【解析】2023年浙教版数学九年级上册4.1 比例线段 同步测试（培优版）

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2023年浙教版数学九年级上册4.1比例线段同步测试（培优版）

一、选择题（每题3分，共30分）

1．（2023九上·句容竞赛）已知abc0，而且，那么直线y=px+p一定通过（）

A．第一、二象限B．第二、三象限

C．第三、四象限D．第一、四象限

2．（2023·合肥模拟）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，若AD：BD=2：1，点G在DE上，DG：GE=1：2，连接BG并延长交AC于点F，则AF：EF等于（）

A．1：1B．4：3C．3：2D．2：3

3．（2022·临清模拟）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（）（精确到0.01．参考数据：，，）

A．B．C．D．

4．（2022九上·惠阳月考）已知线段a、b，求作线段x，使，正确的作法是（）

A．B．

C．D．

5．（2022九上·奉贤期中）已知：线段a，b，c，求作线段x，使x＝，以下作法正确的是（）

A．B．

C．D．

6．（2022九上·奉贤期中）已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作法中正确的是（）

A．B．

C．D．

7．（2022九上·定海期中）在比例尺为1：100000的地图上，甲、乙两地图距是2cm，它的实际长度约为（）

A．100kmB．2000mC．10kmD．20km

8．（2023九上·杨浦期末）已知点是线段上的一点，线段是和的比例中项，下列结论中，正确的是（）

A．B．C．D．

9．（2023·天门模拟）如图，将的圆周分成五等分（分点为A、B、C、D、E），依次隔一个分点相连，即成一个正五角星形.小张在制图过程中，惊讶于图形的奇妙，于是对图形展开了研究，得到：点M是线段AD、BE的黄金分割点，也是线段NE、AH的黄金分割点.在以下结论中，不正确的是（）

A．B．C．D．

10．（2023·泸县）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（）

A．B．C．D．

二、填空题（每空3分，共18分）

11．（2023九上·大邑期中）已知a、b、c、满足，从下列四点：①；②(2，1)；③；④(1，﹣1)，中任意取一点恰好在正比例函数y＝kx图象上的概率是.

12．（2023九上·大邑期中）在平面直角坐标系中，关于

的一次函数

，其中常数k满足

，常数b满足b＞0且b是2和8的比例中项，则该一次函数

的解析式为．

13．（2022九上·大田期中）将2，3，4，6这四个数随机排列，排列结果记为，，，.则，，，成比例的概率为.

14．（2023九上·江油期中）如图，线段AB的长为1，C在AB上，D在AC上，且，，，则AE的长为．

15．（2023九上·嘉祥期中）同学们学习了线段的黄金分割之后，曾老师提出了一个新的定义：点C是线段AB上一点，若＝kn，则称点C为线段AB的“近A，n阶黄金分割点”．例如：若＝k2，则称点C为线段AB的“近A，2阶黄金分割点”；若＝k3，则称点C为线段AB的“近A，3阶黄金分割点”．若点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，k6＝．

16．（2023·辽阳）勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉．生活中到处可见黄金分割的美．如图，线段AB=1，点P1是线段AB的黄金分割点（AP1＜BP1），点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2＜P1P2），点P3是线段AP2的黄金分割点（AP3＜P2P3），…，依此类推，则APn的长度是．

三、解答题（共9题，共72分）

17．若a、b、c是非零实数，且满足，直线y=kx+b经过点（4，0），求直线y=kx+b与两坐标轴所围成的三角形的面积．

18．已知线段a，b，c满足，且a＋2b＋c＝26.

（1）判断a，2b，c，b2是否成比例；

（2）若实数x为a，b的比例中项，求x的值．

19．（2023九上·越城期末）

（1）已知，求的值；

（2）将的图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，求两次平移后所得到的抛物线解析式.

20．（2022九上·晋州期中）已知：a，b，c三个数满足关系式．

（1）填空：：4：．

（2）若，试求出的值．

（3）在（2）的基础上，若点是反比例函数的图像上的任意一点，过点向轴引垂线，垂足为，请直接写出的面积．

21．如图，在中，，BD是AC边上的高，已知BC=5厘米，AC=13厘米．求：

（1）

（2）

（3）再找两条线段和AB、BC构成比例线段．

22．如图，在线段AB上存在一点C，满足AC∶CB＝CB∶AB＝k.

（1）求k的值；

（2）如果三条线段a，b，c满足a∶b＝b∶c＝k，问这三条线段能否构成三角形，如果能，请指出三角形的形状；如果不能，请说明理由．

23．（2023·黄埔模拟）如图1所示，点C把线段分成与，若，则称线段被点C黄金分割（goldensection），点C叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比．

（1）根据上述定义求黄金比；

（2）在图2中，利用尺规按以下步骤作图，井保留作图痕迹．①作线段的垂直平分线，得线段的中点M；②过点B作垂线l；③以点B为圆心，以为半径作圆交l于N；④连接、，以N为圆心，以为半径作圆交于P；⑤以点A为圆心，以为半径作圆交于C．

（3）证明你按以上步骤作出的C点就是线段的黄金分割点．

24．（2023九上·湖北月考）定义：如图1，点P为线段AB上一点，如果=k，那么我们称点P是线段AB的黄金分割点，叫做黄金分割数.

