2022-2023学年高一数学人教A版2019题型讲义第24讲空间直线平面的平行的基本概念

第24讲空间直线、平面的平行的基本概念【题型目录】题型一：直线与平面平行的基本概念题型二：直线与平面平行的轨迹问题【典型例题】题型一：直线与平面平行的基本概念【例1】直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（）A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．任意一条直线都不相交D．无数条直线不相交【答案】C【分析】根据直线与平面平行的定义可得出合适的选项.【详解】直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的任意一条直线都没交点，即都不相交.故选：C.【例2】如图，在长方体中，M是棱的中点，则（）A．平面B．平面BDMC．平面D．平面【答案】D【分析】作出过点的正方体的截面判断A；作出过点的正方体的截面判断B；作出过点的正方体的截面判断C；作出过点的正方体的截面判断D作答.【详解】在长方体中，M是棱的中点，对于A，取中点N，连接，如图，正方体的对角面是矩形，，即平面，而与BN相交，则与平面有公共点，A不正确；对于B，取中点P，连接，如图，正方体的对角面是矩形，，而，又都在平面内，则与MP相交，因此与平面有公共点，B不正确；对于C，取中点Q，连接，如图，，则，四边形是平行四边形，因此，又平面，则BM与平面相交，C不正确；对于D，取中点Q，中点O，连接，如图，正方形中，，则四边形是平行四边形，有，正方形中，，即四边形是平行四边形，有，又，四边形是平行四边形，则，因平面，平面，平面，D正确.故选：D【例3】下列四个正方体图形中，分别为正方体的顶点或其所在棱的中点，能得出平面的图形是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由直线与平面的位置关系对选项逐一判断【详解】对于A，由题意得，，而，，平面，平面，平面，平面，故平面平面，而平面，故平面，故A正确，对于B，取的中点，底面中心，则，故与相交，故B错误，对于C，，故平面，则平面，故C错误，对于D，作平行四边形，则与相交，故D错误，故选：A【例4】已知平面，直线，满足，，则“∥”是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，，∥，由线面平行的判定定理知∥．若∥，，，不一定推出∥，直线与可能异面，故“∥”是“∥”的充分不必要条件．故选A．【例5】下列命题：①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；②如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；③夹在两个平行平面间的平行线段相等，其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．0【答案】C【详解】根据面面平行的性质，可得：对于①中，一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另外一个平面相交，所以是正确的；对于②中，如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面，所以是正确的；对于③，若两平面平行，则夹在两个平行平面间的平行线段是相等的，所以是正确的.故选：C.【例6】平面与平面平行的充分条件是（）A．内有无穷多条直线都与平行B．直线，直线，且C．内的任何一条直线都与平行D．直线，且直线不在内，也不在内【答案】C【分析】根据面面平行的判定来判断即可.【详解】C选项是面面平行的定义，A，B，D中，平面与平面相交时都有可能满足.故选：C.【例7】下列命题中正确的是（）A．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行B．平面内有不共线的三个点A，B，C到平面的距离相等，则C．，，则D．，，，则【答案】D【分析】根据线面平行的判断和性质理解辨析.【详解】对于A：若一条直线与一个平面平行，这条直线与平面内的无数条直线平行，但不是任意一条，A错误；对于B：由题意可得：或与相交，B错误；对于C：根据题意可得：或，C错误；对于D：∵，则，使得，则∴∴，D正确；故选：D.【例8】下列能保证直线与平面平行的条件是（）A．，B．，，C．､，，，，且D．，，，【答案】B【分析】由线面平行的判定定理可知ACD不满足条件.【详解】A中，直线可能在平面内，A错误；B中，，，，根据线面平行的判定，可知，B正确；C中，，若点在内，则直线在平面内，C错误.D中，直线可能在平面内，D错误.故选：B【题型专练】1.如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是A．B．C．D．【答案】A【解析】对于选项，由于，结合线面平行判定定理可知不满足题意；对于选项，由于，结合线面平行判定定理可知不满足题意；对于选项，由于，结合线面平行判定定理可知不满足题意；所以选项满足题意，故选．2.