函数图像变换及应用

上节课知识检测一、基本内容1．利用描点法作函数图像其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：2、会画基本函数图像（一次(两点想x取0，，y取0（或X取1）)、反比例（三点（x取1/2、1,2）对称轴、对称中心）、二次(对称轴\顶点\开口)、幂(四点x取0,1/2,1,2对称)、指数(三点x取-1,0,1)、对数(三点Y-1,0,1)、对勾(两部分相等时X值点)、三角(x取五点；对称轴、对称中心)）3.掌握画图像的基本方法：（1）描点法（2）图像变换法．平移、伸缩、翻折（3）讨论分段法(1)平移变换：y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(a>0，右移a个单位),\s\do5(a<0，左移|a|个单位))y＝f(x－a)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(b>0，上移b个单位),\s\do5(b<0，下移|b|个单位))y＝f(x)＋b.(2)伸缩变换：y＝f(x)y＝f(ωx)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(A>1，伸为原来的A倍),\s\do5(0<A<1，缩为原来的A倍))y＝Af(x)．(3)对称变换：y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于x轴对称),\s\do5())y＝－f(x)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于y轴对称),\s\do5())y＝f(－x)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于原点对称),\s\do5())y＝－f(－x)．(4)翻折变换：y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(去掉y轴左边图，保留y轴右边图),\s\do5(将y轴右边的图像翻折到左边去))y＝f(|x|)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(留下x轴上方图),\s\do5(将x轴下方图翻折上去))y＝|f(x)|.二、易错点1．在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图像对应的解析式，这样才能避免出错．2．明确一个函数的图像关于y轴对称与两个函数的图像关于y轴对称的不同，前者也是自身对称，且为偶函数，后者也是两个不同函数的对称关系．三、基本考点及例题考点一作图像画函数图像的一般方法1、直接法．（1）描点法（2）经验法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出；2、图像变换法．若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．3、分段函数：分别作出每段区间的图像，注意：分段函数是一种特殊的函数，自变量在不同范围内取值时，对应的解析式不同，但无论分段函数共有几段，它始终是一个函数，而不是多个函数。典例1-1】分别画出下列函数的图像：(1)y＝2x；（2）；训练1-1-1】分别画出下列函数的图像：1)y＝x2－2x－1.；(2)y＝lgx典例1-2】、分别画出下列函数的图像：(1)y＝2x＋2；(2)y＝x2－2|x|－1.(3)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x<0，,2x－1，x≥0))解：(1)将y＝2x的图像向左平移2个单位．图像如图（2）．y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x<0.))图像如图训练3-1-2】．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x2，x∈[－1，2]，,x－3，x∈2，5].))(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图像；(2)写出f(x)的单调递增区间；(3)由图像指出当x取什么值时f(x)有最值．10．解：(1)函数f(x)的图像如图所示．(2)由图像可知，函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．(3)由图像知当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝－1，当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝3.训练3-1-3】．(2014·福建卷)若函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象如图所示，典例3-1-4】．(2014·山东卷)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图，A．a＞1，c＞1B．a＞1，0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1D．0＜a＜1，0＜c＜1解析由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0＜a＜1.又当x＝0时，y＞0，即logac＞0，所以0＜c＜1.答案D训练3-2-1】(2014·佛山一模)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x，x≤1，,logx，x>1，))则y＝f(x＋1)的图像大致是()解析：选B作出f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x，x≤1，,logx，x>1))的图像，如图．再把f(x)的图像向左平移一个单位，可得到y＝f(x＋1)的图像．故选B.训练3-2-2】(2012·湖北高考)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图像如图所示，则y＝－f(2－(2)法一：由y＝f(x)的图像知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0≤x≤1，,11<x≤2.))当x∈[0,2]时，2－x∈[0,2]，所以f(2－x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10≤x≤1，,2－x1<x≤2，))故y＝－f(2－x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－10≤x≤1，,x－21<x≤2.))法二：当x＝0时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；当x＝1时，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.观察各选项，可知应选B.[训练3-2-3](2013·福建高考)函数f(x)＝ln(x2[解析](1)f(x)＝ln(x2＋1)，x∈R，当x＝0时，f(0)＝ln1＝0，即f(x)过点(0,0)，排除B，D.∵f(－x)＝ln[(－x)2＋1]＝ln(x2＋1)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，其图像关于y轴对称，故选A.考点四函数图像的应用函数图像是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性.归纳起来图像的应用常见的命题角度有：1确定方程根的个数；2求参数的取值范围；3求不等式的解集.应用一确定方程根的个数典例4-1】．(2014·日照一模)已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x>0，,2|x|，x≤0，))则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．解析：方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝eq\f(1,2)或1.作出y＝f(x)的图像，由图像知零点的个数为5.答案：5训练4-1-1】（2013年高考湖南（文））函数f(x)=㏑x的图像与函数g(x)=x2-4x+4的图像的交点个数为______ （）A．0 B．1 C．2 D．3画图像【答案】C训练4-1-2】（2011高考）函数的图像与函数的图像的交点个数为A.3B.2C.1D.0画图，二次最低点在对数之下【答案】B应用二求参数的取值范围思路：1、先给参数一定值（如0））画出图像，再根据参数移动，确定参数（或相关式子）的范围2、含参数方程问题可转化两函数交点（公共点问题）典例4-2-1】、若函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a讨论,画图,答案：1训练4-2-1-1】.若loga<1,则a的取值范围是分析：a>1,画图loga<0,满足;0<a<1,画图y=1,y=logax,x=时a=；分析a变化时满足的条件0<a<故0<a<或a>1训练4-2-1-2】.