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文档简介

山西一模压轴是一个很经典的极点极线背景1.基本结论如图，若四点成调和点列，在这四点所在直线外任取一点，所形成的的四条射线，，，，称为调和线束.对于一组调和线束，本节给出其斜率之间所满足的基本关系，并进一步用此结论去解决一些与极点极线有关的斜率恒等式.结论[1]:如图1.若调和线束，，，的方程为.那么.2．案例呈现例1（2023届山西一模）已知椭圆，设过点的直线交椭圆于两点，交直线于点，点为直线上不同于点的任意一点.（1）若，求的取值范围；（2）若，记直线的斜率分别为，问是否存在的某种排列（其中），使得成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明：若不存在，说明理由.解析：由于关于椭圆的极线方程为，故为调和点列，则为调和线束，则有，其中，故可得：.3.结论呈现：斜率成等差模型结论：已知椭圆，过定点作一直线交椭圆于两点，交点的极线于点，是椭圆上一点，且点横坐标为,则直线的斜率成等差数列.4.真题再现例2（2013江西卷）．椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）如图，是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意一点，直线交轴于点，直线交于点，设的斜率为，的斜率为，试证明：为定值.解析：（1）；如图，连接，交与点，连接交轴于点，则点关于椭圆的极线为直线.又因点在轴上，则点对应的极线垂直于轴且过点和，则可知为一组调和点列，为一组调和线束，即有，则，因此，此时可认为直线的斜率为无穷大，则，即，即，因此.详解（1），（2）由（1）知,直线AD方程为：；直线BP方程：，联立得直线BP和椭圆联立方程组解得P点坐标为，因为D,N,P三点共线,所以有：4.更多推广（1）斜率倒数成等差已知椭圆，点为直线上任一点，过的直线与椭圆交于两点，设椭圆的下顶点为，设关于的极线极线方程与直线交于点，则.例3（2022武汉九月调考）已知椭圆，过点且与轴平行的直线与椭圆恰有一个公共点，过点且与轴平行的直线被椭圆截得的线段长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设过点的动直线与椭圆交于两点，为轴上的一点，设直线和的斜率分别为和，若为定值，求点的坐标.解：由题意，椭圆的下顶点为，故.由对称性，椭圆过点，代入椭圆方程有，解得：.故椭圆的标准方程为：.（2）设点坐标为.当直线斜率存在时，设其方程为，与联立得：.设，则.，，为定值，即与无关，则，此时.经检验，当直线斜率不存在时也满足，故点坐标为.（2）等角定理已知椭圆，点，设不与轴垂直的直线与椭圆相交于两点，则直线过定点的充要条件是轴是的角平分线.证：由于直线是点关于椭圆的极线，所以成调和点列，分别设直线为，那么四直线的交比,利用交比的性质可得，又由于，故，即，此题中，，故.例4.设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：.解析：（1）略.（2）当与轴重合时，.当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以.当与轴不重合也不

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