下面四个选项中一定能得出平面平面的是（）A．存在一条直线a，，B．存在一条直线a，，C．存在两条平行直线a，b，，，，D．存在两条异面直线a，b，，，，【答案】D【详解】如图，是长方体，平面ABCD为平面，平面ABB1A1为平面，对于A，直线C1D1为直线a，显然，，而与相交，A不正确；对于B，直线CD为直线a，显然，，而与相交，B不正确；对于C，直线CD为直线a，直线A1B1为直线b，显然，，，，而与相交，C不正确；对于D，因a，b是异面直线，且，，过直线a作平面，如图，则c//a，并且直线c与b必相交，而，于是得，又，即内有两条相交直线都平行于平面，因此，平面平面.故选：D3.、、是直线，是平面，则下列说法正确的是（）A．平行于内的无数条直线，则B．不在面，则C．若，，则D．若，，则平行于内的无数条直线【答案】D【详解】对于A，当平行于内的无数条直线，若，则与不平行，所以A错误，对于B，当不在面时，与有可能相交，所以B错误，对于C，当，时，若，则与不平行，所以C错误，对于D，当，时，由线面平行的性质可知平行于内的无数条直线，所以D正确，故选：D4．下列命题正确的是（）A．若直线上有无数个点不在平面内，则直线和平面平行B．若直线与平面相交，则直线与平面内的任意直线都是异面直线C．若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内D．若直线与平面平行，则这条直线与平面内的直线平行【答案】C【分析】根据空间线线，线面的位置关系逐项分析即得.【详解】对于A，若直线上有无数个点不在平面内，则直线可能与平面相交，故A错误；对于B，若直线与平面相交，则直线与平面内的任意直线可能相交，也可能是异面直线，故B错误；对于C，根据平面的基本性质可知若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内，故C正确；对于D，若直线与平面平行，则这条直线与平面内的直线平行或异面，故D错误.故选：C.5.正方体的棱长为1，是的中点，点在上，则等于多少时，平面（）A．1B．C．D．【答案】B【详解】解：如图，连接，过点作交于，因为是的中点，所以是的中点，由正方体的性质易得，所以，因为平面，平面，所以平面，此时是的中点，故.故选：B6.设，表示不同的直线，，表示不同的平面，且，．则“”是“且”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【详解】依题意，因，，，由平面与平面平行的性质可得且，即命题：“若，则且”是真命题，当，，且时，若直线，相交，必有，若，平面与可能相交，即命题“若且，则”是假命题，综上得“”是“且”的充分但不必要条件.故选：A7.“平面内存在无数条直线与直线平行”是“直线平面”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】由平面内存在无数条直线与直线平行，则或，所以充分性不成立；反之：若直线平面，设过直线的平面与平面相交，且交线设为，由线面平行的性质定理，可得，则在平面内与直线平行的无数条直线都平行与直线，所以必要性成立，所以“平面内存在无数条直线与直线平行”是“直线平面”的必要不充分条件.故选：B.8.如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，E，F，G分别为棱的中点，则下列各选项正确的是（）A．直线与平面平行，直线与平面相交B．直线与平面相交，直线与平面平行C．直线、都与平面平行D．直线、都与平面相交【答案】A【详解】解：取的中点H，则从而四边形为平行四边形，所以．易知，则四边形为平行四边形，从而平面．又平面，所以平面．易知，则四边形为平行四边形，从而与相交，所以直线与平面相交.故选：A．9.已知a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面其中正确的命题（）①，；②，；③，；④，；

⑤，，．A．①⑤B．①②C．②④D．③⑤【答案】A【详解】①，，由平行公理4得，正确；②，，则与有可能平行、相交、异面，故错误；③，则或，故错误；④，；则或，故错误；⑤，，，由线面平行的判定定理可得．故选：A.10.如图，在三棱柱中，，，过作一平面分别交底面三角形的边，于点，，则（）A．B．C．四边形为平行四边形D．四边形为梯形【答案】D【详解】由于三点共面，平面，平面，故为异面直线，故A错由于三点共面，平面，平面，故为异面直线，故B错又∵在平行四边形中，，，∴，，故四边形为平行四边形∴.又平面，平面，∴平面.又平面，平面平面，∴，∴，显然在中，∴，∴四边形为梯形，故C错，D对故选：D11.如图所示，三棱柱ABC­A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________．【答案】1【详解】设BC1∩B1C＝O，连接OD.∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，∴A1B∥OD，∵四边形BCC1B1是菱形，∴O为BC1的中点，∴D为A1C1的中点，即A1D∶DC1＝1.故答案为：12.如图，空间四边形中，分别是△和△的重心，若，则___.

