2021-2022学年江苏省扬州市江都区八校联考八年级（上）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省扬州市江都区八校联考八年级（上）期中

数学试卷

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）

1.（3分）（2021•武汉模拟）下列四个图案中，不是轴对称图案的是（）

©

2.（3分）（2021春•太康县期末）下列说法中正确的是（）

A.两个面积相等的图形，一定是全等图形

B.两个等边三角形是全等图形

C.两个全等图形的面积一定相等

D.若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形

3.（3分）（2021秋•江都区期中）下列几组数中是勾股数的一组是（）

A.3,4,6B.1.5,2,2.5C.6,8,13D.9,12,15

4.（3分）（2020秋•铁西区期末）已知图中的两个三角形全等，则/I等于（）

5.（3分）（2021秋•江都区期中）在RtA48C中，/ACB=90°,点。为斜边48的中点,

如果CD=6,那么AB的长是（）

A.3B.6C.12D.24

6.（3分）（2021春•建平县期末）如图，已知△ABC中，N2=50°,P为△ABC内一点，

过点尸的直线分别交A8,BC于点M、N.若M在物的中垂线上，N在PC的中垂

线上，则NAPC的度数为（)

A.100°B.105°C.115°D.120°

7.（3分）（2021秋•江都区期中）如图的方格纸中每一个小方格都是边长为1的正方形，A、

B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C,使△A8C为等腰三角形,

这样的格点的个数有（）

4--

\B

A.8个B.9个C.10个D.11个

8.（3分）（2021秋•江都区期中）已知△ABC中，AC=BC=8,NAC8=90°,。是AB边

的中点，点E、尸分别在AC、边上运动，且保持AE=CF.连接。E、DF、EF得到

下列结论：①AOE尸是等腰直角三角形；②aCEF面积的最大值是8；③EF的最小值是

4.其中正确的结论是（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）

9.（3分）（2021•齐齐哈尔）如图，AC=AO,Z1=Z2,要使△ABC之△AED,应添加的

条件是.（只需写出一个条件即可）

2

1

B\lC

D

10.（3分）（2021秋•江都区期中）如图，NMON内有一点尸，P点关于OM的轴对称点是

G,P点关于ON的轴对称点是H,G"分别交OM、CW于A、B点、,若NMON=38。，

则NGOH=.

11.（3分）（2020秋•利通区期末）如图，在RtzXABC中，/AC8=90°,AO平分NBAC

交BC于点。，若A8=5,DC=2,则△AB£＞的面积为.

12.（3分）（2020秋•罗湖区校级期末）一直角三角形的两边长分别为5和12,则第三边的

长是.

13.（3分）（2021秋•江都区期中）如图，点。在8c上，OEJ_AB于点E,力口LBC交AC

于点凡BD=CF,BE=CD.若N4尸£）=135°,则NEOF=.

14.（3分）（2012•海南）如图，在△ABC中，NB与NC的平分线交于点O,过点。作。E

//BC,分别交AB、AC于点£＞、E.若AB=5,AC=4,则△4DE的周长是.

R

15.（3分）（2021秋•江都区期中）在AABC中，三边长分别为8、15、17,那么△ABC的

面积为.

16.（3分）（2021秋•江都区期中）如图，△ABC中，CZ）_LA8于£>,AC=BC,E是AC的

中点.若AD=12,DE=\0,则CO的长等于.

17.（3分）（2021秋•江都区期中）如图，在aABC中，AB=AC,过点4作4。，8（7于点

D,A£>=24,8c=14,点E、尸分别是A。、AB上的任意一点，连接BE、EF,贝ijBE+E尸

的最小值为.

18.（3分）（2021秋•江都区期中）如图，四边形ABCQ中，AC、8。是对角线，△ABC是

等边三角形，NAOC=30°,AD=8,BD^10,则CD的长为.

三、解答题（共96分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）

19.（8分）（2021秋•江都区期中）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1.

（1）画出△A8C关于直线/对称的图形△A181C1；

（2）在直线/上找一点P,使P8+PC值最小；（要求在直线/上标出点P的位置）

（3）在直线/上找一点Q,使QB=QC（要求在直线/上标出点。的位置）

20.（8分）（2021秋•江都区期中）如图在△AFD和△CE8中，点A,E,F,C在同一条直

线上，有下面四个论断：

(1)AD^CB-.(2)AE^CF；(3)/B=ND；(4)AD//BC.

