2020-2021学年上海市静安区建青中学高一年级下册学期期中数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年上海市静安区建青中学高一下学期期中数学试卷

一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）

1.已知。=：兀，则角a的终边所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.函数y=2的（2》+》是（）

A.周期为兀的偶函数B.周期为2元的偶函数

C.周期为兀的奇函数D.周期为2兀的奇函数.

3.若集合力={0,7n2},B={1,2],则=1”是“4UB={0,1,2}”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件

4.在AABC中，已知a-b=ccosB-ccosA,则△ABC的形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等边三角形D.等腰或直角三角形

二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）

5.与-2014。终边相同的最小正角是.

6.一个半径为R的扇形，它的周长为4R,则这个扇形所含弓形的面积为.

7.已知sina=€（巴,兀）.

⑴求cosa及tcma；

求2cos（6+a）+cosga）

''sin（~a）+3sin（7r+a）*

8.求值：s加870。=.

9.已知角a的终边经过点（一3,4）,贝!!siriQ+cosa=.

10.已知上三=3则上陋=____.

sina-l2cosa

11.已知sina=I，且a是第一象限角，则tan（a+》=.

12.15.84BC中，角5、3、C所对的边分别为a、5、C，下列命题正确的是（写出正确

命题的编号）.

①若2L4BC最小内角为&,则cosa之；；

②若工sin3>Bsin<，则

③存在某钝角&4BC，有tanR+tanB+tanC>0；

_______7r

④若2a能+50+c9=6>则山4BC的最小角小于1；

0

⑤若以《彷(0<£工1),则

13.若sin(g—a)=白贝ijcos(g+a)=

o133

TT

14.△ABC中，AB=5,AC=8,A=-,贝ijBC=.

15.锐角三角形ABC中，sin(2+B)=:,sin(X-B)=1,设4B=3,则4B边上的高为.

16.已知函数/⑴=犷竺弁)若方程/(%)=m有四个不同的实数根，由小到大依次为卬

(1%LjfX>3

X29x3,x4f则4%1+%2+%3+%4的取值范围是.

三、解答题(本大题共5小题，共52.0分)

17.(1)计算：恒22+句205+05；

⑵件第.一sin(7r+a)+sin(—a)—tan(2zr+a)

()3•tan(a+7r)+cos(-a)+cos(7T-a)'

18.已知函数/(I)=\/3sini4；xco6(4；x4-sin2u；x--(u；I)I.

(1)若/(%)图象中相邻两条对称轴间的距离不小于今求3的取值范围；

⑵若/(x)的最小正周期为“，皤)=|，求坦—a)的值.

19.已知s讥a=|,cosp=-l，a€©,〃)，0是第三象限角.

(1)求cos2a的值；

(2)求cos(a+/?)的值.

20.如图，相距版海里修为正常数巾的/、B两地分别有救援4船和B船.在接到求救信息后，A、

B都能立即出发，其中4、B两船的航速分别是如海里/小时、1海里/小时.

⑴求在同时收到求救信息后，4、B两船能同时到达的点的轨迹C所围成的区域的面积；

据

(2)若在4地北偏东哪方向，距4地营贸海里处的遍点有一艘遇险船正以tl白海里/小时的速度

*f,V

向正北方向漂移.

①应派哪艘船前往救援？

②救援船最快需多长时间才能与遇险船相遇？

21.函数/'(x)=照是定义在(—3,3)上的奇函数，且/(1)=:

(1)求/(X)的解析式；

(2)判断并证明f(x)的单调性；

(3)解不等式f(t-1)+r(t)<0.

参考答案及解析

1.答案：C

解析：解：由于a=9兀=2兀一?，则角a的终边所在的象限与一9的终边相同，而一?的终边在第

OOOO

三象限，

故角a的终边所在的象限是第三象限，

故选：C.

由于a=：兀=2n一?，则角a的终边所在的象限与―?的终边相同，而一?的终边在第三象限，从

OOOO

而得出结论.

本题主要考查终边相同的角的定义和表示方法，象限角的定义，属于基础题.

2.答案：C

解析：解：函数的周期7=半=7T,

y=2cos(2x+])=-2sin2x,为奇函数，

故选：C.

根据三角函数的周期公式即可得到结论.

本题主要考查三角函数的图象和性质，比较基础.

3.答案：B

解析：

本题主要考查的是并集及其运算，考查充分条件和必要条件，是基础题.

由集合的运算分别判断充分性和必要性是否成立，即可得解.

解：当巾=1时，/I={0,1},B={1,2},

所以4UB={0,1,2},

即巾=1能推出力UB={0,l,2},充分性成立；

反之当4UB={0,1,2}时，

m2=1或m2=2,

所以m=±1或±

所以4UB={0,1,2}成立，推不出m=1,必要性不成立，

故“m=1”是"AUB={0,1,2}”的充分不必要条件，

故选艮

4.答案：D

解析：解：将cosA=♦+/-♦,cosB=M+cZ-/代入已知等式得:

2bc2ac

,a2+c2-b2b2+c2-a2

a—b=c---------------c--------------,

2ac2bc

整理得：贮1匕4=贮1匕，

ab

当口2+人2一©2=o,即a2+b2=c2时，△ABC为直角三角形；

当a2+b2-c2*0时，得到a=b,△4BC为等腰三角形，

则4ABC为等腰三角形或直角三角形.