【答案】【详解】连接并延长交于，连接并延长交于，再连接，，∴，∴，又∵，∴.故答案为：.13.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件___________时，A1P平面BCD(答案不唯一，填一个满足题意的条件即可)【答案】P是CC1中点【详解】取CC1中点P，连结A1P，∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，∴当点P满足条件P是CC1中点时，A1PCD，∵A1P⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，∴当点P满足条件P是CC1中点时，A1P平面BCD故答案为：P是CC1中点.14.如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面ABC的是（）A．B．C．D．【答案】D【详解】对于A，由正方体的性质可得，可得直线平面ABC，能满足；对于B，作出完整的截面ADBCEF，由正方体的性质可得MNAD，可得直线MN平面ABC，能满足；对于C，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得MNBD，可得直线MN平面ABC，能满足；对于D，作出完整的截面，如下图ABNMHC，可得MN在平面ABC内，不能得出平行，不能满足.故选：D.题型一：直线与平面平行的轨迹问题【例1】在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，动点在正方形平面，则的最小值是（）A．2B．C．D．【答案】B【详解】如上图所示，取的中点,的中点，连接，因为分别是棱的中点，所以，，又因为,,，所以平面平面，平面，且点在右侧面，所以点的轨迹是，且，，所以当点位于中点处时，最小，此时，.故选：B【例2】在棱长为2的正方体中，分别为的中点，点在底面内，若直线与平面没有公共点，则线段长的最小值是_________．P的轨迹长度为_____________．【答案】【详解】连接，，AC，则因为分别为的中点，所以，因为∥，所以四边形是平行四边形，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面，又因为分别为的中点，所以是三角形ABC的中位线，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面，因为，平面，平面，所以平面∥平面，点P在线段AC上时，能够满足直线与平面没有公共点，点P的轨迹是线段AC，长度为，且当时，线段长度最小，此时由三线合一得：P为AC中点，因为，，所以，线段长的最小值为.故答案为：，【例3】如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是（）A．[1，]B．[，]C．[，]D．[，]【答案】B【详解】如下图所示，分别取棱，的中点、，连，，，，，分别为所在棱的中点，则，，，又平面，平面，平面.，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面，又，平面平面.是侧面内一点，且平面，点必在线段中，.同理，在中，可得，为等腰三角形.当点为中点时，，此时最短；点位于、处时，最长.由于，则,，.线段长度的取值范围是.故选：B.【题型专练】1.正三棱柱的底面边长是4，侧棱长是6，，分别为，的中点，若是侧面上一点，且平面，则线段的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由平面平面，确定点在线段上，进而由得出答案.【详解】取的中点为，连接，因为，，所以由面面平行的判定可知，平面平面，则点在线段上，当时，线段最短，，即，，故，故故选：C2．正三棱柱的底面边长是4，侧棱长是6，M，N分别为，的中点，若点P是三棱柱内（含棱柱的表面）的动点，MP∥平面，则动点P的轨迹面积为（）A．B．5C．D．【答案】C【分析】取AB的中点Q，证明平面平面得动点P的