请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学问题，并写出解答过程.

21.（8分）（2011•沈阳）如图，在△ABC中，AB=AC,。为BC边上一点，NB=30°,

/D4B=45°.

（1）求/D4c的度数;

(2)求证：DC=AB.

22.（8分）（2021秋•江都区期中）如图，在三角形ABC中，AB=5,BC=6,AQ为BC边

上的中线，且AQ=4,过点。作。E_LAC于点E.

（1）求证：AD1BC；

（2）求DE的长.

23.（8分）（2021秋•江都区期中）如图，在△ABC中，点。是BC上一点，且

AE//BC,ZBAD=ZCAE,连接。£：交4（?于点F.

（1）若/B=80°,求NC的度数；

（2）若AE=AC,D4平分/BZ圮是否成立？请说明理由.

24.（10分）（2021秋•江都区期中）如图，△ABC,点E是边A8上的中点，4。是边8C

上的高，DC=BE,DGLCE,G是垂足，求证:

（1）G是CE的中点；

(2)ZB=2ZBCE.

25.（10分）（2021秋•江都区期中）如图，△A8C的外角平分线4。与边BC的垂直平分线

交于点£>,DFLCA,DGVAB,垂足分别为F、G.

（1）求证：BG=CF；

（2）若AB=18,AC=6,求AF的长度.

26.（12分）（2019秋•招远市期末）在△ABC中，AB=AC,。是3C的中点，以AC为腰

向外作等腰直角△ACE,NE4C=90°,连接BE,交4。于点F,交AC于点G.

（1）若NBAC=50°,求NAEB的度数；

（2）求证：ZAEB=^ZACF；

（3）求证：EF1+BF2=2AC2.

27.（12分）（2021秋•江都区期中）【探索发现】

如图①，已知在△A8C中，NBAC=45°,AD1.BC,垂足为O,BE1AC,垂足为E,

4。与BE相交于F.

（1）线段AF与BC的数量关系是：AF8c（用>,<,=填空）；

（2）若/ABC=67.5°,试猜想线段AF与3。有何数量关系，并说明理由.

【拓展应用】

（3）如图②，在△ABC中，ADLBC,垂足为。，己知/8AC=45°,ZC=22.5°,AD

=2,求△ABC的面积.

28.（12分）（2021春•饶平县校级期末）如图1,△ABC中，CD_LA8于。，且BO：AD：

8=2：3：4,

（1）试说明△ABC是等腰三角形；

（2）已知SAABC=40C〃?2,如图2,动点M从点B出发以每秒la”的速度沿线段BA向

点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达

终点时整个运动都停止.设点M运动的时间为f（秒），

①若△QMN的边与BC平行，求t的值；

②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MCE能否成为等腰三角形？若能,

求出1的值；若不能，请说明理由.

2021-2022学年江苏省扬州市江都区八校联考八年级（上）期中

数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）

1.【考点】轴对称图形.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【分析】根据轴对称的概念对各选项分析判断利用排除法求解.

【解答】解：4是轴对称图形，不合题意；

8、是轴对称图形，不合题意；

C、不是轴对称图形，符合题意；

。、是轴对称图形，不合题意.

故选：C.

【点评】本题考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分

折叠后可重合.

2.【考点】全等图形.

【专题】常规题型.

【分析】依据全等图形的定义和性质进行判断即可.

【解答】解：全等的两个图形的面积、周长均相等，但是周长、面积相等的两个图形不

一定全等.

故选：C.

【点评】本题主要考查的是全等图形的性质，掌握全等图形的性质是解题的关键.

3.【考点】勾股数.

【专题】等腰三角形与直角三角形.

【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方

和是否等于最长边的平方.

【解答】解：A、42+32^62,不能构成直角三角形，故不是勾股数；

8、1.52+22=2.52,能构成直角三角形，不是正整数，故不是勾股数；

C、62+82^132,不能构成直角三角形，故不是勾股数；

D、92+122=152,能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数.

故选：D.