（1）理解：利用图1，运用一元二次方程的知识，求证：黄金分割数；

（2）应用：如图2，抛物线y＝x2+nx＋2n（n<0）的图象与x轴交于A、B两点（OA<OB），若原点O是线段AB的黄金分割点，①求线段AB的长；②直接写出点A和点B的坐标.

25．如图，点B在线段AC上的黄金分割点，且AB＞BC．

（1）设AC=2，完成下面填空

设AB=x，则BC=2﹣x

∵点B在线段AC上的黄金分割点，且AB＞BC，

∴，可列方程为，

解得方程的根为，于是，AB的长为．

（2）在线段AC（如图1）上利用三角板和圆规画出点B的位置（保留作图痕迹，不写作法）；

（3）若m、n为正实数，t是关于x的方程x2+2mx=n2的一正实数根，

①求证：（t+m）2=m2+n2；

②若两条线段的长分别为m、n（如图2），请画出一条长为t的线段（保留作图痕迹，不写作法）．

答案解析部分

1．【答案】B

【知识点】一次函数的图象；比例的性质

【解析】【解答】由条件得：①a+b=pc，②b+c=pa，③a+c=pb，

三式相加得2（a+b+c）=p（a+b+c）．

∴有p=2或a+b+c=0．

当p=2时，y=2x+2．则直线通过第一、二、三象限．

当a+b+c=0时，不妨取a+b=-c，于是p==-1，（c≠0），

∴y=-x-1，

∴直线通过第二、三、四象限．

综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限．

答案为：B．

【分析】可分a+b+c=0与不等于0，两种情况，再利用等比性质，可求出p值为2或-1，进而得出答案.

2．【答案】C

【知识点】比例的性质；比例线段

【解析】【解答】解：

作DH//BF交AC于H

设HF=a，则AH=2a

故答案为C

【分析】作平行线，利用相似三角形等比例关系即可求出答案。

3．【答案】B

【知识点】比例的性质

【解析】【解答】设雕像的下部高为xm，则上部长为，

∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，高度为，

∴，

∴，

解得：（舍）或，

∴．

故答案为：B．

【分析】设雕像的下部高为xm，则上部长为，根据题意列出方程可得，再求出x的值即可。

4．【答案】C

【知识点】比例的性质

【解析】【解答】解：由题意，

∴，

∵线段x没法先作出，

根据平行线分线段成比例定理，只有C符合．

故答案为：C．

【分析】利用平行线分线段成比例的性质逐项判断即可。

5．【答案】B

【知识点】比例线段

【解析】【解答】解：由A得，，则x＝，不符合题意；

由B得，，则x＝，符合题意；

由C得，，则x＝，不符合题意；

由D得，，则x＝，不符合题意；

故答案为：B．

【分析】利用比例线段的性质求出各项中x的值，再求解即可。

6．【答案】D

【知识点】比例线段

【解析】【解答】解：A、，即，但x是未知线段，不能画出，故不符合题意；

B、，即，不符合题意；

C、，即，不符合题意；

D、，即，符合题意；

故答案为：D．

【分析】根据比例线段的性质逐项判断即可。

7．【答案】B

【知识点】比例线段

【解析】【解答】解：设实际长度为xcm，

∴比例尺=，

∴x=200000cm=2000m，

∴它的实际长度约为2000m，

故答案为：B.

【分析】设实际长度为xcm，根据比例尺=列出比例式，求出x的值，即可得出答案.

8．【答案】C

【知识点】比例线段

【解析】【解答】解：设AB=1，AP=x，则PB=1－x，

∵线段是和的比例中项，

∴AP2=PB·AB，即x2=1－x，

∴x2+x－1=0，

解得：，（舍去），

∴PB=1－=，

∴，，，，

故答案为：C．

【分析】先求出x2=1－x，再求出PB的值，最后计算求解即可。

9．【答案】C

【知识点】圆内接正多边形；黄金分割

【解析】【解答】解：如图，连接AB，BC，CD，DE，EA，

∵点M是线段AD、BE的黄金分割点，也是线段NE、AH的黄金分割点，

∴，

∵AB=BC=CD=DE=EA，

∴∠DAE=∠AEB，

∴AM=ME，

∴，

∴A正确，不符合题意；

∵点M是线段AD、BE的黄金分割点，也是线段NE、AH的黄金分割点，

∴点F是线段BD的黄金分割点，

∴，

∵AB=BC=CD=DE=EA，∠BCD=∠AED，

∴△BCD≌△AED，

∴AD=BD，

∴，

∴B正确，不符合题意；

∵AB=BC=CD=DE=EA，∠BAE=108°，

∴∠BAC=∠CAD=∠DAE，

∴∠CAD=36°，

∴D正确，不符合题意；

∵∠CAD=36°，AN=BN=AM=ME，

∴∠ANM=∠AMN=72°，

∴AM＞MN，

∴C错误，符合题意；

故答案为：C.

