垂直于弦的直径【市一等奖】

流程名校课堂学习目标预习反馈名校讲坛课堂小结预习反馈24.1.2垂直于弦的直径学目习标1．理解圆的对称性．2．通过圆的轴对称性质的学习，理解垂直于弦的直径的性质．3．能运用垂径定理计算和证明实际问题．预反习馈1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，圆也是中心对称图形，对称中心为圆心．2．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即知识点1垂径定理例1

(教材补充例题)已知⊙O的半径为5cm.(1)若圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长为

8cm

；(2)若弦AB的长为8cm，则圆心O到AB的距离为

3cm

．【点拨】

(1)圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个．(2)“已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂直”或“连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形”是常用的辅助线．名讲校坛名讲校坛例2

(例1的变式题)已知：如图，线段AB与⊙O交于C，D两点，且OA＝OB.求证：AC＝BD.证明：作OE⊥AB于E.则CE＝DE.∵OA＝OB，OE⊥AB，∴AE＝BE.∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.【点拨】过圆心作垂径是圆中常用辅助线．【跟踪训练1】

若⊙O的半径OA＝5cm，弦AB＝8cm，点C是AB的中点，则OC的长为

3cm

.【跟踪训练2】已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足．若AE＝9，BE＝1，求CD的长．名讲校坛【跟踪训练3】

⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为

3

，最大值为

5

．【点拨】当OM与AB垂直时，OM最小(为什么)；当M在A(或B)处时，OM最大．名讲校坛名讲校坛知识点2垂径定理的实际应用例3

(教材P82例2)赵州桥(如图)是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)．【思路点拨】解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形．名讲校坛【点拨】圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个．名讲校坛【跟踪训练4】

(教材P82例2的变式题)某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为

8

米．巩训固练1．在直径是20cm的⊙O中，∠AOB的度数是60°，那么弦AB的弦心距是

5

__cm．【点拨】这里利用60°角构造等边三角形，从而得出弦长．3．如图，AB为⊙O的直径，E是中点，OE交BC于点D，BD＝3，AB＝10，则AC＝

8

．2．弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这个弓形所在的圆的半径为cm.4．(《名校课堂》24.1.2习题变式)⊙O的半径是5，P是圆内一点，且OP＝3，过点P最短弦的长为

8

，最长弦的长为

10

．【点拨】过点P最短弦即为与OP垂直的弦，最长弦即为直径．巩训固练5．(《名校课堂》24.1.2习题变式)已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．求证：AC＝BD.6．已知⊙O的直径是50cm，⊙O的两条平行弦AB＝40cm，CD＝48cm，求弦AB与CD之间的距离．【点拨】分情况讨论：①AB，CD在点O两侧；②AB，