三角函数的图像与性质课件

第三节三角函数的图像与性质1.周期函数和最小正周期(1)周期函数：一般地，对于函数f(x),如果存在__________，对定义域内的任意一个x值，都有___________,则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期.(2)最小正周期：周期函数_______中最小的一个，称为最小正周期.非零实数Tf(x+T)=f(x)正周期2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质函数y=sinxy=cosxy=tanx

图像定义域____值域________________RR{x|x∈R且x≠

+kπ,k∈Z}[-1,1][-1,1]R函数y=sinxy=cosxy=tanx

单调性当x∈［2kπ-,2kπ+］(k∈Z)时，函数是增加的,当x∈［2kπ+

,2kπ+］(k∈Z)时，函数是减少的当x∈［2kπ-π,2kπ］(k∈Z)时，函数是增加的，当x∈［2kπ,2kπ+π］(k∈Z)时，函数是减少的当x∈(kπ-

,kπ+)(k∈Z)时，函数是增加的函数y=sinxy=cosxy=tanx

最值x=时,ymax=1;x=时,ymin=-1x=___________时,ymax=1;x=_______________时,ymin=-1无最大值和最小值奇偶性奇函数偶函数奇函数2kπ(k∈Z)π+2kπ(k∈Z)函数y=sinxy=cosxy=tanx

对称性对称中心____________对称轴无对称轴最小正周期2π2ππ(kπ,0),k∈Z(kπ+,0),k∈Z(,0),k∈Zx=kπ+,k∈Zx=kπ,k∈Z判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”).(1)常数函数f(x)=a是周期函数，它没有最小正周期.()(2)y=sinx在x∈［0,］上是增加的.()(3)y=cosx在第一、二象限内是减少的.()(4)y=tanx在整个定义域上是增加的.()(5)函数y=sinxcosx是R上的奇函数.()(6)y=tan2x的最小正周期为π.()【解析】(1)正确.由周期函数的定义，对任意非零实数b,都有f(x+b)=a,故任意非零实数都是f(x)的周期，故没有最小正周期.(2)正确.由y=sinx在x∈［］上是增加的，知y=sinx在［0,］上是增加的.(3)错误.y=cosx在（2kπ,2kπ+π）（k∈Z)上是减少的，但不能说在第一、二象限内是减少的.(4)错误.y=tanx在（kπ-,kπ+)（k∈Z）上是增加的，但在整个定义域上并不单调.（5）正确.f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sinxcosx=-f(x).∴由奇函数定义可知y=f(x)=sinxcosx是R上的奇函数.（6）错误.由知y=tan2x的最小正周期为答案：(1)√(2)√(3)×(4)×(5)√(6)×1.下列函数中，在上是增加的是()(A)y=sinx(B)y=cosx(C)y=sin2x(D)y=cos2x【解析】选D.由x∈［,π］，得2x∈［π,2π］,又由y=cosx在［2kπ-π,2kπ］(k∈Z)上是增加的，故y=cos2x在［,π］上是增加的.2.函数的图像的一条对称轴方程是()

【解析】选B.方法一：由2x+=kπ,k∈Z得,时，故选B.方法二：排除法.在函数的对称轴上，函数取最大或最小值.而当时，此时函数取得最大值，故是函数的一条对称轴.3.函数f(x)=tanωx(ω>0)的图像与直线y=a相交的相邻两交点间距离是,则的值是()【解析】选B.由相邻两交点间距离是,知f(x)的周期是,由得ω=2.∴f(x)=tan2x，4.函数y=sin(x+)的递减区间是_______.【解析】由得故函数的递减区间是答案：

5.函数的定义域是______.【解析】由题意知即即答案：考向1三角函数的定义域和值域【典例1】(1)已知函数y=sinx的定义域为［a,b］,值域为则b-a的值不可能是()（2）当时，函数y=3-sinx-2cos2x的最小值是______，最大值是_______.（3）（2013·宣城模拟）函数的定义域为______.【思路点拨】(1)作出函数图像数形结合求解.(2)利用同角三角函数关系式转化为关于sinx的二次函数求解.（3）利用三角函数线或正弦函数图像解不等式即可.【规范解答】（1）选A.画出函数y＝sinx的草图，由图像知，当定义域为时，当定义域为或时，所以b－a的取值范围为（2）因为所以又y=3-sinx-2cos2x=2sin2x-sinx+1故当时，当sinx=1或时，ymax=2.答案：2(3)由1+2sinx≥0,得结合图像得∴函数的定义域为答案：