【分析】连接AB，BC，CD，DE，EA，由黄金分割点可得，由圆周分成五等分可得AB=BC=CD=DE=EA，从而得出∠DAE=∠AEB，利用等角对等边可得AM=ME，即可判断A；由黄金分割点可得，再证△BCD≌△AED，可得AD=BD，即得，据此判断B；根据正五边形的性质及弧、弦、圆周角的关系可得∠BAC=∠CAD=∠DAE=36°，据此判断D；易求∠ANM=∠AMN=72°，可得AM＞MN，据此判断C.

10．【答案】A

【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；黄金分割

【解析】【解答】解：过点A作AF⊥BC，

∵AB=AC，

∴BF=BC=2，

在Rt,AF=，

∵D是边的两个“黄金分割”点，

∴即，

解得CD=，

同理BE=，

∵CE=BC-BE=4-(-2)=6-，

∴DE=CD-CE=4-8，

∴S△ABC===，

故答案为：A.

【分析】作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出BE、CD的长度，得到中DE的长，利用三角形面积公式即可解题.

11．【答案】

【知识点】比例的性质；正比例函数的定义；简单事件概率的计算

【解析】【解答】解：∵a、b、c、满足，

∴当a+b+c=0时，k=﹣1，

此时正比例函数的表达式为y＝-x，

将四个点代入，点④（1，﹣1）在正比例函数y＝﹣x的图象上；

当a+b+c≠0时，

k===，

∴正比例函数的表达式为y＝x，

将四个点代入，点①和点②(2，1)在正比例函数y＝x的图象上，

∴任意取一点恰好在正比例函数y＝kx图象上的概率是，

故答案为：.

【分析】分两种情况讨论，结合比例式，当a+b+c=0时，得出k=﹣1，当a+b+c≠0时，求出k=，将四个点分别代入函数式求出k值，则可得出符合条件的情况数，然后利用概率公式计算即可.

12．【答案】或

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；比例的性质

【解析】【解答】∵b是2和8的比例中项，

∴2：b=b：8，

解得b=

，

∵b＞0，

∴b=4，

∵，

∴

∴①+②+③，得a+b+c=2k(a+b+c)，

当a+b+c

时，解得k=

，

当a+b+c=0时，k=-1，

∴该一次函数

的解析式为

或

，

故答案为：

或

.

【分析】利用b＞0且b是2和8的比例中项求出b，利用

得到

，解出k的值，即可得到一次函数的解析式.

13．【答案】

【知识点】比例线段；等可能事件的概率

【解析】【解答】解：四个数随机排列，第一个数有4种情况，第二个数有3种情况，第三个数有2种情况，第四个数有一种情况，一共有：种不同的排列方法，

能够成比例的有：2、3、4、6；2、4、3、6；6、3、4、2；6、4、3、2；3、2、6、4；3、6、2、4；4、6、2、3；4、2、3、6；一共8种情况；

∴，

故答案为：.

【分析】将2，3，4，6这四个数随机排列，第一个数有4种情况，第二个数有3种情况，第三个数有2种情况，第四个数有一种情况，一共有24种情况，其中a、b、c、d成比例的有8种，根据概率公式即可求解．

14．【答案】

【知识点】比例线段

【解析】【解答】解：设AC=x，则BC=AB-AC=1-x，

∵AC2=BCAB，

∴x2=1-x，

解得：（不合题意，舍去），

∴AC=，

∵AD2=CDAC，

∴同理可得AD=，

∵AE2=DEAD，

∴同理可得AE=；

故答案为：．

【分析】设AC=x，则BC=AB-AC=1-x，由AC2=BCAB建立方程并解之，即得AC=，再利用AD2=CDAC求出AD的长，最后利用AE2=DEAD即可求出AE的长.

15．【答案】

【知识点】黄金分割

【解析】【解答】解：由题意，点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

即：，

整理得：，

解得：或，

经检验，或是上述分式方程的解，

∵，

∴，

故答案为：．

【分析】由题意得，则，再由=，即得，整理得，再解方程即可.