【点评】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△48C的三边满足

«W=c2,则△ABC是直角三角形.

4.【考点】全等三角形的性质.

【专题】几何直观.

【分析】根据三角形内角和定理求得/2=58°；然后由全等三角形是性质得到Nl=/2

=58°.

【解答】解：如图，由三角形内角和定理得到：Z2=180°-50°-72°=58°.

•.•图中的两个三角形全等，

；./l=N2=58°.

【点评】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准对应角.

5.【考点】直角三角形斜边上的中线.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【分析】根据直角三角形的性质计算即可.

【解答】解：中，NACB=90°,点。为斜边AB的中点，CD=6,

：.AB=2CD=2X6=\2,

故选：C.

【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜

边的一半是解题的关键.

6.【考点】线段垂直平分线的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形：推理能力.

【分析】根据三角形的内角和得到NB4C+/ACB=130°,根据线段的垂直平分线的性

质得到PN=CM由等腰三角形的性质得到ZCPN=ZPCN,

进而得出NMAP+NPCN=/«4C+NACP=2X130°=65°,根据三角形内角和定理计

2

算即可.

【解答】解：：NABC=50°,

.•./B4C+/ACB=130°,

在以的中垂线上，N在PC的中垂线上，

：.AM=PM,PN=CN,

：.NMAP=ZAPM,NCPN=ZPCN,

；NAPC=180°-ZAPM-ZCP7V=180°-ZPAC-ZACP,

：.ZMAP+ZPCN=ZPAC+ZACP=^X130°=65°,

2

AZAPC=\\5a,

故选：C.

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和

定理，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键.

7.【考点】等腰三角形的判定.

【专题】三角形；应用意识.

【分析】以A点为圆心，AB为半径作圆，在。A上的格点为C点（A、B、C共线除外）;

以8点为圆心，AB为半径作圆，在08上的格点为C点：在AB的垂直平分线上没有格

点.

【解答】解：图中的黑点为C点所在位置，这样的C点共有9个.

故选：B.

【点评】本题考查了等腰三角形的判定：有两边相等的三角形为等腰三角形.也考查了

分类讨论的思想.

8.【考点】三角形综合题.

【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【分析】①由SAS定理可证△CDF和△ADE全等，从而可证/EDF=90°,DE=DF.所

以是等腰直角三角形：

③△OE尸是等腰直角三角形，®IDF=EF,当。尸与8C垂直，即。尸最小时，EF取最

小值4&,

②根据两三角形全等时面积也相等得：S^CDF=SAADE,利用割补法知：SniilKCEDF=S&

ADC,当△CEF面积最大时，此时△£>EF的面积最小，计算SACEF=S四边形CEDF-SzxDEF,

代入即可.

【解答】解：①：AC=BC=8,ZACB=90°,。是AB边的中点，

；.NOCB=/A=45°,CD=AD=DB,

又：4E=CF,

:./\ADE叁/XCDF(SAS)；

：.ED=DF,NCDF=NEDA；

:NADE+NEDC=90°,

ZEDC+ZCDF=ZEDF=90°,

...△£>FE是等腰直角三角形.故①正确；

③由于△£)£/是等腰直角三角形，因此当。尸最小时;EF也最小；

即当£>F_L8C时，OF最小，此时QP=」BC=4.

2

.♦.EF=&QF=4&.故③错误；

@'：^ADE^/XCDF,

:&CDF=SMDE,

S四边形C£DF=SAAOC=-i~S/、A8C，

2

当尸面积最大时，此时△QE尸的面积最小，

VZC=90°,AC=3C=8,

；.SAABC=LX8X8=32,

2

S四边形CE£>F=S/\AOC=16,

止匕时S&CEF=S四边舷CEDF-S^,DEF=SMDC-S&DEF=16-Ax4X4=8.故②正确；

2

故正确的有①②,

故选：A.

【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角

形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.

二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）

9.【考点】全等三角形的判定.

【专题】图形的全等；推理能力.

【分析】利用/1=/2得到/2AC=NE4。，由于AC=A£>,然后根据全等三角形的判

定方法添加条件.

