初中数学-12345模型(于新华讲座记录)

数学解题五境界第一个境界：正确解题．很多同学以为如果一道题目做错，订正一下，知道哪里错了，怎么做，就行了，其实这只是最低境界．第二个境界：一题多解．我们要养成的良好习惯是，不要满足于用一种做法和思路解题．一道题目做完之后想一想还有没有其它方法，哪种方法更简单．对于最后的结果，是不是可以有其它的合理解释．第三个境界：多题一解．完成一道题目的分析后，尝试推而广之，或把其中的数字换成字母，或把一些条件做一些改变，从这道题目延伸出去，探究与此相关的一类题目．第四个境界：发现定理．到了这个境界，可以自己发现一些结论或定理、规律。这些结论、定理规律都是解题的有用工具。解题高都手有自己的定理库．高境界是能够编题。不是所有的老师都具备编题的能力。解题高手拿到一道题目，会知道出题者的意图，会发现出题者的陷阱。即便出题者粗心出现了一个错误，他也能够很快地纠正纠偏．第五个境界：自己编题．解题的最刘俊勇：如果没有真正消化吸收为自己的东西，过一段时间就忘却了，真正弄清楚更重要，远胜于蜻蜓点水式浏览一遍．1一方面重视技巧，尤其是考试技巧学习技巧，另一方面回归数学本质，回归教育意义当我们听到一个技巧的时候，除了拿来使用之外，还需要去体会专家在思考、总结过程的数学思考，这个我觉得更加重要和有意义。因为专家的本意也正是立足于思想的交流，而不是一招一式的传递，在本地方的一些小型的培训中，我注意到活动中最最怕的就是坐在下面的教师一直把自己当成听众、容器，同时，相当一部教师的都有简单的拿来主义和简单的怀疑主义倾向，这个也特别可怕数学是思维的体操，没有绝技想拿冠军是不可能的。以教材为主对大部分学生适用，但在我们这光靠教材的知识点，中考想考满分概率为零。学灵魂在于积累、创新、规纳而不是照搬的模仿和接受，要有自己的数学大格局，适合自己的就是最好的！版块一引入问题1．如图1-1，在3×3的网格中标出了∠1和∠2，则∠1＋∠2＝图1-1图1-2BD＝3，DC＝2，则AD的长为2．如图1-2，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，．版块二“123”+“45”的来源a1，一般化结论：若45则有tantan1（a1），aa1a3时，则得到tan2tan=（了解）1当23511当a=2时，则得到tantan=（重要）2233当a5时，则得到tantan=（了解）;25173当a4时，则得到tantan=（次重要）452AOBcosAOB的值是【例1】（济南市中考题）如图2-1，是放置在正方形网络中的一个角，则．图2-1【例2】（2015湖北十堰）如图2-2，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在AB，AD上，若CE=35，且∠ECF=45°，则CF的长为（）5105A．210B．35C．10D．33图2-2倍角与半角构造1底角顶角”解题依据“90－顶角＝底角”．当出现等腰三角形或翻折的背景问题时，解决策略“顶角2如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC．⑴若tanBCA2，则tanBAC．⑵若tanBAC4，则tanABC3．3【例3】如图2-3，已知正方形ABCD中，E为BC上一点．将正方形折叠起来，使点A和点E重合，1折痕为MN．若tanAEN，DC＋CE＝10．3sinENB的值．⑴求△ANE的面积；⑵求图2-34】如图2-4，已知正方形ABCD的边长为过B点作BFAE于点【例10，对角线AC、BD交于点O，点E在BC上，且CE=2BE，，F，连接OF则线段OF的长度为。图2-45】（2011•武汉）如图2-5，PA为⊙O于点B，延长BO与⊙O交于点⑴求证：PB为⊙O的切线；【例O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙D，与PA的延长线交于点E．⑵若tan∠ABE=，求sin∠E．图2-56】如图2-6，正方形ABCD中，点CF⊥DE交DE延长线于点F，若CF=2，则DF=【例P是BC的中点，把△PAB沿着PA翻折得到△PAE,过C作．图2-64（2002•盐城）已知：如图2-7，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E为AC上一点，点G在BE上，连接DG并延长交AE于F，若∠FGE＝45°．⑴求证：BD•BC＝BG•BE；⑵求证：AG⊥BE；⑶若E为AC的中点，求EF：FD的值．C90DBCsinBED的值为点与点重合，若为折痕，则【例7】（江苏省竞赛题）如图2-8，等腰Rt△ABC△ABC折叠，使中，，为中点，将．ADEF图2-8【例8】（全国初中数学联赛试题）如图2-9，在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且NMBMBC，则有tanABM．图2-9＝＝【例9】（天津市竞赛试题）如图2-10，在梯形ABCD中，AD//BC，AD⊥CD，BCCD2AD，E是CD上一点，∠ABE＝450，则tanAEB的值等于（）3A．5C．B．2D．322图2-105【例10】如图2-11，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，BC=2AD，点E在对角线AC上，且AE=AB,连接19BE，tan∠ABE=2．