16．【答案】

【知识点】黄金分割

【解析】【解答】解：∵线段AB=1，点P1是线段AB的黄金分割点（AP1＜BP1），∴BP1=AB=，∴AP1=1﹣=，

∵点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2＜P1P2），

∴AP2=×=（）2，∴AP3=（）3，∴APn=（）n．故答案为（）n．

【分析】根据黄金分割的定义得到BP1=AB=，则AP1=1﹣=，同理得到AP2=×=（）2，AP3=（）3，根据此规律得到APn=（）n．

17．【答案】解：∵∴a=（b+c）k，b=（a+c）k，c=（a+b）k，∴a+b+c=2（a+b+c）k，∴①当a+b+c≠0时，k=，∴y=kx+b变为：y=x+b，∵经过点（4，0），∴×4+b=0，b=-2，∴y=x-2，图象如图：S△ABO=×AO×BO=×2×4=4．②当a+b+c=0时，a=-（b+c），k==-1同法可请求：y=-x+4，S△ADO=8，即直线y=kx+b与两坐标轴所围成的三角形的面积是4或8

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；比例的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题

【解析】【分析】根据已知可得出a=（b+c）k，b=（a+c）k，c=（a+b）k，就可得出a+b+c=2（a+b+c）k，再根据a+b+c=0和a+b+c≠0，可得出y=kx+b中的k的值，将（4，0）代入函数解析式求出b的值，从而可得到函数解析式，然后分别求出函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积。

18．【答案】（1）解：设，则a=3k，b=2k，c=6k，

又∵a+2b+c=26，

∴3k+2×2k+6k=26，解得k=2，

∴a=6，b=4，c=12；∴2b=8，b2=16∵a=6，2b=8，c=12，b2=16∴2bc=96，ab2=6×16=96∴2bc=ab2a，2b，c，b2是成比例的线段。

（2）解：∵x是a、b的比例中项，∴x2=6ab，

∴x2=6×4×6，

∴x=12．

【知识点】比例的性质；比例线段

【解析】【分析】（1）设已知比例式的值为k，可得出a=3k，b=2k，c=6k，再代入a+2b+c=26，建立关于k的方程，求出kl的值，再求出2b、b2，然后利用成比例线段的定义，可判断a，2b，c，b2是否成比例。

（2）根据实数x为a，b的比例中项，可得出x2=ab，建立关于x的方程，求出x的值。

19．【答案】（1）解：，

，

；

（2）解：，

将的图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位后得到的抛物线的解析式为：.

【知识点】二次函数图象的几何变换；比例的性质

【解析】【分析】（1）将已知等式变形用含b的式子表示出a，进而代入所求式子合并后约分即可；

（2）首先将解析式配成顶点式，进而根据将抛物线y=a（x-h）2+k向左平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a（x-h+m）2+k；将抛物线y=a（x-h）2+k向右平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a（x-h-m）2+k；将抛物线y=a（x-h）2+k向上平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k+m；将抛物线y=a（x-h）2+k向下平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k-m，据此即可得出答案.

20．【答案】（1）6；3

（2）解：由（1）的结论，设，，，

∴，

∴．

（3）解：3

【知识点】反比例函数系数k的几何意义；比例的性质

【解析】【解答】（1）解：根据题意，设，

∴，，，

∴，，

∴，

∴答案是：6，3．

（3）解：根据题意得，如图所示，

当点在第一象限时，且在反比例函数上，设，

∴，，

∴；

同理，当点在第三象限时，且在反比例函数上，设，且，

∴，，

∴，

综上所述，的面积为3．

【分析】（1）设，求出a、b、c的值，再将其代入计算即可；

（2）设，，，将其代入计算即可；

（3）设，求出，设，求出即可。

21．【答案】（1）解：在中，，BC=5厘米，AC=13厘米，厘米．

（2）解：在中，

（3）解：∵AB：AC=BD：BC

∴和AB、BC构成比例线段的两条线段是AC，BD

【知识点】比例线段

【解析】【分析】（1）理由勾股定理求出AB的长，再求出AB与BC的比值。

（2）根据三角形的面积公式，可得等积式ABBC=ACBD，代入计算求出BD，再求出BD与AC的比值。

（3）根据线段的长，可得出和AB、BC构成比例线段的两条线段是AC，BD。

22．【答案】（1）解：设AB=a，BC=x，则AC=(a-x)，∵AC：CB=CB：AB，

即，解得：x=a，∴k=CB：AB=a：a=

（2）解：不能

理由：∵a∶b＝b∶c＝k

∴b=kc=c，a=kb=（）2c==

a+b=c

∴a、b、c不能构成三角形

【知识点】比例线段；黄金分割

【解析】【分析】（1）设AB=a，BC=x，可表示出AC，再根据AC：CB=CB：AB，求出x的值，然后由k=CB：AB，求出k的值。

（2）根据a：b=b：c=k，分别求出a、b，可证得a+b=c，再根据三角形三边关系即可得出结论。

23．【答案】（1）解：如图，设，，．

由，得．∴，

即，

解这个方程，得，（不合题意，舍去）．

所以，黄金比

（2）解：如图所示．

①作线段的垂直平分线，得线段的中点M；

②过点B作垂线l；

方法2：如图所示，用圆规过点B作垂线l．

③以点B为圆心，以为半径作圆交l于N；

④连接、，以N为圆心，以为半径作圆交于P；

⑤以点A为圆心，以为半径作圆交于C．

（3）解：设，由以上作法可知，，

在中，，

∴．

∴，所以点C是线段的黄金分割点

【知识点】勾股定理；黄金分割

【解析】【分析】（1）设，，根据黄金分割的概念列出比例式，得到一元二次方程，解方程得到答案；

（2）根据要求作图即可；

（3）设，根据题意表示出BN、NP，根据勾股定理求出AN，求出AC与AB的比值，根据黄金比值进行判断即可。

24．【答案】（1）证明：设，，则，

由得：，

即，

解得，

∵，

∴，

；

（2）解：①设，，则，，，

由二次函数与一元二次方程的联系得：，是方程的两根，

∴，，

∵原点是线段的黄金分割点，且，

∴，即，

∴，

整理得：，

∴，

∴，

即；②，.