【解答】解：VZ1=Z2,

：.Zl+ZBAD=Z2+ZBAD,

即/BAC=/E4O,

'：AC=AD,

，当添加时，可根据“44S”判断△ABC丝△AED；

当添加NC=N。时，可根据“ASA”判断△ABCgZVIE。；

当添力口48=4£时，可根据“&4S”判断△ABCgZsAED

故答案为NB=NE或NC=ND或AB=AE.

【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决此

类问题的关键.

■.【考点】轴对称的性质.

【专题】平移、旋转与对称；推理能力.

【分析】连接OP,根据轴对称的性质可得/GOM=NMOP,NPON=NNOH,然后求

出NGO”=2NMON,代入数据计算即可得解.

【解答】解：如图，连接OP,

•.•尸点关于OM的轴对称点是G,P点关于ON的轴对称点是H,

：.ZGOM=NMOP,ZPON=ZNOH,

：.ZGOH=ZGOM+ZMOP+ZPON+ZNOH=2ZMON,

；NMON=38°,

，/GOH=2X38°=76°.

故答案为：76°.

【点评】本题考查了轴对称的性质，熟记性质并确定出相等的角是解题的关键.

11.【考点】角平分线的性质.

【专题】三角形；几何直观.

【分析】作于〃，如图，根据角平分线的性质得到O”=DC=2,然后根据三角

形面积公式计算.

【解答】解：作于”，如图，

平分/&4C,DH1.AB,DCLAC,

：.DH=DC=2,

...△A8O的面积=2X5X2=5.

2

故答案为5.

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

12.【考点】勾股定理.

【专题】分类讨论.

【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两

条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，

即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解.

【解答】解：设第三边为X,

(1)若12是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：

52+122=?,

.*.x=13；

(2)若12是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得:

52+/=122,

•••^=VT19;

第三边的长为13或

故答案为：13或小五§.

【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜

边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解.

13.【考点】全等三角形的判定与性质.

【专题】图形的全等；推理能力.

【分析】由。EJ_AB,DFLBC得/BED=NCDF=90°,又有和Rt^C£＞尸的

斜边相等，还有一条直角边相等，可以证明RtABED^RtACDF,则NBQ£=NCFD=

180°-135°=45°,可以求得NEDF=45°,得到问题的答案.

【解答】解：'：DE1AB,DFLBC,

:.NBED=NCDF=90°,

在RtABED和RtACDF中

[BD=CF,

IBE=CD'

.•.RtABED^RtACDF(HL),

:.NBDE=NCFD,

VZAFD=135°,

AZCFD=1800-ZAFD=180°-135°=45°,

:.NBDE=45°,

AZEDF=180°-NBDE-NCDF=180°-45°-90°=45°,

故答案为：45°.

【点评】此题考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，根据“有斜边

和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”证明RtaBED丝口△CDF是解题的关键.

14.【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质.

【专题】压轴题.

【分析】由在△4BC中，N8与NC的平分线交于点。，过点。作DE〃BC,易证得△

与△EOC是等腰三角形，即DO=DB,EO=EC,继而可得△ACE的周长等于A8+AC,

即可求得答案.

【解答】解：♦.•在AABC中，与NC的平分线交于点O,

：.ZDBO=ZCBO,ZECO=ZBCO,

'JDE//BC,

；./DOB=NCBO,ZEOC^ZBCO,

：.ZDBO=ADOB,NECO=NEOC,

：.OD=BD,OE=CE,

'：AB=5,AC=4,

/XADE的周长为:AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC^5+4=9.

故答案为：9.

【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义以及平行线的性质.此

题难度适中，注意证得△OOB与aEOC是等腰三角形是解此题的关键，注意掌握数形结

合思想与转化思想的应用.

15.【考点】勾股定理的逆定理.

【分析】首先根据数量关系利用勾股定理逆定理确定三角形是直角三角形，再求面积即

可.

【解答】解：V82+152=172,

...△ABC是直角三角形，

.♦.△ABC的面积是：AX8X15=60,

2

故答案为：60.

【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形

的三边长a,b,c•满足。2+必=。2,那么这个三角形就是直角三角形.

16.【考点】三角形中位线定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形

斜边上的中线；勾股定理.

【专题】三角形；推理能力.

【分析】先利用等腰三角形的性质得到AD=BD^\2,即D为AB的中点，则判断DE

为△ABC的中位线，则8c=2£>E=20,然后利用勾股定理计算CC的长.