若∠DAC=60°，CD=，则线段BE的长为．图2-11【例11】（2010•上海）如图2-12，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P．⑴若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；⑵若tan∠BPD=，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式．图2-1212】如图2-13，在平面坐标系中，点A(3，0),B(0，4),点C在x轴的负半轴上，且∠OAB=2∠BCO，求点C的坐标．【例图2-13【例13】如图2-14，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交直线BC于点E，交直线AB与点F，若AB=4，BE=3，则BF的长为．图2-146【例14】如图2-15，在矩形ABCD中，AB=10，BC=20，若在BC、BD上分别取一点M、N，使得MN+NC的值最小，则这个最小值为．图2-1515】如图12-16，将矩形ABCD沿BE折叠，使得点的长为【例C落在点G处，若DE=1，CE=2，BC=6，则AF．图2-16版块三12345拓展若定义符号“2”表示正切值为2的锐角，其余类似，则⑴．"2""1"90,"3""1"90；23⑵．"1""1"45,"2""3"135；23⑶．2="1"+45,"3""1"45；327"1""1""4""1""1""3"⑷．,；422333ABC16】（202年泰州市中考题）如图3-7，在边长相同的小正方形组成的网格中，点、、、【例DABCDPtanAPD都在这些小正方形的顶点上，、相交于点，则的值是．图3-7【例17】如图3-8，二次函数P，使线段AP与直yx2x3，D（,0），在第四象限的抛物线上存在点2线CD的夹角为45°，求点P的坐标．图2-818】如图3-20，在边长为【例2的正方形ABCD中，边CD上有一个动点，将△ADE沿AE翻折得△AEF，连接BD，分别交AE、AF于点M，O，作∠BAF的角平分线AN交BD于点N，若BN32,则OE=．图3-20【例219】(盘锦2015)如图3-9-⑴，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+3交x轴于A（﹣，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F．D3x1x5解析式；y⑴求抛物线58⑵如图3-9⑵，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长；⑶在⑵的条件下：①连接DF，求tan∠FDE的值；G，使∠EDG=45°？若存在，②试探究在直线l上，是否存在点请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．版块四于特讲（解）题如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上,DE1DC，连接AE，将△ADE沿AE翻折，点20.3D落在点F处，点O是对角线BD的中点，连接OF并延长OF交CD于点G，连接BF，BG，则△BFG的周长是．DKBG210,DFFGDGDFFG,4,62210DCCKDKDF6105,FG210,BF2FH2DF125,55910125．C△BFG5CG2,HG3,BG210,BH3,FH35,FJ6,FG210555512510C△BFG5我打算从四个方面讲解．临时拉了一个提纲：一、角的拓展“12345”主要是研究特殊角的大小．大家可以思考，你在这个图形，能够获得哪些角的大小？图（1）图（1）显然∠1与∠2两个角的正切值为1/3,由"1""1""3",因此可得∠1＋∠2正切值为3/4334从而可得∠BAF正切值为4/3（这是基于两个角互余，正切值互为倒数）；不要以为这是高中知识．实际上就是同一个直角三角形中两个互余锐角的事情．图（2）"1""1""4"，因此可得∠BAF（即顶角）一图（2）由3半的正切值为1/2．22从而可得∠ABF的正切值为2,由("2""1"90)，因此∠FBC的正切值为1/2210要知道，这些知识，写得慢，对于会的人，在头脑中盘算极快．本身，你要学会口算，自然得掌握一些基本功．没有这样的基本功，你第一次听这样的讲座是非常累人的．二、适度几何．既然是几何问题，就尽可能挖掘其中的几何性质．就这个图形中，有哪些几何性质可值得挖掘呢？图（3）图（5）3）：由于△ABM∽△EDM，因此MB＝2MD由此可得MB＝2MD，进一步可得MO＝MD，即4）由于翻折，因此DN＝NF，且DF⊥AE．因此AE∥OG5）考虑AE与DF垂直关系，且∠DAE的正切值为1/3．这样∠FDG的正切值为1/3，∠DGF的正切值为3E、G是边CD的三等分点！6）如此一来，大家注意了没有：OG与BG相当于图（4）图（M是OD的中点．MB=3MD图（图（又可以得到一大片角的信息．最最关健的还得到一个重要的几何信息：图（光反射．这是由于∠OGD与∠BGC的正切值均为3．11图（6）镜面为CD,满足光反射，通常反向延长，得到在一条直线上．由上立马得到GB＝GP，这一点非常关键．因此要求△BFG的周长，就只要求BF＋FP的长．由此简化了原问题．三、“2316模型”其实，“12345”这些问题，在哈尔滨地区研究得最多．