故选：D.

利用余弦定理表示出cos/1与cosB,代入已知等式，整理后即可确定出三角形形状.

此题考查了余弦定理，勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属

于中档题.

5.答案：146°

解析：

本题考查终边相同的角的概念，终边相同的两个角相差360。的整数倍.

先化简一2014。为360。的整数倍加上一个［0。,360。)的角，再说明在［0。,360。)上，只有146。与-2014。终

边相同.

解：v-2014°=-6x360°+146°,

二146。与-2014。终边相同，又终边相同的两个角相差360。的整数倍，

.•.在［0°,360。)上，只有146。与一2014。终边相同，

.•.与-2014。终边相同的最小正角是146。，

故答案为146。.

6.答案：(l-|sin2)/?2

解析：解：一个半径为R的扇形，它的周长为4R,所以弧长是：2R,圆心角是：2；扇形的面积是:

2

|x2/?x/?=R2三角形的面积是：|x/?•Rsin2=1/?sin2；

所以这个扇形所含弓形的面积为：(l-|sin2)/?2.

故答案为：（1一］讥2）产

通过扇形的周长，求出扇形的弧长以及圆心角，然后求出扇形的面积，三角形的面积，即可得到这

个扇形所含弓形的面积.

本题是基础题，考查扇形面积的求法，弓形面积的求法，考查计算能力，计算量比较小，送分题.

7.答案：解：（1）•.・sina=卓，a€

•••cosa=—V1—sin2a=—tana——2；

（2）vtana=-2,

.原式_-2sina-cosa_-2tana-l_4-1_3

、cosa-3sina1-3tana1+67*

解析：（1）由sina的值及a的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosa的值，进而求出tana的

值；

（2）原式利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系变形，把tana的值代入计算即可求出

值.

此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键.

8.答案：!

解析：解：sin870°=sin（720°+150°）=sinl50°=sin30°=

故答案为：

直接利用三角函数的诱导公式化简求值.

本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题.

9.答案：I

解析：解：・••角a的终边经过点（一3,4）,

•*-x=-3,y=4,V=yjx24-y2=5

.43

:.sina=g,cosa=--

431

・•・sina+cosa=---=-

故答案为：!

利用三角函数的定义，求出sina、cosa,即可得到结论.

本题考查三角函数的定义，考查学生的计算能力，属于基础题.

10.答案:W

解析：解「•黑T.

：・2cosa=sina—1,

两边平方，得4cos2戊=sin2a-2sina+1,

HP4（1—sin2a）=sin2a—2sina+1,

整理，得5sin2a_2sina-3=0,

o

解得si7ia=-『sina=1（舍去）；

vsina-1<0,

・••cosa<0,

4

・••cosa=-

.l+sintr_1+（-1）_1

•,=4=一二.

cosa--2

故答案为：一

由*7=?以及同角的平方关系，求出sina、cosa的值，计算上四上即可.

sma-l2cosa

本题考查了同角的三角函数的基本关系的应用问题，是基础题.

11.答案：7

解析：解：因为sina=g,且a是第一象限角，

所以tana=p

4

tana+tan--+1

所以tan(a+$4-4=7.

1-tanatan4^一口4

故答案为：7.

先由三角函数的定义得出tana=：,再利用两角和的正切公式，得解.

4

本题考查两角和的正切公式，三角函数的定义，考查运算求解能力，属于基础题.

12.答案：①④⑤.

解析：

解；①若cosa"贝ljo〈a玄经，若△ABC为直角三角形，则必有一内角在(0,若为锐角△ABC,则必

等于女，若为钝角三角形ABC，则必有一个内角小于詈，故总存在某内角a,使cosa三专；故①正确；

②设函数f(x)='散(0<x<x),则导致f'(x)=xcosx-sinx；若手工乂<n，则f'(x)<0,又Asii

s^B〉si?A今BVA，若0<x<4，则由于tanx>x,故f'(x)<0,即有BVA,故②不正确；

BA2

③在斜三角形中，由tan(A+B)=1anAttang二一七领口得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,由于■tanA+tanB+tanC：

1-tanAtanB

tanAtanBtanOO,即A,B,C均为锐角，故③不正确；

④若2a靛+b^+c彘=j，即2a(瞪-AB)-b就+c彘=&即(2a-b)正二(2a-c)还，由于迷彘不共线，故2

2a=b=c,由余弦定理得，cosA二b2戈-a2=二率,故最小角小于白，故⑷正确；

2bc8^26

⑤若aVtb(OVtWl),则由正弦定理得，sinA<tsinB,令f(x)=tsinx-sin(tx)»则f'(x)=tcosx_tcos(

<x<兀，贝Ijcos(tx)>cosx,即f'(x)<0,tsinx<sin(tx)即tsinB<sin(tB)，故有sinAVsin(tB),

sinA-tB<0,故有AVtB,故⑤正确.