【互动探究】本例题（2）中若将cosx用sinx代替，sinx用cosx代替，又将如何求解？【解析】由所以y=3-cosx-2sin2x=2cos2x-cosx+1∴当时，当cosx=-1时，ymax=4.【拓展提升】三角函数值域的不同求法（1）利用sinx和cosx的值域直接求.（2）把所给的三角函数式变换成y=Asin(ωx+φ)的形式求值域.（3）把sinx或cosx看作一个整体，转换成二次函数求值域.（4）利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域.【变式备选】（1）函数的定义域为______.（2）求函数y=sinx-cosx+sinxcosx,x∈[0,π]的最大值和最小值.【解析】（1）由2sinx-1≥0得又sinx≤1，答案：（2）设得当t=1时，ymax=1；当t=-1时，ymin=-1.考向2三角函数的单调性【典例2】（1）（2013·上饶模拟）下列函数中，周期为π,且在上是减少的是()（A）y=sin(2x+)（B）y=cos(2x+)（C）y=sin(x+)（D）y=cos(x+)（2）函数的递增区间为______，递减区间为_____.(3)函数y=|tanx|的递增区间为______，递减区间为_____.【思路点拨】（1）根据周期和的范围逐一判断.（2）利用诱导公式将x的系数化成正值，再利用正弦函数的单调区间求解.(3)利用数形结合法求解.【规范解答】(1)选A.C,D中函数周期为2π,所以错误.当时，是减少的,函数是减少的,而函数是增加的，所以选A.(2)原函数可化为故所求函数的递增区间是的减区间.由得所求函数的递减区间是的递增区间.由得故所求函数的递增区间为递减区间为答案：(3)作出函数y=|tanx|的图像如图.可知所求函数的递增区间是递减区间是答案：【拓展提升】三角函数单调区间的求法（1）代换法就是将比较复杂的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式，然后将ωx+φ看作一个角，利用基本三角函数的单调性来求所求的三角函数的单调区间.（2）图像法从图像上看，从左到右，图像呈上升趋势的区间为单调递增区间，图像呈下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图像，结合图像易求它的单调区间.【提醒】求解形如y=Asin(ωx+φ)的函数的单调区间时，若ω＜0时，则应先化为ω＞0的形式；另外还应注意考虑函数自身的定义域.【变式训练】已知函数y=sinωx在区间上是减少的，则ω的取值范围是()(A)［，0）(B)［-3，0］(C)（0，］(D)（0，3］【解析】选A.方法一：由题意可知ω<0,由得,又∵函数在区间上是减少的，解得方法二：特值验证法.当时，∴函数是增加的.当ω=3时，ωx∈［-π,π］,函数不单调.当ω=-3时，ωx∈［-π,π］,函数不单调.故排除B,C,D，选A.

考向3三角函数的奇偶性、周期性及对称性【典例3】（1）（2013·开封模拟）若函数则f(x)是()(A)最小正周期为的奇函数(B)最小正周期为π的奇函数(C)最小正周期为2π的偶函数(D)最小正周期为π的偶函数（2）已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),对于任意x都有则f()等于()(A)2或0(B)-2或2(C)0(D)-2或0（3）（2013·宜春模拟）如果函数y=3cos(2x+φ)的图像关于点中心对称，那么|φ|的最小值为()【思路点拨】(1)先求周期；化简所给函数解析式，再判断奇偶性.(2)由题意得函数图像的对称轴方程，根据函数在对称轴处取得最大（小）值求解.(3)由对称中心得到关于φ的表达式，然后求|φ|的最小值.【规范解答】(1)选B.故f(x)是最小正周期为π的奇函数.(2)选B.由得是f(x)的一条对称轴，故是函数的最大值或最小值，即为2或-2.(3)选A.由函数y=3cos(2x+φ)的图像关于点对称知，所以故∴故当k=2时，|φ|取得最小值且【互动探究】本例题（2）中若再增加条件则φ的值如何求解？【解析】由得ω=4,故又即又k∈Z,∴k=0.【拓展提升】

1.三角函数奇偶性的判断技巧首先要掌握基本三角函数的奇偶性，再根据题目去判断所求三角函数的奇偶性；另外也可以根据图像做出判断.2.求三角函数周期的方法(1)利用周期函数的定义.(2)利用公式:即函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为函数y=tan(ωx+φ)的最小正周期为(3)利用图像判断.3.三角函数的对称性正、余弦函数的图像既是中心对称图形,又是轴对称图形，正切函数的图像只是中心对称图形,要熟记它们的对称轴和对称中心,解题时要注意数形结合思想的应用.【提醒】判断函数的奇偶性时，必须先分析函数定义域是否是关于原点对称的区间.【变式备选】设函数给出以下四个论断：①它的最小正周期为π；②它的图像关于直线成轴对称图形；③它的图像关于点成中心对称图形；④在区间上是增加的.以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______(用序号表示即可).【解析】若①②成立，则令且故k=0，此时当时，∴f(x)的图像关于成中心对称图形；又f(x)在上是增加的，∴f(x)在上也是增加的.因此①②⇒③④，用类似的分析可得①③⇒②④.因此填①②⇒③④或①③⇒②④.答案：①②⇒③④（也可填①③⇒②④）【易错误区】三角函数中整体思想不清致误【典例】（2012·山东高考）函数的最大值与最小值之和为()（A）（B）0（C）-1（D）【误区警示】本题易出现的错误是不能把看作一个整体来处理；另外不知运用正弦函数的图像确定最值也是常出现的错误.【规范解答】选A.因为0≤x≤9,所以所以所以所以所以函数的最大值与最小值之和为【思考点评】求值域或最值的关键点已知自变量的范围求三角函数的值域，解题的关键是整体代换思想的应用，因此对整体角的范围求解成为重中之重.解题中要正确利用不等式的性质.求出整体角的范围后，再利用三角函数图像即可求值域或最值.1.（2013·铜川模拟）函数的定义域为()(D)R【解析】选C.若函数有意义，则即解得故选C.2.(2013·汉中模拟)同时具有性质:①最小正周期是π;②图像关于直线对称;③在区间上增加的一个函数是()(A)y=sin()(B)y=cos()(C)y=cos()(D)y=sin()【解析】选D.根据最小正周期是π，排除A.根据图像关于直线x=对称，排除C.根据在区间上增加，排除B.故选D.3.(2013·上饶模拟）设函数f(x)=x3cosx+sinx+1.若f(a)=11,则f(-a)=_______.【解析】由条件知f(a)=a3cosa+sina+1=11,所以a3cosa+sina=10,故f(-a)=(-a)3cos(-a)+sin(-a)+1=-(a3cos