第三章-平稳时间序列分析3课件

三、ARMA模型1、定义具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型，简记为ARMA(p,q)特别当φ0=0时，称为中心化ARMA(p,q)模型用过去的自己，并考虑到随机干扰或误差序列来预测自己三、ARMA模型1、定义具有如下结构的模型称为自回归移动1系数多项式引进延迟算子，中心化ARMA(p,q)模型可简记为

其中p阶自回归系数多项式：q阶移动平均系数多项式：系数多项式引进延迟算子，中心化ARMA(p,q)模型可简记为22、平稳条件与可逆条件ARMA(p,q)模型的平稳条件P阶自回归系数多项式Φ(B)=0的根都在单位圆外,即ARMA(p,q)模型的平稳性完全由其自回归部分的平稳性决定ARMA(p,q)模型的可逆条件q阶移动平均系数多项式θ(B)=0的根都在单位圆外，即ARMA(p,q)模型的可逆性完全由其移动平滑部分的可逆性决定2、平稳条件与可逆条件ARMA(p,q)模型的平稳条件33、传递形式与逆转形式传递形式逆转形式Green函数：逆函数：可转化为无穷阶MA模型可转化为无穷阶AR模型3、传递形式与逆转形式传递形式逆转形式Green函数：逆函数44、ARMA(p,q)模型的统计性质均值自协方差自相关系数自相关系数和偏自相关系数都具有拖尾性4、ARMA(p,q)模型的统计性质均值5【例3.7】考察ARMA模型的自相关性ARMA(1,1):直观地考察该模型自相关系数和偏自相关系数的性质。

【例3.7】考察ARMA模型的自相关性ARMA(1,1):6显然，自相关系数和偏自相关系数拖尾样本自相关图样本偏自相关图显然，自相关系数和偏自相关系数拖尾样本自相关图样本偏自相关图7ARMA模型相关性特征：模型自相关系数偏自相关系数AR(P)拖尾P阶截尾MA(q)q阶截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾这也是直观选择拟合模型的常用方法之一ARMA模型相关性特征：模型自相关系数偏自相关系数AR(P)83.3平稳序列的建模

建模步骤模型识别参数估计模型检验模型优化3.3平稳序列的建模建模步骤9一、建模步骤平稳非白噪声序列计算样本相关系数模型识别参数估计模型检验模型优化序列预测YesNo一、建模步骤平模型参数模型模序YesNo10二、计算样本相关系数样本自相关系数样本偏自相关系数由克莱姆法则，解Yule-Walker方程组得到。二、计算样本相关系数样本自相关系数样本偏自相关系数由克莱姆法11三、模型识别基本原则选择模型拖尾P阶截尾AR(P)q阶截尾拖尾MA(q)拖尾拖尾ARMA(p,q)一般先通过时序图直观判断序列平稳性，再根据基本原则选择模型。三、模型识别基本原则选择模型拖尾P阶截尾AR(P)q阶截尾拖12模型定阶的困惑：因样本的随机性，样本的相关系数不会呈现出完全截尾，本应截尾的自相关或偏自相关系数仍会呈现出小值振荡；因平稳时间序列具有短期相关性，随着延迟阶数无穷大时，自相关或偏自相关系数都会衰减至0值附近作小值波动；没有绝对的标准，主要靠经验。有时也利用一下由两种系数的近似分布推出的结论。何时可作为截尾？何时为拖尾？模型定阶的困惑：因样本的随机性，样本的相关系数不会呈现出完全13样本相关系数的近似分布Barlett定理Quenouille定理样本相关系数的近似分布Barlett定理14模型定阶的经验方法95％的置信区间（正态分布2̘σ原则）模型定阶的经验方法：若样本(偏)自相关系数在最初d阶明显大于2倍标准差，后面几乎95％的值都落在2倍标准差范围内，且衰减为小值波动的过程很突然。这时常视为截尾，截尾阶数为d。何时可作为截尾？何时为拖尾？模型定阶的经验方法95％的置信区间（正态分布2̘σ原则）何时15例2.5续选择合适的ARMA模型拟合1950年—1998年北京市城乡居民定期储蓄比例序列。例2.5续选择合适的ARMA模型拟合1950年—1998年北16序列自相关图显然，延迟3期后，虽自相关系数都落在2σ线内,但却逐渐的衰减为小值波动，拖尾，平稳。序列自相关图显然，延迟3期后，虽自相关系数都落在2σ线内,但17序列偏自相关图显然，除延迟1期的偏自相关系数显著大于2σ线外,其它突然衰减为小值波动，可认为1阶截尾。所以可考虑拟合模型AR(1)序列偏自相关图显然，除延迟1期的偏自相关系数显著大于2σ线外18【例3.8】美国科罗拉多州某一加油站连续57天的OVERSHORT序列