【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系；黄金分割

【解析】【解答】（2）②由（2）①得：，

由黄金分割点的定义得：，

解得，

则，

故，.

【分析】（1）设，，从而可得，再根据黄金分割点的定义建立方程，然后利用公式法解一元二次方程即可得；

（2）①设，，从而可得，，，再根据一元二次方程根与系数的关系可得，，然后根据黄金分割点的定义可得，从而可得，由此化简即可得；②根据①的结论，利用黄金分割点的定义分别求出OA、OB的长，由此即可得.

25．【答案】（1）；；x1=﹣1+，x2=﹣1﹣；﹣1+

（2）解：作图见下图1：

（3）①证明：解关于x的方程x2+2mx=n2：

x2+2mx+m2=m2+n2

（x+m）2═m2+n2，

∵t是关于x的方程x2+2mx=n2的一正实数根，

∴（t+m）2=m2+n2

②解：图见下图

【知识点】点与圆的位置关系；黄金分割

【解析】【解答】解：（1.）设AB=x，则BC=2﹣x

∵点B在线段AC上的黄金分割点，且AB＞BC，

∴，

可列方程为：，

解得：x1=﹣1+，x2=﹣1﹣，

∴AB的长为：﹣1+；

故答案为：，，x1=﹣1+，x2=﹣1﹣，﹣1+；

（2.）作图见下图1：

（3.）②作图见下图

【分析】（1）若点B在线段AC上的黄金分割点，且AB＞BC，则，设AB=x，则BC=2﹣x代入求值即可．（2）①利用勾股定理画出，再在长为的线段上截取长为1的线段，剩余部分就是．②根据配方法解该方程的根即可，作图与①雷同．

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2023年浙教版数学九年级上册4.1比例线段同步测试（培优版）

一、选择题（每题3分，共30分）

1．（2023九上·句容竞赛）已知abc0，而且，那么直线y=px+p一定通过（）

A．第一、二象限B．第二、三象限

C．第三、四象限D．第一、四象限

【答案】B

【知识点】一次函数的图象；比例的性质

【解析】【解答】由条件得：①a+b=pc，②b+c=pa，③a+c=pb，

三式相加得2（a+b+c）=p（a+b+c）．

∴有p=2或a+b+c=0．

当p=2时，y=2x+2．则直线通过第一、二、三象限．

当a+b+c=0时，不妨取a+b=-c，于是p==-1，（c≠0），

∴y=-x-1，

∴直线通过第二、三、四象限．

综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限．

答案为：B．

【分析】可分a+b+c=0与不等于0，两种情况，再利用等比性质，可求出p值为2或-1，进而得出答案.

2．（2023·合肥模拟）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，若AD：BD=2：1，点G在DE上，DG：GE=1：2，连接BG并延长交AC于点F，则AF：EF等于（）

A．1：1B．4：3C．3：2D．2：3

【答案】C

【知识点】比例的性质；比例线段

【解析】【解答】解：

作DH//BF交AC于H

设HF=a，则AH=2a

故答案为C

【分析】作平行线，利用相似三角形等比例关系即可求出答案。

3．（2022·临清模拟）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（）（精确到0.01．参考数据：，，）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】比例的性质

【解析】【解答】设雕像的下部高为xm，则上部长为，

∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，高度为，

∴，

∴，

解得：（舍）或，

∴．

故答案为：B．

【分析】设雕像的下部高为xm，则上部长为，根据题意列出方程可得，再求出x的值即可。

4．（2022九上·惠阳月考）已知线段a、b，求作线段x，使，正确的作法是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【知识点】比例的性质

【解析】【解答】解：由题意，

∴，

∵线段x没法先作出，

根据平行线分线段成比例定理，只有C符合．

故答案为：C．

【分析】利用平行线分线段成比例的性质逐项判断即可。

5．（2022九上·奉贤期中）已知：线段a，b，c，求作线段x，使x＝，以下作法正确的是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【知识点】比例线段

【解析】【解答】解：由A得，，则x＝，不符合题意；

由B得，，则x＝，符合题意；

由C得，，则x＝，不符合题意；

由D得，，则x＝，不符合题意；

故答案为：B．

【分析】利用比例线段的性质求出各项中x的值，再求解即可。

6．（2022九上·奉贤期中）已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作法中正确的是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【知识点】比例线段