故答案为：①④⑤

13.答案：得

解析：解：喂-a+g+a=T，

OOZ

.,•COS©+a)=sin(,-a)=^-

故答案为：得.

直接利用三角函数的诱导公式化简即可.

本题考查了三角函数的诱导公式的应用，是基础题.

14.答案：7

解析：解：△ABC中，AB=5,AC=8,4=或

利用余弦定理Bf?2=AC2+AB2-2AC-AB-cosA,

整理得B(72=25+64-2•5•8•：=49,

解得BC=7.

故答案为：7

直接利用余弦定理的应用求出结果.

本题考查了余弦定理，是基础题.

15.答案:2+V6

解析：解：锐角△ABC中，sin(4+B)=g,sin(4—B)=g,

・•・sinAcosB+cosAsinB=g…①

sinAcosB—cosAsinB=：…②，

21

:.sinAcosB=cosAsinB=

tanA=2tanB.

•J5V4+BVTi,sin(7l+B)——»•••cos(/4+B)———,tan(71+B)———,

即九),将“几4=代入上式并整理得2傥*8-4tanB-1=0,

1—tanAtanB

解得的昨竽

.・.B为锐角,

・・•tanB=——,AtanA—2tanB=2+V6.

2

设48上的高为CO,则4B=4D+DB=同，由4B=3得CD=2+乃，

tanA

故48边上的高为2+n.

故答案为：2+V6.

把角放在锐角三角形中，使一些运算简单起来，本题主要考查两角和与差的正弦公式，根据分解后

的结构特点，解方程组，做比得到结论，同角的三角函数之间的关系，换元解方程在直角三角形中，

用定义求的结果

以锐角三角形为载体，应用同角三角函数之间的关系，应用两角和与差的正弦公式，求解过程中应

用代数方法解题，构造直角三角形用锐角三角函数解决问题，这种问题做起来有一定难度.

16.答案：［12,13)

解析：解：作函数/(%)=严竺黑的图象如下，

24

由题意知，

%!%2=1，%3+%4=8；

4%i+x2>2V4=4,

(当且仅当4与=%2»即4/=&=2时,等号成立)；

故4%1+%2+%3+%4N12,

且4rl+上+%3+%4V13;

故答案为：[12,13).

作函数“X)=雪!3翼:3的图象，从而可得22=1，X3+肛=8；从而由基本不等式确定

的取值范围.

本题考查了分段函数的应用及基本不等式的应用，属于中档题.

17.答案:解：(l)lg22+Ig2lg5+lg5=Ig2(lg2+IgS)4-lg5=lg2+lg5=1；

(2)”式_sina-sina-tana_tana_1

')'、tana+cosa-cosatana

解析：(1)由lg2+IgS=IglO=1即可化简求值.

(2)由诱导公式化简后即可求值.

本题主要考查了对数的运算性质，诱导公式在化简求值中的应用，属于基础题.

18.答案：解：/(%)=yl3sina)xcosa>x+sin2a)x—|=^-sin2a)x—|cos2o)x=sin(2a)x—^).

(1)由题意知3=卷2[3W1，又3>0,二0<3W1;

(2)•；7=£=兀，[3=1,

故/(x)=sin(2x-»,

O

f(g=sin(a

COS(2a-^)=1-2sin2(a-

/(7-«)=sin年-2a)=sin碎-(2a-1)]=看

解析：利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的表达式，

(1)求出函数的周期的范围，即可求解3的取值范围.

(2)f(x)的最小正周期为兀，求出3,通过/G)=3推出sin(a—£)=g化简一a)然后利用二倍

N5o5N

角公式求出所求表达式的值.

本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的图象与性质，是中档题.

19.答案：解：(l)cos2a=1-2sin2a=1-2xga

(2)vsina=cos夕=aG(p?r),口是第三象限角，

:.cosa=-V1—sin2cr=一争sin。=-^/l-cos2^=-=，

:.cos(a+0)=cosacosfi-sinasin^=(—y)x(一,)一|x(一，)=.

解析：(1)由二倍角的余弦公式化简后代入已知即可求值.

(2)由同角三角函数关系先求得cosa,sin/?的值，由两角和与差的余弦函数公式化简后即可求值.

本题主要考查了二倍角的余弦公式，两角和与差的余弦函数公式的应用，属于基础题.

20.答案:(1)Q夺海=等"；

,飞锄

(2)①应派4船前往救援；

②聪同届小时。

解析：(1)以4B的中点。为坐标原点，48所在的直线为墀轴，建立直角坐标系如图所示，

:#翩=微¥,二颛|-徵演*,邈蝴加,

设所求轨迹c上任意一点的坐标为,睇%:赵，则手■=!-,即也d忱=城*这，

^部黎

化简整理得.轨迹C所围成的区域的面积为目尊道跺,=李十；

(2)①由已知可求得蒯gg黑喀疑，显然点糜在轨迹C的外面，同时当瓢f点向正北方向漂移

时，这条射线上的点也始终在轨迹C的外面，设黜!叫拟为其射线上的任意一点，

则吟写蜡*/>1浮域，也就是叵正正丘更2,即鬻唱等，

装用黎