【解答】解：'：AC=BC,CD±AB,

：.AD=BD=\2,即。为AB的中点,

是AC的中点，

为aABC的中位线，

：.DE=1.BC,

2

：.BC=2DE=20,

在RtABCD中，CQ={BC2_BD2=Y2C|2_]22=16.

故答案为：16.

【点评】本题考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三

边的一半.也考查了等腰三角形的性质和勾股定理.

17.【考点】轴对称-最短路线问题；等腰三角形的性质；勾股定理.

【专题】平移、旋转与对称；推理能力.

（分析]作F关于AD的对称点M,连接8M交4。于E,连接EF,过B作BNLAC于

N,根据三线合一定理求出的长和平分NBAC,根据勾股定理求出AD,根据三

角形面积公式求出BN,根据对称性质求出BE+EF=BM,根据垂线段最短得出BE+EF'

您，即可得出答案.

25

【解答】解：作尸关于的对称点M,连接交于E,连接EF,过8作

AC于N,

•；AB=AC,BC=24,AOJ_BC于。，

：.BD=DC=7,AC平分NBAC,

在AC上，

；A£>=24,

."8=25,

:.SMBC=^XBCXAD=1XACXBN,

22

.®y=BOAD=24X14=336

・•-AC25~25,

关于A。的对称点M,

:.EF=EM,

：.BE+EF=BE+EM=BM,

根据垂线段最短得出：BM,BN,

即BE+EF2里3

25

即BF+EF的最小值是

25

故答案为：336.

25

【点评】此题主要考了等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称-最短路线问题等知识点

的理解和掌握，能求出的长是解此题的关键.

18.【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；推理能力.

【分析】以CD为边，在CD的下方作等边三角形CDH,连接AH,由“SAS”可证△AC”

丝△BCD,可得BZ)=AH=10,由勾股定理可求。”的长，即可求解.

【解答】解：如图，以CD为边,在C。的下方作等边三角形CD",连接AH,

/\ABC和△CD"都是等边三角形，

：.AC=BC,DC=CH=DH,ZACB=ZDCH=ZCDH=60°,

:.NACH=NBCD,ZADH=ZADC+ZCDH=WQ,

在△ACH和△BCD中，

fAC=BC

<ZACH=ZBCD-

CH=CD

.♦.△ACH冬LBCD(SAS),

：.BD=AH^IO,

DH-A/AH2-AD2=V100-64=6,

：.CD=DH=6,

故答案为：6.

【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和

性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.

三、解答题(共96分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明)

19.【考点】作图-轴对称变换；轴对称-最短路线问题；线段垂直平分线的性质；勾股定

理.

【专题】作图题；网格型；平移、旋转与对称；儿何直观.

【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出△ABC关于直线/对称的图形△AiBi。；

（2）连接C81交直线/于点尸，根据轴对称的性质可得P8+PC值最小；

（3）根据网格即可在直线/上找一点Q,使。B=QC.

（2）如图，点尸即为所求；

（3）如图，点。即为所求.

【点评】本题考查了作图-轴对称变换，线段垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问

题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质.

20.【考点】全等三角形的判定与性质.

【专题】证明题.

【分析】答案不唯一，如：已知：如图，在和△CEB中，点A,E,F,C在同一

条直线上，AD=CB,AE=CF,AD//BC.求证：NB=ND.只要证明△AFD丝△CEB

即可；

【解答】答案不唯一，如：

解：已知：如图，在△4尸£）和△CEB中，点A,E,F,C在同一条直线上，AD=CB,

AE=CF,AD//BC.

求证：ZB—ZD.

证明：'：AD//BC,：.ZA=ZC.

"：AE=CF,：.AE+EF=CF+EF,即：AF=CE.

•.•在△A/7）和△CE8中,

rAD=CB

<ZA=ZC>

AF=CE

:.AAFgACEB

：.ZB=ZD.

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是理解题意，灵活运用所学知

识解决问题，属于中考常考题型.

21.【考点】等腰三角形的性质.

【专题】计算题.

