【名师一号】2020-2021学年新课标B版高中数学必修5-第一章-解三角形-测试题

第一章测试(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在下列四个选项中，只有一项是符合题意的)1．△ABC的内角∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝eq\r(3)，则c＝()A．2eq\r(3) B．2C.eq\r(2) D．1解析由正弦定理得：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴sinB＝eq\r(3)sinA，sin2A＝eq\r(3)sinA,2sinAcosA＝eq\r(3)sinA，∵∠A∈(0，π)，∴sinA≠0，∴cosA＝eq\f(\r(3),2)，∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠C＝90°，∴c2＝a2＋b2＝4，∴c＝2.故选B项．答案B2．假如等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为()A.eq\f(5,18) B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(7,8)解析由题意，设底边长为a，则腰长为2a，设顶角为θ，由余弦定理，得cosθ＝eq\f(2a2＋2a2－a2,2×2a×2a)＝eq\f(7,8).答案D3．在△ABC中，AB＝eq\r(3)，∠A＝45°，∠C＝75°，则BC＝()A．3－eq\r(3) B.eq\r(2)C．2 D．3＋eq\r(3)解析∵△ABC中，eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AB,sinC)，∴eq\f(BC,sin45°)＝eq\f(\r(3),sin75°)，∴BC＝3－eq\r(3).答案A4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A＝eq\f(π,3)，a＝eq\r(3)，b＝1，则c＝()A．1B．2C.eq\r(3)－1D.eq\r(3)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2－b2＝eq\r(3)ac，则∠B的正切值为()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\r(3)C．－eq\f(\r(3),3) D．－eq\r(3)解析∵cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1＋c2－3,2c)＝eq\f(1,2)，∴c＝2.答案B由a2＋c2－b2＝eq\r(3)ac，得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(\r(3)ac,2ac)＝eq\f(\r(3),2)，∴sinB＝eq\f(1,2)，∴tanB＝eq\f(sinB,cosB)＝eq\f(\r(3),3)，故选A项．答案A5．△ABC的三内角∠A，∠B，∠C所对边的长分别为a，b，c.设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)．若p∥q，则∠C的大小为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2) D.eq\f(2π,3)解析∵p∥q，∴(a＋c)(c－a)＝b(b－a)．∴c2－a2＝b2－ab，∴ab＝b2＋a2－c2.由余弦定理，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，∴C＝eq\f(π,3).答案B6．在一幢20m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这塔吊的高是()A．20(1＋eq\f(\r(3),3))mB．20(1＋eq\r(3))mC．10(eq\r(6)＋eq\r(2))mD．20(eq\r(6)＋eq\r(2))m解析由题意，可知eq\f(h,sin105°)＝eq\f(20\r(2),sin30°)，∴h＝20(1＋eq\r(3))，如图所示．答案B7．在△ABC中，AB＝7，BC＝5，CA＝6，则eq\o(BA,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→))的值为()A．18 B．36C．19 D．38解析cosB＝eq\f(AB2＋BC2－CA2,2AB·BC)＝eq\f(19,35).eq\o(BA,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→))＝7×5×eq\f(19,35)＝19.答案C8．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝eq\r(6)，cosA＝eq\f(7,8)，则△ABC的面积S为()A.eq\f(\r(15),2) B.eq\r(15)C.eq\f(8\r(15),5) D．6eq\r(3)解析b2－bc－2c2＝0，∴b＝2a2＝b2＋c2－2bccosA，∴6＝4c2＋c2－eq\f(7,2)c2.∴c＝2，∴b＝4.∴S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×4×2×eq\r(1－\f(49,64))＝eq\f(\r(15),2).答案A9．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，若c·cosB＝b·cosC，且cosA＝eq\f(2,3)，则sinB等于()A．±eq\f(\r(6),6) B.eq\f(\r(6),6)C．±eq\f(\r(30),6) D.eq\f(\r(30),6)解析∵sinC·cosB＝sinB·cosC，∴sin(B－C)＝0.∴∠B＝∠C，∴2∠B＝π－∠A，cos2B＝－cosA＝－eq\f(2,3).∴1－2sin2B＝－eq\f(2,3)，∴sin2B＝eq\f(5,6)，∴sinB＝eq\f(\r(30),6).