由时序图可见，无周期性和单调趋势，序列平稳【例3.8】美国科罗拉多州某一加油站连续57天的OVERSH19序列自相关图除延迟1阶在2倍标准差外，其它都在2倍标准差范围内波动，平稳，自相关系数1阶截尾。序列自相关图除延迟1阶在2倍标准差外，其它都在2倍标准差范围20序列偏自相关图显然，偏自相关系数拖尾。所以可考虑拟合模型MA(1)序列偏自相关图显然，偏自相关系数拖尾。所以可考虑拟合模型MA21【例3.9】1880-1985全球气表平均温度改变值差分序列

由时序图可见，无周期性和单调趋势，序列平稳【例3.9】1880-1985全球气表平均温度改变值差分序列22序列自相关图显然，自相关系数拖尾。序列自相关图显然，自相关系数拖尾。23序列偏自相关图显然，偏自相关系数拖尾。所以可考虑拟合模型ARMA(1,1)序列偏自相关图显然，偏自相关系数拖尾。所以可考虑拟合模型AR24四、参数估计待估参数（也称模型口径）非中心化的ARMA(p,q)可转化为有p+q+2个未知参数常用估计方法：矩估计极大似然估计最小二乘估计四、参数估计待估参数（也称模型口径）251、矩估计原理用相应阶样本自相关系数估计总体自相关系数样本一阶均值估计总体均值样本方差估计总体方差1、矩估计原理26【例3.10】求AR(2)模型系数的矩估计AR(2)模型Yule-Walker方程矩估计（Yule-Walker方程的解）将偏自相关系数代入Y-W方程【例3.10】求AR(2)模型系数的矩估计AR(2)模型将偏27【例3.11】求MA(1)模型系数的矩估计MA(1)模型由MA(1)协方差函数公式矩估计【例3.11】求MA(1)模型系数的矩估计MA(1)模型28【例3.12】求ARMA(1,1)模型系数的矩估计ARMA(1,1)模型自相关系数与自协方差的关系方程矩估计【例3.12】求ARMA(1,1)模型系数的矩估计ARMA(29矩估计的特点：优点估计思想简单直观不需要假设总体分布计算量小（低阶模型场合）缺点信息浪费严重只依赖p+q个样本自相关系数信息，其他信息都被忽略估计精度较差通常矩估计方法被用作极大似然估计和最小二乘估计迭代计算的初始值

矩估计的特点：优点302、极大似然估计原理极大似然准则：抽取的样本出现概率最大。因此未知参数的极大似然估计就是使得似然函数（联合密度函数）达到最大的参数值

2、极大似然估计原理31似然方程由于和都不是的显式表达式。因而似然方程组实际上是由p+q+1个超越方程构成，通常需要经过复杂的迭代算法才能求出未知参数的极大似然估计值

似然方程由于和都不是的显式表达式。因而似然方32极大似然估计的特点优点极大似然估计充分应用了每一个观察值所提供的信息，因而它的估计精度高同时还具有估计的一致性、渐近正态性和渐近有效性等许多优良的统计性质缺点需要已知总体分布实际中，为便于计算，很多时候看作服从多元正态分布极大似然估计的特点优点333、最小二乘估计原理使残差平方和达到最小的那组参数值即为最小二乘估计值

实际中最常用的参数估计方法是条件最小二乘估计法3、最小二乘估计原理实际中最常用的参数估计方法是条件最小二乘34条件最小二乘估计假设条件：过去未观测到的序列值为0，即残差平方和方程用迭代法，求得使其达最小的参数值。条件最小二乘估计假设条件：过去未观测到的序列值为0，即35

最小二乘估计的特点最小二乘估计充分应用了每一个观察值所提供的信息，因而它的估计精度高；不需总体分布，便于实现，所以条件最小二乘估计方法使用率最高。

最小二乘估计的特点最小二乘估计充分应用了每一个观察值所提供36例2.5续确定1950年—1998年北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合模型的口径

拟合模型：AR(1)估计方法：极大似然估计模型口径例2.5续确定1950年—1998年北京市城乡居民定期储蓄比37例3.8续确定美国科罗拉多州某一加油站连续57天的OVERSHORTS序列拟合模型的口径

拟合模型：MA(1)估计方