2022-2023学年吉林省长春市重点大学附中高一（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年吉林省长春市重点大学附中高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列向量中不是单位向量的是(

)A.a=(1,0) B.a2.在复平面内，复数z=i1+A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.用斜二测画法得到的一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是(

)

A. B.

C. D.4.米斗是古代官仓、米行等用来称量粮食的器具，鉴于其储物功能以及吉祥富足的寓意，现今多在超市、粮店等广泛使用.如图为一个正四棱台形米斗(忽略其厚度)，其上、下底面正方形边长分别为30cm、20cm，侧棱长为511cm，若将该米斗盛满大米(沿着上底面刮平后不溢出A.6.6千克 B.6.8千克 C.7.6千克 D.7.8千克5.已知△ABC的外接圆圆心为O，且2AO=ABA.34CB B.−14C6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2023taA.2023 B.2024 C.4046 D.40477.如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=4，E为CD中点，M，N分别为AD，BC的中点，将△ADE沿AE折起，使点D到A.1 B.2 C.3 D.48.如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA=sinB，且3(

A.△ABC是等边三角形

B.若AC=213，则A、B，C，D四点共圆

C.四边形A二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.设有两条不同的直线m、n和两个不同的平面α、β，下列命题中错误的命题是(

)A.若m/​/α，n/​/α，则m/​/n

B.若m⊂α，n⊂α，m//β，10.已知向量a，b，满足|a|=|b|A.a⋅b=−2 B.a与b的夹角为π3

C.|a11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列叙述正确的是A.若asinB=bsinA，则△ABC为等腰三角形

B.若acosB12.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F是底面正方形ABA.α截正方体的截面可能是正五边形

B.当E，F分别是AB，BC的中点时，α分正方体两部分的体积V1，V2(V1<V2)之比是25：47

C.当E，F分别是AD，AB的中点时，A1B1上存在点P

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知a=(1,2sinθ)，b=(sin14.若复数a+3i1+2i15.如图，一倒立的圆锥和一个底面圆直径为2R的圆柱内装等高H的液体，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，圆柱的轴截面为矩形，H=3R，圆锥内液体体积为V1，圆柱内液体体积为V2，则16.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是线段AA1，A1D1的中点，E是线段CC1上的动点，过M，N，E的平面α截正方体ABCD−A

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知点A(m,2)，B(1,1)，C(2,4)．

(1)若18.(本小题12.0分)

如图，边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别为AB，BC的中点.将△AED，△BEF，△DCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点P．19.(本小题12.0分)

如图在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD的边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=22AD，设E、F分别为PC、BD的中点

20.(本小题12.0分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3csinB=a−bcosC21.(本小题12.0分)

如图，圆锥PO的底面直径和高均是a，过PO上的一点O′作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱．

(1)若O′是PO的中点，求圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积和体积；22.(本小题12.0分)

某农场有一块等腰直角三角形的空地ABC，其中斜边BC的长度为400米，为迎接“五一”观光游，欲在边界BC上选择一点P，修建观赏小径PM，PN，其中M，N分别在边界AB，AC上，小径PM，PN与边界BC的夹角都是60°，区域PMB和区域PNC内种植郁金香，区域AMPN内种植月季花．

(1)判断观赏小径P

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：对于A，由于a=(1,0)，故|a|=1，故a=(1,0)为单位向量；

对于B，a=(1,1)，则|a|=122.【答案】D

【解析】解：在复平面内，复数z=i1+2i=i(1−2i)(13.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了平面图形的斜二测画法，属于基础题．

根据斜二测画法知，平行于x轴的线段长度不变，平行于y的线段变为原来的12．

【解答】

解：根据斜二测画法知，

平行于x轴的线段长度不变，平行于y的线段变为原来的12，

∵O′C′=1，O′A′=2，4.【答案】C

【解析】解：设该正棱台为ABCD−A1B1C1D1，其中上底面为正方形ABCD，取截面AA1C1C，如下图所示：

易知四边形AA1C1C为等腰梯形，且AC=302+302=302,A1C1=202+202=202，AA1=CC1=511，

分别过点A1、C1在平面AA1C1C内作5.【答案】A

【解析】解：因为△ABC的外接圆圆心为O，且2AO=AB+AC,∠ACB=π6，

所以O为BC的中点，A为直角，∠B=π3，

则向量CA在向量CB上的投影为|6.【答案】D

【解析】解：由在△ABC中，2023tanA+2023tanB=1tanC，

得2023×(cosAsinA+cosBsinB)=co7.【答案】D

【解析】解：在直角梯形ABCD中，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=4，E为CD中点，M，N分别为AD，BC的中点，将△ADE沿AE折起，使点D到D1，M到M1，在翻折过程中，当D1与C重合时，|M1N|的最小值为1；所以①正确；连接MN交AE于F连接M1F，