【解析】【解答】解：A、，即，但x是未知线段，不能画出，故不符合题意；

B、，即，不符合题意；

C、，即，不符合题意；

D、，即，符合题意；

故答案为：D．

【分析】根据比例线段的性质逐项判断即可。

7．（2022九上·定海期中）在比例尺为1：100000的地图上，甲、乙两地图距是2cm，它的实际长度约为（）

A．100kmB．2000mC．10kmD．20km

【答案】B

【知识点】比例线段

【解析】【解答】解：设实际长度为xcm，

∴比例尺=，

∴x=200000cm=2000m，

∴它的实际长度约为2000m，

故答案为：B.

【分析】设实际长度为xcm，根据比例尺=列出比例式，求出x的值，即可得出答案.

8．（2023九上·杨浦期末）已知点是线段上的一点，线段是和的比例中项，下列结论中，正确的是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】比例线段

【解析】【解答】解：设AB=1，AP=x，则PB=1－x，

∵线段是和的比例中项，

∴AP2=PB·AB，即x2=1－x，

∴x2+x－1=0，

解得：，（舍去），

∴PB=1－=，

∴，，，，

故答案为：C．

【分析】先求出x2=1－x，再求出PB的值，最后计算求解即可。

9．（2023·天门模拟）如图，将的圆周分成五等分（分点为A、B、C、D、E），依次隔一个分点相连，即成一个正五角星形.小张在制图过程中，惊讶于图形的奇妙，于是对图形展开了研究，得到：点M是线段AD、BE的黄金分割点，也是线段NE、AH的黄金分割点.在以下结论中，不正确的是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】圆内接正多边形；黄金分割

【解析】【解答】解：如图，连接AB，BC，CD，DE，EA，

∵点M是线段AD、BE的黄金分割点，也是线段NE、AH的黄金分割点，

∴，

∵AB=BC=CD=DE=EA，

∴∠DAE=∠AEB，

∴AM=ME，

∴，

∴A正确，不符合题意；

∵点M是线段AD、BE的黄金分割点，也是线段NE、AH的黄金分割点，

∴点F是线段BD的黄金分割点，

∴，

∵AB=BC=CD=DE=EA，∠BCD=∠AED，

∴△BCD≌△AED，

∴AD=BD，

∴，

∴B正确，不符合题意；

∵AB=BC=CD=DE=EA，∠BAE=108°，

∴∠BAC=∠CAD=∠DAE，

∴∠CAD=36°，

∴D正确，不符合题意；

∵∠CAD=36°，AN=BN=AM=ME，

∴∠ANM=∠AMN=72°，

∴AM＞MN，

∴C错误，符合题意；

故答案为：C.

【分析】连接AB，BC，CD，DE，EA，由黄金分割点可得，由圆周分成五等分可得AB=BC=CD=DE=EA，从而得出∠DAE=∠AEB，利用等角对等边可得AM=ME，即可判断A；由黄金分割点可得，再证△BCD≌△AED，可得AD=BD，即得，据此判断B；根据正五边形的性质及弧、弦、圆周角的关系可得∠BAC=∠CAD=∠DAE=36°，据此判断D；易求∠ANM=∠AMN=72°，可得AM＞MN，据此判断C.

10．（2023·泸县）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；黄金分割

【解析】【解答】解：过点A作AF⊥BC，

∵AB=AC，

∴BF=BC=2，

在Rt,AF=，

∵D是边的两个“黄金分割”点，

∴即，

解得CD=，

同理BE=，

∵CE=BC-BE=4-(-2)=6-，

∴DE=CD-CE=4-8，

∴S△ABC===，

故答案为：A.

【分析】作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出BE、CD的长度，得到中DE的长，利用三角形面积公式即可解题.

二、填空题（每空3分，共18分）

11．（2023九上·大邑期中）已知a、b、c、满足，从下列四点：①；②(2，1)；③；④(1，﹣1)，中任意取一点恰好在正比例函数y＝kx图象上的概率是.

【答案】

【知识点】比例的性质；正比例函数的定义；简单事件概率的计算

【解析】【解答】解：∵a、b、c、满足，

∴当a+b+c=0时，k=﹣1，

此时正比例函数的表达式为y＝-x，

将四个点代入，点④（1，﹣1）在正比例函数y＝﹣x的图象上；

当a+b+c≠0时，

k===，

∴正比例函数的表达式为y＝x，

将四个点代入，点①和点②(2，1)在正比例函数y＝x的图象上，

∴任意取一点恰好在正比例函数y＝kx图象上的概率是，

故答案为：.

【分析】分两种情况讨论，结合比例式，当a+b+c=0时，得出k=﹣1，当a+b+c≠0时，求出k=，将四个点分别代入函数式求出k值，则可得出符合条件的情况数，然后利用概率公式计算即可.