【分析】（1）由AB=AC,根据等腰三角形的两底角相等得到NB=NC=30。，再根据

三角形的内角和定理可计算出NBAC=120°,而/D4B=45°,则NZMC=NBAC-N

0AB=120°-45°；

（2）根据三角形外角性质得到NAE»C=/8+ND4B=75°,而由（1）得到ND4C=75°,

再根据等腰三角形的判定可得DC=AC,这样即可得到结论.

【解答】（1）解：：A8=AC,

.'.NC=NB=30°,

；NC+NBAC+NB=I8O°,

AZBAC=180°-30°-30°=120°,

,：ZDAB=45°,

：.ZDAC^ZBAC-ZDAB=120°-45°=75°；

（2）证明：'：ZDAB=45°,NZMC=75°,

AZADC=ZB+ZDAB=3G°+45°=75°,

：.ND4C=ZADC,

：.DC=AC,

'：AB=AC,

：.DC=AB.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定定理：等腰三角形的两底角相等；有两个

角相等的三角形为等腰三角形.也考查了三角形的内角和定理.

22.【考点】勾股定理的逆定理.

【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力.

【分析】（1）求出8D=OC=3,根据勾股定理的逆定理得出即可；

（2）根据线段垂直平分线性质得出AC=4B=5,根据三角形的面积公式求出。E即可.

【解答】（1）证明：；BC=6,为8c边上的中线，

：.BD=DC=1.BC=3,

2

VA£>=4,AB=5,

：.BD2+AD2^AB2,

：.ZADB=90°,

即AD1BC；

(2)解：'：AD±BC,AO为BC边上的中线，

：.AB=AC,

'：AB=5,

：.AC=5,

的面积S=/XADXDC=*XACXDE，

•,•/4*3=枭5*口£，

解得：£>E=2.4.

【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积等知识

点，能根据勾股定理求出AO1.BC是解此题的关键.

23.【考点】全等三角形的判定与性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【分析】(1)先由A£)=AB得到/8=NA£)B,然后由/B=80°求得NBA。的大小，再

求出NC4E的大小，最后利用AE〃BC求得/C的度数；

(2)先由NBAO=NCAE得到NBAC=/Z)AE,然后结合A8=A。、AC=AE得证AABC

丝△AQE,进而得到/B=NAOE,再结合NABO=NADB得到NAQB=NADE,最后得

至ljDA平分NBDE.

【解答】解：⑴VZB=80°,AB=AD,

：.ZADB=ZB=^,

VZB+ZBAD+ZADB=\SO°,

AZBAD=20°,

'：ZCAE^ZBAD,

...NCAE=20°,

'：AE//BC,

：.ZC=ZCAE=20°.

(2)AO平分/BDE,理由如下，

:/BAD=/CAE,

：.ZBAD+ZCAD=ZCAE+ZCAD,即ZBAC=ZDAE,

在△BAC和△D4E中，

，AB=AD

,ZBAC=ZDAE>

AC=AE

：./SBAC^/\DAE(&4S),

：.ZB=ZADE,

；NB=NADB,

：.NADE=/ADB,

平分/BOE.

工

BDC

【点评】本题考查了平行的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题

的关键是利用等边对等角的性质得到相关角相等.

24.【考点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线.

【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力.

【分析】(1)连接OE,由直角三角形斜边的中线定理得到DE=BE,结合已知得到DC

=DE,根据等腰三角形的“三线合一”定理即可证得G是CE的中点；

(2)由等腰三角形的性质得到NQCE=/QEC,NB=NBDE,根据三角形外角的性质

可得NBDE=2NDCE,进而得到NB=2NOCE.

【解答】证明：(1)连接

'JADLBC,

:.NADB=90°,

：DE是中线，

：.DE=BE=AE,

,:DC=BE,

：.DC=DE,

'：DG±CE,

：.CG=EG,即G是CE的中点；

(2)由(1)知DE=CD=BE,

:.NDCE=NDEC,NB=NBDE,

"：NBDE=ZDCE+ZDEC=2ZDCE,

：.ZB=2ZDCE.

【点评】本题主要考查了直角三角形斜边的中线定理，等腰三角形的性质，正确作出辅

助线，根据直角三角形斜边的中线定理证得DE=8E并熟练掌握等腰三角形的“三线合

一”定理是解决问题的关键.

