，根据有解判别定