高考数学（理）一轮复习课时训练第8章立体几何36

【课时训练】第36节空间几何体的表面积及体积一、选择题1．(2018郑州质量预测)如图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为()A.eq\f(2,3) B．eq\f(4,3)C．eq\f(8,3) D．2【答案】A【解析】由三视图可知，此四面体如图所示，其高为2，底面三角形的一边长为1，对应的高为2，所以其体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×2＝eq\f(2,3).故选A.2．(2018四川泸州二模)已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的底面边长为eq\r(6)时，其高的值为()A．3eq\r(3) B．eq\r(3)C．2eq\r(6) D．2eq\r(3)【答案】D【解析】设正六棱柱的高为h，则可得(eq\r(6))2＋eq\f(h2,4)＝32，解得h＝2eq\r(3).3．(2018石家庄一模)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．π B．eq\f(π,2)C．eq\f(π,3) D．eq\f(π,6)【答案】D【解析】由题图可知该几何体是一个底面圆的半径为1，高为1的半圆锥，故所求体积V＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)π×12×1＝eq\f(π,6).故选【答案】D.4．(2018洛阳统一考试)如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为()A．200π B．150πC．100π D．50π【答案】D【解析】由三视图知，该几何体可以由一个长方体截去3个角后得到，该长方体的长、宽、高分别为5,4,3，所以其外接球半径R满足2R＝eq\r(42＋32＋52)＝5eq\r(2)，所以该几何体的外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(2),2)))2＝50π.故选D.5．(2018山东枣庄模拟)已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为eq\f(4π,3)的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是()A．6eq\r(3) B．12eq\r(3)C．18eq\r(3) D．24eq\r(3)【答案】C【解析】根据已知可得球的半径等于1，故三棱柱的高等于2，底面三角形内切圆的半径等于1，即底面三角形的高等于3，边长等于2eq\r(3)，所以这个三棱柱的表面积等于3×2eq\r(3)×2＋2×eq\f(1,2)×2eq\r(3)×3＝18eq\r(3).6．(2019昆明调研)一个正三棱柱被平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.eq\f(1,5) B．eq\f(1,6)C.eq\f(1,7) D．eq\f(1,8)【答案】A【解析】由三视图可知，剩余部分所表示的几何体是从正三棱柱ABC－A1B1C1(其底面边长是2)中截去三棱锥E－A1B1C1(其中E是侧棱BB1的中点)，因此三棱锥E－A1B1C1的体积为VE－A1B1C1＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×22×1＝eq\f(\r(3),3)，剩余部分的体积为V＝VABC－A1B1C1－VE－A1B1C1＝eq\f(\r(3),4)×22×2－eq\f(\r(3),3)＝eq\f(5\r(3),3)，因此截去部分体积与剩余部分体积的比值为eq\f(1,5).故选A.7．(2018天津南开区模拟)已知三棱锥P－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，PC为球O的直径，该三棱锥的体积为eq\f(\r(2),6)，则球O的表面积为()A．4π B．8πC．12π D．16π【答案】A【解析】依题意，设球O的半径为R，球心O到平面ABC的距离为d，则由O是PC的中点得，点P到平面ABC的距离等于2d，所以VP－ABC＝2VO－ABC＝2×eq\f(1,3)S△ABC×d＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),4)×12×d＝eq\f(\r(2),6)，解得d＝eq\r(\f(2,3)).又R2＝d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2＝1，所以球O的表面积等于4πR2＝4π.故选A.8．(2018福建三明一中1月月考)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为()A.eq\r(2) B．eq\f(\r(2),2)C．2 D．1【答案】A【解析】由题意知，球心在正方形的中心上，球的半径为1，则正方形的边长为eq\r(2).∵ABC－A1B1C1为直三棱柱，∴平面ABC⊥平面BCC1B1.∴BC为截面圆的直径．∴∠BAC＝90°.∵AB＝AC，∴AB＝1.∴侧面ABB1A1的面积为eq\r(2)×1＝eq\r(2).故选A.9．(2018开封模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为()A.eq\f(16π,3) B．eq\f(8π,3)C．4eq\r(3)π D．eq\r(3)π【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体为一个三棱锥，令其为三棱锥A－BCD，由俯视图可知，底面BCD是一个等腰直角三角形，∠BCD为直角．平面ABD⊥平面BCD，易知外接球的球心O为△ABD的中心，则球O的半径R＝eq\f(2\r(3),3)，外接球的表面积等于4πR2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))2＝eq\f(16π,3).10．(2018河北衡水四调)三棱锥A－BCD的外接球为球O，球O的直径AD＝2，且△ABC，△BCD都是等边三角形，则三棱锥A－BCD的体积是()A.eq\f(1,3) B．eq\f(\r(2),4)C．eq\f(\r(2),3) D．eq\f(1,2)【答案】A【解析】取△ABC外接圆的圆心为F，连接AD的中点即球心O与F(图略)．由球的性质可知OF与平面ABC垂直，AB＝BD＝eq\r(2)，连接AF，在Rt△AOF中，AO＝1，AF＝eq\f(\r(6),3)，故OF＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)))2)＝eq\f(\r(3),3).又AD＝2OA，故点D到平面ABC的距离h＝2OF＝eq\f(2\r(3),3)，因此VA－BCD＝VD－ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2×eq\f(2\r(3),3)＝eq\f(1,3).故选A.二、填空题11．(2018辽宁抚顺一模)如图，半球内有一内接正四棱锥S－ABCD，该四棱锥的体积为eq\f(4\r(2),3)，则该半球的体积为________．11题图【答案】eq\f(4\r(2),3)π【解析】设所给半球的半径为R，则棱锥的高h＝R，底面正方形中有AB＝BC＝CD＝DA＝eq\r(2)R，∴其体积为eq\f(2,3)R3＝eq\f(4\r(2),3)，则R3＝2eq\r(2)，于是所求半球的体积为V＝eq\f(2,3)πR3＝eq\f(4\r(2),3)π.12．(2018安徽淮南一模)如图所示，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AC⊥BC，AC＝4，BC＝CC1A1