25.【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力.

【分析】(1)连接BD、CD,然后结合中垂线的性质定理得到BD=CD,角平分线定理

得到。G=£>F,进而得证△QBG丝△£)(7/,最后得到BG=CF；

(2)结合全等三角形的性质得到BG=CF,然后证明△OGA丝△。朋得到4G=AF,进

而利用己知条件求出AF的长.

【解答】(1)证明：连接8。、CD,

「△ABC的外角平分线AO与边BC的垂直平分线交于点。，DFYCA,DGLAB,

：.BD=CD,DG=DF,NDGB=NDFC=9。',

.,.RtADBG^RtADCF(HL),

：.BG=CF.

(2)解：平分N8AF,

：.ZDAG=ZDAF,

'：DF±CA,DG-LAB,

：.ZDGA=ZDFA=90°,DG=DF,

：./\DGA^/\DFA(A4S),

：.AG=AF,

"：BG=AB-AG,CF=AF+AC,CF=BG,

：.AB-AF=AF+AC,

：AC=6,AB=18,

A18-AF=AF+6,

【点评】本题考查了中垂线的性质定理、角平分线定理、全等三角形的判定与性质，解

题的关键是连接80、CD构造全等三角形.

26.【考点】三角形综合题.

【专题】几何综合题；三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推

理能力.

【分析】(1)由等腰直角三角形的性质得AC=AE,再证A3=AE,得

然后由三角形内角和定理求解即可；

(2)由等腰三角形的性质得出N8AF=NCAF,再由SAS推出△BAFgACAF,得出N

ABF=ZACF,即可得出结论；

(3)由全等三角形的性质得BF=CF,再证NCFG=/E4G=90°,然后由勾股定理得

Ef^+BF1=EF2+CF2=EC2,EC2=AC2+AE1=2AC2,即可得出结论.

【解答】(1)解：；AACE是等腰直角三角形，NEAC=90°,

：,AC^AE,

：A8=AC,

：.AB=AE,

：.NABE=NAEB,

又；NBAC=50°,ZEAC=90°,

：.ZBAE=50Q+90°=140°,

；.NAEB=(180°-140°)4-2=20°；

(2)证明：：人鸟二人仁。是BC的中点,

：.ZBAF^ZCAF.

又；AF=AF,

:.IXBAF沼XCAF(SAS'),

：.NABF=ZACF,

「△ACE是等腰直角三角形，NE4c=90°,

：.AC=AE,

；AB=AC,

：.AB=AE,

，NABE=NAEB,

：.ZAEB^ZACF；

(3)证明："：/\BAF^/\CAF,

：.BF=CF,

'：ZAGF=NAEB+NEAG,

ZAGF^ZACF+ZCFG,ZAEB^ZACF,

...NCPG=NEAG=90°,

EF2+BF2=EF^+CF1=EC2,

•••△ACE是等腰直角三角形，Z£AC=90°,

：.AC^AE,

：.EC2=4C2+AE2=2AC2,

：.EF2+BF2=2AC2.

【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的

性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理等知识，本题综合性强,

熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明△84FgZ\C4F是解题的关键，属于中考常考

题型.

27.【考点】三角形综合题.

【专题】几何综合题；三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推

理能力；应用意识.

【分析】(1)证aABE是等腰直角三角形，得E4=EB,再证然后证△

AEF出ABEC,即可得出结论；

(2)由三角形的内角和定理求出NC=67.5°=ZABC,得出AC=AB,再由等腰三角形

的性质得进而得出结论；

2

(3)延长4。至E,使£>E=D4,连接CE,交AB的延长线于点G,先证△AC£>丝△(?£)£：,

得NECO=NACZ)=22.5°,进而得出/AGC=90°,再求出BC=4,然后由三角形的

面积公式求解即可.