(2015·福建卷)若函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋6，x≤2，,3＋logax，x＞2))(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________.解析由题意f(x)的图象如图，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞1，,3＋loga2≥4，))∴1＜a≤2.答案(1，2]典例4-2-2】．已知函数f(x)＝2x，x∈R.当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解解：令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图像如图所示．由图像看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图像只有一个交点，原方程有一个解；当0<m<2时，函数F(x)与G(x)的图像有两个交点，原方程有两个解．训练4-2-2-1】(2015·洛阳模拟)若函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－a，x≤0，,lnx，x＞0))有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________.解析当x＞0时，由f(x)＝lnx＝0，得x＝1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点，令f(x)＝0得a＝2x，因为0＜2x≤20＝1，所以0＜a≤1，所以实数a的取值范围是0＜a≤1.答案(0，1]训练4-2-2-2】.(2015·山东卷)设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－1，x＜1，,2x，x≥1，))则满足f(f(a))＝2f(a)的a取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)) B.[0，1]C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)) D.[1，＋∞)解析当a＝2时，f(a)＝f(2)＝22＝4＞1，f(f(a))＝2f(a)，∴a＝2满足题意，排除A，B选项；当a＝eq\f(2,3)时，f(a)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝3×eq\f(2,3)－1＝1，f(f(a))＝2f(a)，∴a＝eq\f(2,3)满足题意，排除D选项，故答案为C.答案C典例4-2-3】（2010全国卷1理数）(15)直线与曲线有四个交点，则的取值范围是.解：交点---方程根---分参---画图，训练4-2-3-1】．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2，x>m，,x2＋4x＋2，x≤m))的图象与直线y＝x恰有三个公共点，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－1]B．[－1，2)C．[－1，2]D．[2，＋∞)解析法一特值法，令m＝2，排除C，D，令m＝0，排除A，故选B.法二令x2＋4x＋2＝x，解得x＝－1或x＝－2，所以三个解必须为－1，－2和2，所以有－1≤m<2.故选B.答案B训练4-2-3-2】．【2012高考真题天津理14】已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_________.讨论去绝对值并画图,直线过定点(0,-2),注:动直线要么过定点,要么平行【答案】或训练4-2-3-3】．对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a－b≤1，,b，a－b>1.))设函数eq\a\vs4\al(fx＝)(x2－2)⊗(x－1)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图像与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()A．(－1,1]∪(2，＋∞) B．(－2，－1]∪(1,2]C．(－∞，－2)∪(1,2] D．[－2，－1]解析：选B∵a⊗b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a－b≤1，,b，a－b>1，))∴函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－1)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2，－1≤x≤2，,x－1，x<－1或x>2.))结合图像可知，当c∈(－2，－1]∪(1,2]时，函数f(x)与y＝c的图像有两个公共点，∴c的取值范围是(－2，－1]∪(1,2]．应用三求不等式的解集典例4-3】、求不等式中x的取值范围。解：当a>1时，函数在R上是增函数，所以；当0<a<1时，函数在R上是减函数，所以。训练4-3-1】．函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图像如图所示，那么不等式eq\f(fx,cosx)<0的解集为________．解析：在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上y＝cosx>0，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，4))上y＝cosx<0.由f(x)的图像知在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))上eq\f(fx,cosx)<0，因为f(x)为偶函数，y＝cosx也是偶函数，所以y＝eq\f(fx,cosx)为偶函数，所以eq\f(fx,cosx)<0的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－1))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－1))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))训练4-3-2】.(2015·北京卷)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是()A.{x|－1＜x≤0}B.{x|－1≤x≤1}C.{x|－1＜x≤1}D.{x|－1＜x≤2}解析如图，由图知：f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1<x≤1}.答案C作业1、(1)(2015·安徽卷)函数f(x)＝eq\f(ax＋b,（x＋c）2)的图象如图所示，则下列结论成立的是()A.a>0，b>0，c<0B.a<0，b>0，c>0C.a<0，b>0，c<0D.a<0，b<0，c<0解析(1)函数定义域为{x|x≠－c}，结合图象知－c＞0，∴c＜0；令x＝0，得f(0)＝eq\f(b,c2)，又由图象知f(0)＞0，∴b＞0；令f(x)＝0，得x＝－eq\f(b,a)，结合图象知－eq\f(b,a)＞0，∴a＜0.故选C.2、(2015·成都诊断)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|＜g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)()A.有最小值－1，最大值1B.有最大值1，无最小值C.有最小值－1，无最大值D.有最大值－1，无最小值解析由题意得，利用平移变化的知识画出函数|f(x)|，g(x)的图象如图，而h(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|f（x）|，|f（x）|≥g（x），,－g（x），|f（x）|＜g（x），))故h(x)有最小值－1，无最大值.答案C3、.(2015·福建卷)若函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋6，x≤2，,3＋logax，x＞2))(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________.解析由题意f(x)的图象如图，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞1，,3＋loga2≥4，))∴1＜a≤2.答案(1，2]4.函数f(x)＝log2x－eq\f(1,x)的零点所在的区间为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.(1，2) D.(2，3)解析函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(