12．（2023九上·大邑期中）在平面直角坐标系中，关于

的一次函数

，其中常数k满足

，常数b满足b＞0且b是2和8的比例中项，则该一次函数

的解析式为．

【答案】或

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；比例的性质

【解析】【解答】∵b是2和8的比例中项，

∴2：b=b：8，

解得b=

，

∵b＞0，

∴b=4，

∵，

∴

∴①+②+③，得a+b+c=2k(a+b+c)，

当a+b+c

时，解得k=

，

当a+b+c=0时，k=-1，

∴该一次函数

的解析式为

或

，

故答案为：

或

.

【分析】利用b＞0且b是2和8的比例中项求出b，利用

得到

，解出k的值，即可得到一次函数的解析式.

13．（2022九上·大田期中）将2，3，4，6这四个数随机排列，排列结果记为，，，.则，，，成比例的概率为.

【答案】

【知识点】比例线段；等可能事件的概率

【解析】【解答】解：四个数随机排列，第一个数有4种情况，第二个数有3种情况，第三个数有2种情况，第四个数有一种情况，一共有：种不同的排列方法，

能够成比例的有：2、3、4、6；2、4、3、6；6、3、4、2；6、4、3、2；3、2、6、4；3、6、2、4；4、6、2、3；4、2、3、6；一共8种情况；

∴，

故答案为：.

【分析】将2，3，4，6这四个数随机排列，第一个数有4种情况，第二个数有3种情况，第三个数有2种情况，第四个数有一种情况，一共有24种情况，其中a、b、c、d成比例的有8种，根据概率公式即可求解．

14．（2023九上·江油期中）如图，线段AB的长为1，C在AB上，D在AC上，且，，，则AE的长为．

【答案】

【知识点】比例线段

【解析】【解答】解：设AC=x，则BC=AB-AC=1-x，

∵AC2=BCAB，

∴x2=1-x，

解得：（不合题意，舍去），

∴AC=，

∵AD2=CDAC，

∴同理可得AD=，

∵AE2=DEAD，

∴同理可得AE=；

故答案为：．

【分析】设AC=x，则BC=AB-AC=1-x，由AC2=BCAB建立方程并解之，即得AC=，再利用AD2=CDAC求出AD的长，最后利用AE2=DEAD即可求出AE的长.

15．（2023九上·嘉祥期中）同学们学习了线段的黄金分割之后，曾老师提出了一个新的定义：点C是线段AB上一点，若＝kn，则称点C为线段AB的“近A，n阶黄金分割点”．例如：若＝k2，则称点C为线段AB的“近A，2阶黄金分割点”；若＝k3，则称点C为线段AB的“近A，3阶黄金分割点”．若点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，k6＝．

【答案】

【知识点】黄金分割

【解析】【解答】解：由题意，点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

即：，

整理得：，

解得：或，

经检验，或是上述分式方程的解，

∵，

∴，

故答案为：．

【分析】由题意得，则，再由=，即得，整理得，再解方程即可.

16．（2023·辽阳）勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉．生活中到处可见黄金分割的美．如图，线段AB=1，点P1是线段AB的黄金分割点（AP1＜BP1），点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2＜P1P2），点P3是线段AP2的黄金分割点（AP3＜P2P3），…，依此类推，则APn的长度是．

【答案】

【知识点】黄金分割

【解析】【解答】解：∵线段AB=1，点P1是线段AB的黄金分割点（AP1＜BP1），∴BP1=AB=，∴AP1=1﹣=，

∵点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2＜P1P2），

∴AP2=×=（）2，∴AP3=（）3，∴APn=（）n．故答案为（）n．

【分析】根据黄金分割的定义得到BP1=AB=，则AP1=1﹣=，同理得到AP2=×=（）2，AP3=（）3，根据此规律得到APn=（）n．

三、解答题（共9题，共72分）

17．若a、b、c是非零实数，且满足，直线y=kx+b经过点（4，0），求直线y=kx+b与两坐标轴所围成的三角形的面积．

【答案】解：∵∴a=（b+c）k，b=（a+c）k，c=（a+b）k，∴a+b+c=2（a+b+c）k，∴①当a+b+c≠0时，k=，∴y=kx+b变为：y=x+b，∵经过点（4，0），∴×4+b=0，b=-2，∴y=x-2，图象如图：S△ABO=×AO×BO=×2×4=4．②当a+b+c=0时，a=-（b+c），k==-1同法可请求：y=-x+4，S△ADO=8，即直线y=kx+b与两坐标轴所围成的三角形的面积是4或8

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；比例的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题

【解析】【分析】根据已知可得出a=（b+c）k，b=（a+c）k，c=（a+b）k，就可得出a+b+c=2（a+b+c）k，再根据a+b+c=0和a+b+c≠0，可得出y=kx+b中的k的值，将（4，0）代入函数解析式求出b的值，从而可得到函数解析式，然后分别求出函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积。

18．已知线段a，b，c满足，且a＋2b＋c＝26.