答案D10．如图，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，则△ABC的边长是()A．2eq\r(3) B.eq\f(4\r(6),3)C.eq\f(3\r(17),4) D.eq\f(2\r(21),3)解析如图，设AB＝a，则由已知AD＝eq\f(1,3)a.在△ABD中，由余弦定理，知cosA＝eq\f(1,2)＝eq\f(AB2＋AD2－BD2,2AB·AD).①又S△ABC＝eq\f(1,2)BD·3＝eq\f(\r(3),4)a2，得BD＝eq\f(\r(3)a2,6)，代入①式，得a＝eq\f(2,3)eq\r(21).答案D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．在△ABC中，三个角∠A，∠B，∠C的对边边长分别为a＝3，b＝4，c＝6，则bccosA＋cacosB＋abcosC的值为________．解析由余弦定理，可知该式子的值为eq\f(61,2).答案eq\f(61,2)12．在△ABC中，若tanA＝eq\f(1,3)，∠C＝150°，BC＝1，则AB＝________.解析∵∠C＝150°，tanA＝eq\f(1,3)，∴sinA＝eq\f(\r(10),10).∵eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AB,sinC)，∴AB＝eq\f(\r(10),2).答案eq\f(\r(10),2)13．在△ABC中，sinAsinBsinC＝578，则∠B的大小为________．解析sinAsinBsinC＝abc＝578，令a＝5k，b＝7k，c＝8k，k>0.则cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(5k2＋8k2－7k2,2×5k×8k)＝eq\f(1,2).∴∠B＝eq\f(π,3).答案eq\f(π,3)14．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°处，A、B两船的距离为3km，则B到C的距离为________解析由余弦定理得AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC·cosC，∴9＝BC2＋22－2BC·2·cos120°，∴BC＝eq\r(6)－1.答案eq\r(6)－1三、解答题(本大题共4小题，共50分，其中15、16、17题每题12分，18题14分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(12分)在△ABC中，BC＝eq\r(5)，AC＝3，sinC＝2sinA.(1)求AB的值；(2)求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,4)))的值．解(1)在△ABC中，依据正弦定理，eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，于是AB＝sinCeq\f(BC,sinA)＝2BC＝2eq\r(5).(2)在△ABC中，依据余弦定理，得cosA＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(2\r(5),5).于是sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(\r(5),5)，从而sin2A＝2sinAcosA＝eq\f(4,5)，cos2A＝cos2A－sin2A＝eq\f(3,5)，sin(2A－eq\f(π,4))＝sin2Acoseq\f(π,4)－cos2Asineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),10).16．(12分)已知△ABC的∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，∠C＝eq\f(π,3)，求△ABC的面积．解(1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB，即a·eq\f(a,2R)＝b·eq\f(b,2R)，其中R是三角形ABC外接圆半径，a＝b，∴△ABC为等腰三角形．(2)由题意，可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理，可知4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab.即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4(舍去ab＝－1)．∴S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)·4·sineq\f(π,3)＝eq\r(3).17．(12分)如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．解在△ADB中，∠BDA＝60°，AB＝14，AD＝10，由余弦定理得：AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos60°，即142＝100＋BD2－2×10×eq\f(1,2)×BD.∴BD2－10BD－96＝0，BD＝16或BD＝－6(舍)．在△DCB中，∠BDC＝90°－∠BDA＝90°－60°＝30°，∠DCB＝135°，∴由正弦定理得：eq\f(DB,sin135°)＝eq\f(BC,sin30°)，∴BC＝eq\f(16×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝8eq\r(2).18．(14分)在△ABC中，a，b，c为∠A，∠B，∠C所对的三边，已知b2＋c2－a2＝bc.(1)求∠A的值；(2)若a＝eq\r(3)，cosC＝eq\f(\r(3),3)，求c的长．解(1)b2＋c2－a2＝bc，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1