他们甚至研究到“2316模型”我也是刚刚不久，在与刘俊勇老师共同揣摩下，才自认为有点熟悉了所谓“2316模型”所谓的“2316”模型，是指两个基本图形：模型1．231；模型2．236大家有没有注意，∠B＋∠C＝45°，就是纪博士今天讲解的内容．对于“231模型”，一件困难的事情．仅仅了解这一点还是不够的．还要了解外围大三形角三边长之间的关系．而这并不是即三边之比为5:5:10，当然可以进一步约分．所谓的“236模型”是指这个图形．这里就不展开了．四、发起总攻！图（7）请大家看这个图形，△FBP就是标准的“231模型”．图（7）12这是由于∠FBP的正切值为1/2，∠FPB的正切值为1/3．下面发起总攻！BP＝12，占5份，一份是多少？当然是12/5．在这种情况下，BF＋FP是多少份？当然是“根10＋根5”份了，那么BF＋FP是多少呢？当然也就是△BFG周长＝BF＋FP＝12(105)！5已知一次函数的图像经过A(-2，-1)、B(1，3)两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D,21.求一次函数解析式，求tan∠OCD的值,求∠AOB的度数．已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点D是腰CA上一动点，过点C作CE垂直BD的延长线，22.1），若BD是AC的中线，求的值BD；(2)如图（2）若AD1AC,求的BD垂足为E，(1)如图（CEnCE值．23（2016•常州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线ykx7与y轴交于点C，与x轴交于点B，抛物线yax2bx14a经过B、C两点，与x轴的正半轴交于另一点A，且OA：OC＝2：7．求抛物线的解析式；y1x29x7（1）22（2）点D为线段CB上一点，点P在对称轴的右侧抛物线上，PD＝PB，当tanPDB＝2，求P点的坐标；在（2）的条件下，点Q（7，m）在第四象限内，点R在对称轴的右侧抛物线上，若以点P、D、（3）Q、R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q、R的坐标．1324．（2015•南通）已知抛物线P，直线l：y＝x−1yx2mxm2m1m是常数）的顶点为2⑴求证：点P在直线m＝−3时，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，与直线l的另一个交点为Q，M是x∠ACM＝∠PAQ（如图），求点M的坐标；l的两个交点件的m的值．l上；⑵当轴下方抛物线上的一点，⑶若以抛物线和直线及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条25．(2016新疆建设兵团第23题)如图，抛物线2yaxbx3(a0)的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、1B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线yx1与y轴交于点D．3⑴求抛物线解析式；⑵证明△DBO≌△EBC；⑶在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．14刷子（吴小平）分享：如图所示，作边长为3、4、5的直角三角形的内心O，过点O作三边的垂线，则有:tanOAD1,tanOBD1,而OADOBD45；32tanAOD3,tanBOD2,而AODBOD135；tanOADtanOAE1,而tanBAC3’34tanOBDtanOBF1,而tanABC4．23如图⑴，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=BA，D是AC上一点，CE垂直BD，AF⊥BD．⑴当CE=2BE，则DE:CE的值为；⑵，过CD的中点作MN⊥AC分别交BC、CE于点1.⑵如图N、O，若MO=NO=2，则△ABC的面积为．如图，AB=AC,M为BC的中点，AM=BC，∠ABD=45°，∠DCB=90°，若AD=2015，那么BC的长为．2.15如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-1,0）、（0,2），点C在第一象限，∠ABC=135°，3.AC交y轴于点D，CD=3AD,反比例函数yk的图像经过点xC，则k的值为．如图，正方形ABCD的边长为，对角线AC、BD交于点O，Q是BC延长线上一点,AQ交BD于点E，4.交CD点P，OQ交CD点E，若EF∥AC，则OF的长为．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（5,3），M的半径为5，一束光线从点A（0,2）出发，5.经过x轴上点P反射后，恰好与M相切，则点P的坐标为．如图，抛物线yx27x2与直线y1x2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点P是y轴右侧P的6.22抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F,若存在点P，使得∠PCF=45°，则点坐标为．161yx2与x轴交于点yxbxc过A、B两点，点A，与y轴交于点B，抛物线C是