【解答】解：⑴,：BE±AC,

.•.NAEF=N8EC=90°,

VZBAC=45°,

...△A8E是等腰直角三角形，

：.EA=EB,

\'AD±BC,

：.ZADC=90°,

.♦.NC+NE4/=90°,

VZC+Z£BC=90°,

；.NEAF=NEBC,

：./XAEF^^BEC(ASA),

：.AF=BC,

故答案为：=;

(2)AF=2BDf理由如下：

在△ABE中，ZCAB=45°,NA5c=67.5°,

AZC=180°-45°-67.5°=67.5°,

：.ZC=ZABC,

：.AB=AC,

VAD±BC,

:.CD=BD=LBC,

2

由(1)知，AF=BC,

：.AF=2BD；

(3)如图②，延长AQ至E,使。E=D4,连接CE,交AB的延长线于点G,

VCDLAE,

:.NADC=NCDE=90°,

又,：CD=CD,

：.AACD^ACDE(SAS),

AZECD=ZACD=22.5°,

：.ZECA=45°=/BAC,

ZAGC=9Q°,AG=CG,

：.AGLCE,

由(2)知,BC=2AD=4,

.".SAABC=ABCMD=A.X4X2=4.

22

图②

【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形

的判定与性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质以及三角形面积等知识，

本题综合性强，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型.

28.【考点】勾股定理；等腰三角形的判定与性质.

【专题】动点型.

【分析】(1)设AD=3x,CO=4x,则AB=5x,由勾股定理求出AC,即可得

出结论；

(2)由△4BC的面积求出8。、AD.CD、AC；①当8c时，AM=AN；当。N〃

BC时，AD=AN；得出方程，解方程即可；

②由直角三角形的性质得出QE=5,根据题意得出当点M在D4上，即4V/W10时，△

为等腰三角形，有3种可能：如果OE=DW：如果ED=EM；如果MD=ME=L4；

分别得出方程，解方程即可.

【解答】(1)证明：设8D=2x,AD=3x,CD=4x,

贝ljAB=5x,

在RtZVlCD中，AC="\/AD2<D2=5X,

：.AB=AC,

...△A8C是等腰三角形;

(2)解：SMBC—AX5xX4x=40cw2,而x>0,

2

则20=4。*，AD=6cm,CD=8cm,AC—\Qcm.

①当MN〃BC时，AM=AN,

即10-t=t,

.".Z=5；

当。N〃8c时，AD^AN,

得：f=6；

...若△。/N的边与BC平行时，f值为5或6.

②：点E是边AC的中点，CD±AB,

：.DE=1AC^5,

2

当点M在8。上，即0Wf<4时，△MDE为钝角三角形，但。M#OE：

当f=4时，点M运动到点。，不构成三角形

当点〃在94上，即4<rWlO0寸，△MQE为等腰三角形，有3种可能.

如果£>E=OM,贝h-4=5,

**•f=9；

如果ED=EM,则点M运动到点A,

**•t=10；

如果MO=ME=L4,

过点E作于F,如图3所示：

*：ED=EA,

：.DF=AF=X\D=3,

2

在RtZ^AEF中，£F=4；

,:BM=t,BF=1,

:.FM=t-7

则在RtZXEBW中，(L4)2-(,-7)2=42,

•••,t=，4-9”(

6

综上所述，符合要求的，值为9或10或坐.

【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、解方程等知

识；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果.

考点卡片

1.平行线的性质

1、平行线性质定理

定理1:两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角

相等.

定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补..简单说成：两直线平行，同旁

内角互补.

定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角

相等.

2、两条平行线之间的距离处处相等.

2.全等图形

(1)全等形的概念

能够完全重合的两个图形叫做全等形.

(2)全等三角形

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

(3)三角形全等的符号

“全等”用符号“Z”表示.注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置

上.

(4)对应顶点、对应边、对应角

把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角

叫做对应角.

3.全等三角形的性质

(1)性质1：全等三角形的对应边相等

性质2：全等三角形的对应角相等

说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等

②全等三角形的周长相等，面积相等

③平移、翻折、旋转前后的图形全等

(2)关于全等三角形的性质应注意

①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边.

②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角

形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边

的对角.

4.全等三角形的判定

（1）判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等.

（2）判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.

（3）判定定理3：4SA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等.

（4）判定定理4：A4S--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.

（5）判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等.

方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若

己知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边：若已知两角对应相等，则必须再找一组对边

对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应

邻边.

5.全等三角形的判定与性质

（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三

角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.

（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅

助线构造三角形.

6.角平分线的性质

角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相

等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分

线的性质语言：如图，