（1）判断a，2b，c，b2是否成比例；

（2）若实数x为a，b的比例中项，求x的值．

【答案】（1）解：设，则a=3k，b=2k，c=6k，

又∵a+2b+c=26，

∴3k+2×2k+6k=26，解得k=2，

∴a=6，b=4，c=12；∴2b=8，b2=16∵a=6，2b=8，c=12，b2=16∴2bc=96，ab2=6×16=96∴2bc=ab2a，2b，c，b2是成比例的线段。

（2）解：∵x是a、b的比例中项，∴x2=6ab，

∴x2=6×4×6，

∴x=12．

【知识点】比例的性质；比例线段

【解析】【分析】（1）设已知比例式的值为k，可得出a=3k，b=2k，c=6k，再代入a+2b+c=26，建立关于k的方程，求出kl的值，再求出2b、b2，然后利用成比例线段的定义，可判断a，2b，c，b2是否成比例。

（2）根据实数x为a，b的比例中项，可得出x2=ab，建立关于x的方程，求出x的值。

19．（2023九上·越城期末）

（1）已知，求的值；

（2）将的图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，求两次平移后所得到的抛物线解析式.

【答案】（1）解：，

，

；

（2）解：，

将的图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位后得到的抛物线的解析式为：.

【知识点】二次函数图象的几何变换；比例的性质

【解析】【分析】（1）将已知等式变形用含b的式子表示出a，进而代入所求式子合并后约分即可；

（2）首先将解析式配成顶点式，进而根据将抛物线y=a（x-h）2+k向左平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a（x-h+m）2+k；将抛物线y=a（x-h）2+k向右平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a（x-h-m）2+k；将抛物线y=a（x-h）2+k向上平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k+m；将抛物线y=a（x-h）2+k向下平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k-m，据此即可得出答案.

20．（2022九上·晋州期中）已知：a，b，c三个数满足关系式．

（1）填空：：4：．

（2）若，试求出的值．

（3）在（2）的基础上，若点是反比例函数的图像上的任意一点，过点向轴引垂线，垂足为，请直接写出的面积．

【答案】（1）6；3

（2）解：由（1）的结论，设，，，

∴，

∴．

（3）解：3

【知识点】反比例函数系数k的几何意义；比例的性质

【解析】【解答】（1）解：根据题意，设，

∴，，，

∴，，

∴，

∴答案是：6，3．

（3）解：根据题意得，如图所示，

当点在第一象限时，且在反比例函数上，设，

∴，，

∴；

同理，当点在第三象限时，且在反比例函数上，设，且，

∴，，

∴，

综上所述，的面积为3．

【分析】（1）设，求出a、b、c的值，再将其代入计算即可；

（2）设，，，将其代入计算即可；

（3）设，求出，设，求出即可。

21．如图，在中，，BD是AC边上的高，已知BC=5厘米，AC=13厘米．求：

（1）

（2）

（3）再找两条线段和AB、BC构成比例线段．

【答案】（1）解：在中，，BC=5厘米，AC=13厘米，厘米．

（2）解：在中，

（3）解：∵AB：AC=BD：BC

∴和AB、BC构成比例线段的两条线段是AC，BD

【知识点】比例线段

【解析】【分析】（1）理由勾股定理求出AB的长，再求出AB与BC的比值。

（2）根据三角形的面积公式，可得等积式ABBC=ACBD，代入计算求出BD，再求出BD与AC的比值。

（3）根据线段的长，可得出和AB、BC构成比例线段的两条线段是AC，BD。

22．如图，在线段AB上存在一点C，满足AC∶CB＝CB∶AB＝k.

（1）求k的值；

（2）如果三条线段a，b，c满足a∶b＝b∶c＝k，问这三条线段能否构成三角形，如果能，请指出三角形的形状；如果不能，请说明理由．

【答案】（1）解：设AB=a，BC=x，则AC=(a-x)，∵AC：CB=CB：AB，

即，解得：x=a，∴k=CB：AB=a：a=

（2）解：不能

理由：∵a∶b＝b∶c＝k

∴b=kc=c，a=kb=（）2c==

a+b=c

∴a、b、c不能构成三角形

【知识点】比例线段；黄金分割

【解析】【分析】（1）设AB=a，BC=x，可表示出AC，再根据AC：CB=CB：AB，求出x的值，然后由k=CB：AB，求出k的值。

（2）根据a：b=b：c=k，分别求出a、b，可证得a+b=c，再根据三角形三边关系即可得出结论。

23．（2023·黄埔模拟）如图1所示，点C把线段分成与，若，则称线段被点C黄金分割（goldensection），点C叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比．

（1）根据上述定义求黄金比；

（2）在图2中，利用尺规按以下步骤作图，井保留作图痕迹．①作线段的垂直平分线，得线段的中点M；②过点B作垂线l；③以点B为圆心，以为半径作圆交l于N；④连接、，以N为圆心，以为