可以证明平面FM1N//平面CD1E，所以M1N//平面8.【答案】D

【解析】解：对于A：∵3(acosC+ccosA)=2bsinB，

∴3(sinAcosC+sinCcosA)=2sinB⋅sinB，即3sin(A+C)=3sinB=2sinB⋅sinB，

又sinB≠0，则sinB=32，

∴B=π3或2π3，

又sinA=sinB，则a=b，

∴B=∠CAB=∠9.【答案】AB【解析】解：对于A，若m/​/α，n/​/α，则m，n可能平行、异面或相交，A错误；

对于B，若m⊂α，n⊂α，m//β，n/​/β，m，n不一定为相交直线，

只有当m，n为相交直线时，才可得到α/​/β，故B错误；

对于C，当m/​/n，m⊂α时，可能是n⊂α，推不出一定是n/10.【答案】BC【解析】解：选项A：由|a|=|b|=2，|a+b|=23，

可得(a+b)2=|a|2+|b|2+2a⋅b=12，则4+4+2a⋅b=12，

则a⋅b=2，故A错误；

选项B：由A选项分析可知：cos<a，b>=a⋅b|a||b|=22×2=12，

又<a11.【答案】AC【解析】解：∵asinB=bsinA，

∴asinA=bsinB，∴a2=b2，

∴△ABC为等腰三角形，故A正确，

∵acosA=bc12.【答案】BC【解析】解：A.若α截正方体的截面为五边形，则五边形必有两条边位于正方体相对的平行平面上，此时该五边形必有两条边相互平行，但正五边形没有哪两条边平行，故截面不可能是五边形，选项A错误．

B.如图，延长EF分别交DA，DC于点G，I，连接D1G，D1I分别交A1A，CC1于点H，J，

∴截面为五边形D1HEFJ，记正方体棱长为6，CI=AG=3，CJ=AH=2，

截面D1HEFJ下侧的体积为V=13×12×9×9×6−13×12×3×3×2−13×12×3×3×2=81−3−3=75，

另侧体积为：V正方体−V=216−75=141，∴V1：V2=75：141=25：47，故选项B正确．

C.截面α为图中等腰梯形EFB1D1，此时取A1B1中点P，知AP//B1F，

∵AP⊄平面α，B1F⊂平面α∴AP/13.【答案】3【解析】解：因为a=(1,2sinθ)，b=(sin(θ−π3),1)，θ∈R,a⊥b，

14.【答案】3

【解析】解：∵复数a+3i1+2i=(a+3i)(1−2i)(115.【答案】1

【解析】解：因为圆锥的轴截面为等腰直角三角形，且H=3R，

则圆锥的水面圆的直径为2H=23R，

由V1=13π(316.【答案】33

【解析】解：根据面面平行的性质定理得截面与平面BCC1B1的交线与MN平行，

又因为E为线段CC1的中点，

所以取BC的中点F，即交线为EF，延长MN与DD1的延长线交于点O1，

又因为△O1D1N∽△MA1N，即O1D1=A1M=1，

连接O1E与D1C1交于点O2，连接NO2，O2E，

又因为△O1D1O2∽△EC1O2，即O1D1=EC1=1，

所以O1是D1C1的中点，再根据面面平行的性质定理得截面与平面ABCD的交线与NO2平行，

所以取AB的中点O3，再连接MO3，即截面为平面MNO2EFO3，

因为六边形MNO2EFO3为正六边形且边长为2，

所以面积S=6×24×(2)2=33，

①当点E与C1重合时根据面面平行的性质定理得截面与平面BCC1B1的交线与MN平行，

即交线为C1B，连接MB，NC1，即等腰梯形MNC1B的面积为12×(217.【答案】解：(1)CA=(m−2,−2),CB=(−1,−3)，【解析】(1)可得出CA=(m−2,−2),CB=(18.【答案】解：(1)证明：因为在正方形ABCD中AD⊥AE，CD⊥CF，

折叠后即有PD⊥PE，PD⊥PF，

又PE⋂PF=P，PE，PF⊂平面PEF，

所以PD⊥平面PEF，而EF⊂平面PEF，

故PD⊥EF；

(2)由题意知PE=PF=2，PE⊥PF，故S△PEF=12×PE×PF=2，

故VP【解析】(1)先证明PD⊥平面PEF，根据线面垂直的性质定理即可证明结论；

(2)根据棱锥的体积公式即可求得答案；19.【答案】(Ⅰ)证明：ABCD为平行四边形，

连结AC∩BD=F，F为AC中点，E为PC中点，

∴在△CPA中EF/​/PA，且PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，

∴EF/​/平面PAD；

(Ⅱ)证明：因为面PAD⊥面ABCD，平面PAD∩面ABCD=AD，ABCD为正方形，

∴CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，

所以CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA，

又PA=PD=22AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且∠【解析】(Ⅰ)利用线面平行的判定定理：连接AC，只需证明EF/​/PA，利用中位线定理即可得证；

(Ⅱ)利用面面垂直的判定定理：只需证明PA⊥面PDC，进而转化为证明PA⊥PD，PA⊥DC，易证三角形PAD为等腰直角三角形，可得PA⊥PD；由面PAD⊥面ABCD的性质及正方形ABCD的性质可证CD⊥面PAD，得CD⊥P20.【答案】解：(1)由题意，在△ABC中，√3csinB=a−bcosC，∵asinA=bsinB=csinC，A+B+C=π，

∴3sinCsinB=sinA−sinBcosC，即【解析】(1)利用三角形内角和，正弦定理即可求出角B；(2)利用向量加法，余弦定理和基本不等式求出ac的取值范围，即可得到21.【答案】解：(1)设圆柱的底面半径为r，

由三角形中位线定理可得，r=a4，圆柱的母线长为OO′=a2，

又圆锥的母线长为l=a2+a24=52a，

所以圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积为圆锥的表面积加上圆柱的侧面积，

则S=π×(a2)2【解析】本题考查了旋转体的理解与应用，圆锥的体积公式以及表面积公式，圆柱的体积公式以及表面积公式的应用，基本不等式求解最值的应用，考查了